문서 보기문서 편집수정 내역 조화 진동자 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:고전역학)] [목차] == 개요 == {{{+1 harmonic oscillator · [[調]][[和]] [[振]][[動]][[子]]}}} 평형점을 기준으로 물체의 [[변위]]에 비례한 [[복원력]]이 작용하게 되어 일정한 주기 운동을 하는 계를 말한다. 용수철 [[스프링]] 진동자가 대표적인 예이며, [[RLC 회로]] 등 조화 진동자와 동일한 양상을 보이는 [[고전역학]]을 벗어난 계도 존재한다. == 표현법 및 참고사항 == 이 문서 및 하위문서에서는 시간에 대한 물리량의 [[미분]]을 나타낼 때 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \dot{A} &\equiv \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} \\ \ddot{A} &\equiv \frac{\mathrm{d}^{2}A}{\mathrm{d}t^{2}} \end{aligned} )][* 좌변은 [[뉴턴]]식, 우변은 [[라이프니츠]]식 [[미분]]계수 표기다.] }}} 로 나타내져 있다. 여기서 [math(A )]는 물리량, [math(t )]는 시간이다. 또한, 특별한 말이 없는 이상 모든 마찰과 물체의 크기, 실이나 [[용수철]]의 질량은 무시할 수 있다고 가정한다. == 종류 == === 단순 조화 진동 === [[파일:namu_단조화진동자.png|width=230&align=center]] 위 그림과 같이 평형점[* 용수철이 늘어나지 않은 지점을 말한다.] [math(\text{O} )]로부터 변위 [math(+A )]만큼 늘이고[* 마찬가지 조건에서 압축했을 때도 똑같이 기술된다.], 물체를 놓았을 때 물체의 운동이 어떻게 기술되는지 논의해보자. [[후크 법칙]]에 따라 용수철이 평형점을 기준으로 [math(x )]만큼의 변위로 변화되었을 때의 탄성력은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle F=-kx )] }}} 이다. 참고로 마이너스는 운동 방향과 반대 방향의 힘을 나타내며, 복원력이다. 따라서 운동 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle m\ddot{x}=-kx\,\rightarrow \, \ddot{x}=-\frac{k}{m}x )] }}} 이다. 여기서 [math(k/m \equiv \omega^{2} )]으로 각진동수의 제곱으로 정의한다. 이와 같이 어떤 계의 운동 방정식이 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \ddot{x} + {\omega}^{2} x = 0 )] }}} 로 기술될 때, 이 계를 '''단순 조화 진동자(Simple Harmonic Oscillator, SHO)'''라고 한다. 이러한 미분 방정식은 [[미분방정식/풀이#s-1.2|쉽게 풀리며]], 그 해는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x(t)=C_{1}\sin(\omega t)+C_{2}\cos(\omega t) )] }}} 이다. 이때, 초기 변위는 [math(x(0)=A )]이고, 물체를 놓은 시점이므로 물체의 초기 속도는 [math(\dot{x}(0)=0 )]을 만족해야 한다. 따라서 이 조건에 의해 sine 항은 해가 될 수 없고, [math(\dot{x}(0)=0 )], [math(C_{2}=A )]를 얻는다. 따라서 용수철의 운동을 기술하는 변위 함수는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x(t)=A\cos(\omega t) )] }}} 로, [math(-A \leq x \leq A )] 사이를 진동하는 것을 알 수 있다. 그런데 위의 상황은 극히 특수한 상황이며, 실제론 관측하는 초기 시점을 뭘로 잡느냐에 따라 운동을 기술하는 변위 함수는 달라지게 된다. 위에서 밝혔듯 이 문제에선 sine 항과 cosine 항의 선형 결합으로 운동을 기술할 수 있고, 두 함수는 평행 이동 관계에 있기 때문에 일반적인 상황에서는 위상차 [math(\phi )]를 도입해서, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x(t)=A\sin(\omega t+\phi) )] }}} 로 나타나게 되며, 여기서 [math(A )]가 진폭이 된다. 용수철 진자의 속력은 변위 함수를 시간에 대해 한 번 미분하면 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \dot{x}(t)=A\omega\cos(\omega t+\phi) )] }}} 가속도는 두 번 미분함으로써 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \ddot{x}(t)=-A\omega^{2}\sin(\omega t+\phi) )] }}} 다음으로는 역학적 에너지가 보존되는지 살펴보자. 맨 위에 같은 상황에서 초기 역학적 에너지 [math(E_{0} )]는 탄성에 의한 에너지밖에 없으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle E_{0}=\frac{1}{2}kA^{2} )] }}} [math(\textrm{O} )]점으로 부터 변위가 [math(x )]일 때, 물체는 탄성에 의한 역학적 에너지와 운동 에너지 두 개 모두 갖는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle E=\frac{1}{2}kx^{2}+\frac{1}{2}m{\dot{x}}^{2} )] }}} 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle E=\frac{1}{2}k\left[ A\sin(\omega t+\phi) \right]^{2}+\frac{1}{2}m\left[ A \omega \cos(\omega t+\phi) \right]^{2} )] }}} 이때, 위에서 한 정의에 따라 [math(m \omega^{2} =k )]가 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle E=\frac{1}{2}k\left[ A\sin(\omega t+\phi) \right]^{2}+\frac{1}{2}k\left[ A\cos(\omega t+\phi) \right]^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}=E_{0} )] }}} 로 역학적 에너지는 보존됨을 알 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle E=\frac{1}{2}kx^{2}+\frac{1}{2}m{\dot{x}}^{2} )] }}} 위 식에서 위상공간 즉, [math(x \text{-} \dot{x} )] 공간에서 개형은 적절히 처리하면, 타원이 된다. 즉, 단순 조화 진동자의 위상도는 아래와 같다.[* [math(x(0)=+A)], [math(\dot{x}(0)=0)]일 때.] [[파일:namu_조화진동자_위상공간.png|width=300&align=center]] ==== 초기 조건 문제 ==== 단순 조화 진동자에서 초기 조건 [math(x(0)=x_{0})], [math(\dot{x}(0)=v_{0})]인 경우를 분석해보고자 한다. 윗문단에 나타나 있듯 각진동수 [math(\omega=\sqrt{k/m})]으로 진동하는 단순 조화 진동자의 위치와 속도는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} x(t)&=C_{1}\sin{(\omega t)}+C_{2}\cos{(\omega t)} \\ \dot{x}(t)&=C_{1}\omega \cos{(\omega t)}-C_{2}\omega \sin{(\omega t)} \end{aligned} )]}}} 이때, [math(x(0)=x_{0})]에서 [math(C_{2}=x_{0})], [math(\dot{x}(0)=v_{0})]에서 [math(C_{1}=v_{0}/\omega)]이다. 따라서 진동자의 위치는 아래와 같이 구해진다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} x(t)&=\frac{v_{0}}{\omega}\sin{(\omega t)}+x_{0}\cos{(\omega t)} \\ &=\left[ x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} \right]^{1/2}\left[ x_{0}\left[ x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} \right]^{-1/2} \cos{(\omega t)}+\frac{v_{0}}{\omega } \left[ x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} \right]^{-1/2} \sin{(\omega t)} \right] \\&=\left[ x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} \right]^{1/2}\cos{(\omega t+\phi)} \quad \left( \tan{\phi}=-\frac{v_{0}}{\omega x_{0}} \right) \end{aligned} )]}}}|| 위에서 같은 각의 삼각함수 합성이 쓰였음을 참고하고, 위에서 밝혔던 '위상차'가 초기 변위와 초기 속도에 의존함을 알 수 있다. ==== 원운동과의 관계 ==== [[파일:namu_조화진동자_원운동_관계ai.png|width=500&align=center]] 위의 그림에서 (a)와 같이 등속 원운동하고 있는 물체를 고려해보자. 이때, 원운동 평면 상에 평행하게 들어오는 평행광선을 고려하고, 이것을 스크린에 비춘다고 생각해보자. 그렇다면, 스크린에는 스크린 평면 상에 투사된 원운동의 자취가 나올 것인데, 이 자취의 위치를 (b)와 같이 [math(\theta(t=0)=0)]이라 두고, 시간 [math(t)]에 따른 위치를 나타내면, [[사인곡선]]의 그래프가 그려지는데, 이것은 곧, 단순 조화 진동자의 시간에 따른 위치 그래프와 같다. 이상에서 단순 조화 진동자의 운동은 원운동을 위와 같이 투사시킨 자취의 운동이라 볼 수 있는 것이다. 이렇게 생각할 경우, 구심력은 곧 조화 진동자의 최고 지점에서의 복원력과 같게 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle mr\omega^{2}=kr )] }}} 따라서 조화 진동자의 각진동수가 다음과 같고, 위의 미분 방정식을 이용한 해석과 같음을 얻을 수 있다: {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} )] }}} ==== [[조화 진동자/고차원 단순 조화 진동자|고차원 단순 조화 진동자]] ==== [include(틀:하위 문서, top1=조화 진동자/고차원 단순 조화 진동자)] === 감쇠 조화 진동 === [[파일:namu_감쇠조화진동자.png|width=230&align=center]] 이번엔 위의 경우에서 속도 [math(\dot{x} )]에 비례하는 저항력 [math(-b\dot{x} )]가 물체에 작용할 때, 기술되는 운동을 논의해보자. 이때, 운동 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}\,\rightarrow \, \ddot{x}+\frac{b}{m} \dot{x}+\frac{k}{m}x=0 )] }}} 이고, 이 방정식은 2계 선형 방정식임에 따라 쉽게 풀린다. 이와 같이 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \ddot{x} + {\omega}^{2} x = -2 \beta \dot{x} )] }}} 꼴의 운동 방정식을 가지는 계를 '''감쇠 조화 진동자'''(Damped Harmonic Oscillator)라고 한다. 이 방정식의 특성 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle D^2+\frac{b}{m}D+\frac{k}{m}=0 )] }}} 이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle D=-\frac{b}{2m} \pm \sqrt{ \left( \frac{b}{2m} \right)^2 - \frac{k}{m } } )] }}} 이때, [math(b/2m \equiv \beta)][* [[진동학]], [[제어공학]] 등 학문에 따라 그리스 문자 제타([[ζ]])를 사용하면서 감쇄 계수, 감쇠비, 감쇄비, 제동비라고도 하는데, 이 경우 [math(\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{km}} = \frac{c}{2m \omega_n })]로 정의되며 아래의 식들이 조금 다른 형태로 수정된다.]의 '''감쇠 계수'''로 정의하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle D=-\beta \pm \sqrt{ \beta^2 - \omega^{2}} )] }}} 이 됨에 따라 이상에서 이 방정식은 판별식 [math(\displaystyle \beta^2 - \omega^{2} )]의 부호에 따라 다음과 같이 세 가지 형태의 해를 갖는다는 것을 알 수 있다. || '''형태''' || '''비고''' || '''경우''' || || [math( \displaystyle \beta^2 > \omega^{2} )] || 두 실근 || ⓐ || || [math( \displaystyle \beta^2 = \omega^{2} )] || 중근 || ⓑ || || [math( \displaystyle \beta^2 < \omega^{2} )] || 두 허근 || ⓒ || 우선 경우 ⓐ를 따져보도록 하자. 이 경우에 기술되는 변위 함수는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x(t)=e^{-\beta t}[ C_{1} e^{ \sqrt{ \beta^2 - \omega^{2}} \, t } +C_{2} e^{ -\sqrt{ \beta^2 - \omega^{2}} \, t } ] )] }}} 이다. 다음으로 경우 ⓑ를 따져보면, 그 해는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x(t)= e^{-\beta t} [ C_{3}t+C_{4} ] )] }}} 또한, 경우 ⓒ를 따져보면, 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x(t)= e^{-\beta t} [ C_{5}\sin{ ( \sqrt{ \omega^{2}-\beta^2 } \, t ) }+ C_{6}\cos{ ( \sqrt{ \omega^{2}-\beta^2 } \, t ) } ] )] }}} 여기서 [math(C_{1} \sim C_{6})]는 각각 상수이며, 초기조건으로 결정할 수 있다. 경우 ⓐ~ⓒ에 대하여, 마찰 계수 [math(b )]만을 변화시키고, [math(x(0)=A )], [math(\dot{x}(0)=0 )]경우에 대해서 시뮬레이션 해보면, 아래와 같은 지수적으로 감소하는 개형이 나오게 된다. [[파일:나무_감쇠조화진동자_변위_그래프_NEW.png|width=350&align=center]] 특히 ⓒ에 대하여 변위 함수 [math(x(t))]는 아래와 같이 두 함수 [math(e^{-\beta t})], [math(-e^{-\beta t})] 사이에 위치하게 되며, 감쇠를 하긴 하지만 각진동수 [math(\omega_{d}\equiv \sqrt{\omega^2-\beta^2})]으로 진동함을 알 수 있다. [[파일:namu_과소감쇠_변위_그래프_특징.png|width=350&align=center]] 이때, ⓑ와 같이 평형점으로 돌아가는 감쇠를 '''임계 감쇠(Critical damping)''', ⓐ와 같이 ⓑ와 유사하지만 ⓑ에 비해 느리게 평형점으로 되돌아가는 감쇠를 '''과대 감쇠[* 과도 감쇠, 과감쇠라고도 한다.](Over damping)''', ⓒ와 같이 진동 형태를 유지하다, 평형점으로 되돌아가는 감쇠를 '''과소 감쇠[* 부족 감쇠, 저감쇠라고도 한다.](Under damping)'''라 한다. 이때, ⓐ, ⓑ는 계가 비진동성으로 응답하는 것을 알 수 있다. 이때, 아래와 같은 조건에 따른 감쇠 형태로 분류된다. || '''경우''' || '''감쇠''' || '''경우''' || || [math( \displaystyle \beta>\omega )] || 과대 감쇠 || ⓐ || || [math( \displaystyle \beta=\omega )] || 임계 감쇠 || ⓑ || || [math( \displaystyle 0<\beta<\omega )] || 과소 감쇠 || ⓒ || 감쇠 조화 진동자의 위상공간 즉, [math(x \text{-} \dot{x} )] 공간에서 그래프는 아래와 같은 개형을 가진다.[* 아래의 위상 공간에 대한 초기 조건은 위 그래프의 상황과 동일하다.] [[파일:나무_감쇠조화진동자_위상공간_NEW.png|width=215&align=center]] 위상 공간의 개형을 보면 역학적 에너지는 보존되지 않는다는 사실[* 역학적 에너지가 보존되는 단순 조화 진동자와 비교해보라.]을 알 수 있는데, 이것은 마찰력이라는 비보존력이 계에 작용하고 있음을 상기하면, 당연한 결과라는 사실을 알 수 있다. === 강제 조화 진동 === [[파일:namu_강제조화진동자.png|width=230&align=center]] 조화 진동자에 외부 힘 [math(F(t))]가 작용할 때, 이 계의 운동 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle m \ddot{x} + b \dot{x} + k x = F(t) )]}}} 와 같이 나타나게 된다. 이러한 운동 방정식을 가지는 계를 '''강제 조화 진동자(Driven Harmonic Oscillator)'''라고 한다. 흔히 볼 수 있는 예시로 일정한 주기로 그네를 밀어주는 경우를 생각할 수 있다. 여기서 외부 힘에 해당하는 [math(F(t))]를 강제 조화 진동자의 '''구동력(Driving Force)'''라고 한다. ==== 사인형 구동력 ==== 가장 간단한 강제 조화 진동의 예시로, 외부 구동력이 cosine형 [math(F_{0}\cos{\omega't} )]으로 주어진다고 하자. 이렇게 되면, 운동 방정식은 다음과 같이 세워지게 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}+F_{0}\cos{\omega't}\,\rightarrow \, \ddot{x}+\frac{b}{m} \dot{x}+\frac{k}{m}x=\frac{F_{0}}{m}\cos{\omega't} )] }}} 이때, [math(\sqrt{k/m} \equiv \omega )], [math(F_{0}/m \equiv G_{0} )], 윗 문단에서 언급한 감쇠 계수 [math(\beta )]를 도입하면, 위의 미분 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega^{2} x=G_{0}\cos{\omega't} )] }}} 이 되며, 이 방정식은 특이해 [math(x_{p}(t) )]와 정상해 [math(x_{c}(t) )]의 선형 결합으로 이루어진다. 이것의 의미는 후술하기로 한다. 우선 특이해를 구하자. 오일러 공식을 이용하여, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \ddot{X}+2\beta \dot{X}+\omega^{2} X=G_{0}e^{i \omega ' t} )] }}} 으로 식을 바꾼 뒤, 예상되는 특이해 [math(X_{p}(t)=C e^{i \omega ' t} )]를 대입하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle (-{\omega '}^{2}+2 \beta \omega ' i+\omega^{2})Ce^{i \omega ' t}=G_{0}e^{i \omega ' t} )] }}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle C=\frac{G_{0}}{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})+2{\beta}i \omega '}=\frac{ [ (\omega^{2}-{\omega '}^{2})-2{\beta}i \omega ' ]G_{0}}{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})^{2}+4{\beta}^{2} {\omega '}^{2}} )] }}} 이때, [math(C )]를 극형식으로 나타냄으로써, 다음을 얻는다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} C=\frac{G_{0}}{\sqrt{{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})}^{2}+4{\beta}^{2} {\omega '}^{2} } }e^{-i \phi} \qquad \qquad \phi=\arctan{\left ( \frac{2{\beta} \omega '}{\omega^{2}-{\omega '}^{2}} \right )} \end{aligned} )]}}}|| 여기서 [math(\phi )]는 구동력과 그 응답으로 나타나는 운동에 대한 위상차이다. 따라서 특이해는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle X_{p}(t)=\frac{G_{0}}{\sqrt{{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})}^{2}+4{\beta}^{2} {\omega '}^{2} } }e^{i(\omega ' t-\phi)} )] }}} 인데, 우리가 구하는 것은 물리현상이므로 실수부만 해로 취급하면, 본래의 미분방정식의 특이해는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x_{p}(t)=\frac{G_{0}}{\sqrt{{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})}^{2}+4{\beta}^{2} {\omega '}^{2} } }\cos{(\omega ' t-\phi)} )] }}} 정상해 [math(x_{c}(t) )]는 미분 방정식의 우변이 [math(0 )]이 되는 해로써, 이것은 감쇠 진동에서 구했던 해와 같다. '''즉, 정상해는 진동계 자체의 진동 효과를 기술한다는 것을 알 수 있다.''' 또한, 정상해의 경우 윗 문단에서 보았듯, 감쇠항 [math(\exp{(-\beta t)} )]이 있어 [math(t \,\rightarrow \, \infty )]일 때, [math(x_{c}(t) \, \rightarrow \, 0 )]이 됨에 따라 시간이 매우 지난 후에 계의 운동을 기술하는 변위 함수는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x(t) \,\rightarrow \, x_{p}(t)=\frac{G_{0}}{\sqrt{{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})}^{2}+4{\beta}^{2} {\omega '}^{2} } }\cos{(\omega ' t-\phi)} )] }}} 가 된다. 이것은 곧 초반에는 정상해 항이 존재하기 때문에 계 자체의 진동과 외부 구동력에 의한 진동 두 효과가 동시에 나타나다([math(x(t)=x_{p}(t)+x_{c}(t))]) 시간이 많이 지나면, 결국 계는 외부 구동력의 효과만 남게 된다.([math(x(t)\to x_{p}(t))]) 아래의 그림은 위 과정을 시각화한 것이다. 아래와 같이 강제 조화 진동은 진동계 자체의 진동 효과인 [math(x_{c}(t))]와 외부 구동력에 의한 진동 효과 [math(x_{p}(t))]의 선형결합으로 주어진다는 것을 알 수 있다. || [[파일:나무_강제조화진동자_변위그래프_확정_NEW.png|width=700]] || 이번에는 이 운동의 위상차에 대한 것을 고려해보도록 하자. 강제 조화 진동자의 위상차는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \phi=\arctan{\left ( \frac{2{\beta} \omega '}{\omega^{2}-{\omega '}^{2}} \right )} )] }}} 임을 보았다. 따라서 이는 아래와 같이 요약할 수 있다. * [math(\boldsymbol{\omega \gg \omega'})]: [math(\phi \to 0)]이므로 외부 구동력과 그 응답으로 나타나는 진동계의 운동의 위상은 거의 비슷하다. * [math(\boldsymbol{\omega \approx \omega'})]: [math(\phi \approx \pi/2)]이므로 그 응답으로 나타나는 진동계의 운동의 위상은 외부 구동력의 위상의 [math(-\pi/2)]만큼 차이난다. * [math(\boldsymbol{\omega \ll \omega'})]: [math(\phi \to \pi)]이므로 그 응답으로 나타나는 진동계의 운동의 위상은 구동력의 위상에 반전되어 나타난다.([math(-\pi)]의 위상차를 가진다.) 아래는 강제 조화 진동자의 외부 구동력의 진동수에 따른 위상차를 나타낸 그래프이다. [[파일:나무_강제조화_위상차.png|width=280&align=center]] 다음으로는 이 계의 [[공명]]에 대해 생각해보자. 시간이 매우 지난 뒤, 계는 진폭 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{G_{0}}{\sqrt{{(\omega^{2}-{\omega '}^{2})}^{2}+4{\beta}^{2} {\omega '}^{2} } } \equiv A )] }}} 로 진동하게 된다. 이것이 어떤 각진동수 [math(\omega_{r} )]에서 최대가 될 조건은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \left. \frac{{\rm d}A}{{\rm d} \omega '} \right|_{\omega '=\omega_{r}}=0 )] }}} 을 만족해야 하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \omega_{r}=\sqrt{{\omega}^{2}-2{\beta}^{2}} )] }}} 일 때, 공명이 일어나게 된다. 감쇠 조화 진동자의 각진동수 [math(\omega_{d})]와 유사하지만 [math(\beta)]의 계수가 2임에 유의한다. 아래는 외부 구동력의 진동수에 따른 계의 진폭을 그래프로 나타낸 것이다. [[파일:namu_강제조화진동_진폭그래프_NEW.png|width=320&align=center]] 흥미로운 것은 만약 계의 감쇠 계수가 매우 작아지면, 공명 진동수는 [math(\omega )]로 수렴하게 되며, 이때, 진폭은 [math(\infty )]로 발산한다. 즉, 진폭이 급격히 커져 진동계 자체가 파괴될 수 있다. 이와 관련해서, 물체의 기본 진동수로 접근하는 구동력을 물체에 가하면, 물체는 급격한 진동을 일으켜, 물체가 파괴될 수 있는 것을 간접적으로 알 수 있게 한다.[* 이것의 예로는 '목소리로 와인잔 깨기' 등이 있다.] ==== 주기적 구동력 ==== 이 문단에서는 cosine형 구동력이 아닌 임의의 주기적인 구동력 [math(F(t))]가 주어지는 경우를 보고자한다. 이 경우 운동 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}+F(t)\,\rightarrow \, \ddot{x}+\frac{b}{m} \dot{x}+\frac{k}{m}x=\frac{F(t)}{m})] }}} 와 같이 세워질 것이다. 우리는 앞서 [math(F(t))]를 주기적인 구동력이라 가정했고, 이에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} F(t)&=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n} \sin{(n \omega' t)}+\sum_{n=0}^{\infty}b_{n} \cos{(n \omega' t)} \\ a_{n}&=\dfrac{\omega'}{\pi} \int_{0}^{2\pi/\omega'} F(t')\sin{(n \omega' t')}\,{\rm d}t' \\ b_{n}&=\dfrac{\omega'}{\pi} \int_{0}^{2\pi/\omega'} F(t')\cos{(n \omega' t')}\,{\rm d}t' \end{aligned})] }}} 의 [[푸리에 급수]]로 전개할 수 있다. 따라서 우변은 곧 무한한 개수의 sine형 구동력이 중첩되어있는 상황으로 해석할 수 있고, 해는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x(t)=x_{c}(t)+\sum_{n=0}^{\infty} X_{n}(t)+\sum_{n=0}^{\infty}Y_{n}(t) )] }}} 의 형태로 주어짐을 알 수 있다.[* 이는 운동을 기술하는 방정식이 선형 미분방정식이기 때문이다.] 여기서 [math(X_{n})], [math(Y_{n})]은 각각 sine항, cosine항의 특이해이며, [math(x_{c})]는 정상해이다. 그런데 위의 결과를 살펴보면, ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} X_{n}(t)&=A_{n} \cos{(n \omega' t-\phi_{X_{n}})}, \qquad &\begin{cases} A_{n}&= \dfrac{a_{n}}{m}\dfrac{1}{ \sqrt{ (\omega^{2}-n^2 \omega'^{2} )^{2} +4 \beta^2 n^2 \omega'^2 }}\\ \phi_{X_{n}}&=\arctan{\left( \dfrac{2 \beta n \omega'}{\omega^2-n^2 \omega'^2} \right )} \end{cases} \\ Y_{n}(t)&=B_{n} \cos{(n \omega' t-\phi_{Y_{n}})}, \qquad &\begin{cases} B_{n}&= \dfrac{b_{n}}{m}\dfrac{1}{ \sqrt{ (\omega^{2}-n^2 \omega'^{2} )^{2} +4 \beta^2 n^2 \omega'^2 }}\\ \phi_{Y_{n}}&=\arctan{\left( \dfrac{2 \beta n \omega'}{\omega^2-n^2 \omega'^2} \right )} \end{cases} \end{aligned} )]}}}|| 으로 쓸 수 있다.[* 외부 구동력이 sine형일 때는 이 문서에서 다루지는 않았으나, cosine형과 동일한 형태의 특이해를 얻는다.] [math(\phi)]와 관련된 것은 외부 구동력과 그 응답으로 나타나는 운동에 대한 위상차이다. 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x(t)=x_{c}(x)+\sum_{n=0}^{\infty} A_{n} \cos{(n \omega' t-\phi_{X_{n}})}+\sum_{n=0}^{\infty}B_{n} \cos{(n \omega' t-\phi_{Y_{n}})} )] }}} 임을 알 수 있다. 이 결과를 이용하면, 외부 구동력이 [[구형파]]나 [[삼각파]], [[톱니파]] 형태인 경우에도 변위함수를 구할 수 있다. 아래는 [math(F(t))]가 아래와 같은 사각파 형태일 때 시뮬레이션 해본 것이다. (조건은 임의대로 설정) [[파일:namu_강제조화진동_사각파_외부구동력_시뮬레이션_예.png|width=460&align=center]] ==== 일반적 구동력 ==== 멈춰 있던 물체 ([math(x(-\infty)=\dot{x} (-\infty) = 0)])에 일반적인 구동력 [math(F(t))]을 가했을 때 조화 진동자의 움직임을 계산하는 것은 결국 다음 운동 방정식을 푸는 것과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + \omega^2 x = \frac{F(t)}{m} )]}}} 윗 문단에서 구동력이 주기함수일 때 [math(F(t))]를 [[푸리에 급수]]로 나타냈듯이, 일반적으로 [math(F(t))]는 다음과 같이 [[디랙 델타 함수]]들의 결합으로 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \frac{F(t)}{m} = \int_{-\infty}^{\infty} { F(t') \frac{\delta (t - t')}{m} \,{\rm d}t'} )]}}} 이것은 디랙 델타 함수의 정의에 의해 자명하다. 따라서, 다음 방정식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + \omega^2 x = \frac{\delta(t - t')}{m} )]}}} 을 초기 조건 [math(\displaystyle x(-\infty) = \dot{x} (-\infty)=0)]에서 풀었을 때의 해를 [math(x(t) = G(t\,, t'))]라고 한다면, 운동 방정식은 선형 미분방정식이므로 우변이 [math(F(t)/m)]일 때의 해는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} {F(t') G(t,\, t') \,{\rm d}t'} )]}}} 이때 [math(G(t,\, t'))]를 조화 진동자에 대한 [[그린 함수]](Green's function)라고 한다. 이는 물체를 시각 [math(t=t')]에 툭 쳐서 충격량 1을 주었을 때 물체의 움직임과 같다. 이것을 구하는 방법은 다양한 방법이 있으며, [[라플라스 변환]]을 응용하면 어렵지 않게 풀 수 있다. 그 결과는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle G(t,\, t') = \frac{1}{m \omega_d} e^{-\beta (t-t')} \sin \left( \omega_d (t-t') \right) u(t-t') )]}}} 이때 [math(u(t))]는 [[헤비사이드 계단함수]]이며, [math(\omega_d = \sqrt{\omega^2 - \beta^2})]이다. 따라서 이를 대입하면 일반적인 구동력 [math(F(t))]에 대하여 다음과 같이 운동 방정식의 해를 구할 수 있다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} x(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} { \frac{F(t')}{m \omega_d} e^{-\beta (t-t')} \sin \left( \omega_d (t-t') \right) u(t-t') \,{\rm d}t'} \\ &= \int_{-\infty}^{t} {\frac{F(t')}{m \omega_d} e^{-\beta (t-t')} \sin \left( \omega_d (t-t') \right) \, {\rm d}t'} \end{aligned} )]}}}|| 이 방법은 구동력이 어떻게 주어지든 적분 한 번으로 물체의 움직임을 완벽하게 계산할 수 있다는 장점이 있지만, 단점은 대부분의 경우 그 적분이 매우 복잡해진다는 점이 있다. == 응용 == === 용수철 진자 === [[파일:나무_용수철 진자_NEW_NEW.png|width=280&align=center]] 용수철 진자는 용수철 진동자를 세운 버전이라 볼 수 있다. 위 그림의 (가)와 같이 용수철 상수가 [math(k )]인 가벼운 용수철만을 매달아 놓는다면, 용수철은 자연 길이[* 본래의 자신의 길이]를 유지한다. 그러나, (나)와 같이 질량 [math(m )]의 물체를 조심스레 용수철에 연결하게 되면, 중력 때문에 용수철은 늘어나고, 탄성력과 중력이 평형을 이룰 때까지 늘어난다. 즉, 위 그림에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle mg=k \alpha )] }}} 이며, 실제 실험할 때는 용수철 상수를 모르기 때문에 이렇게 용수철에 물체를 매달아 늘어난 길이 [math(\alpha )]를 측정하여, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle k=\frac{mg}{\alpha} )] }}} 를 이용하여 용수철 상수를 구한다. 반동이 가해지지 않는 이상 (나) 상태에서 용수철 진자는 힘의 평형이 이루어져, 정지하게 된다. 따라서 용수철 진자의 평형점은 (나)에서 O이다. 그런데 (다)처럼 평형점을 기준으로 [math( \displaystyle x )]만큼 늘어났을 때, 물체의 운동은 어떻게 기술되는 지 알아보자. 물체가 받는 힘은 자신의 중력과 탄성력이다. 중력 방향을 양으로 두면, 따라서 운동 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle m \ddot{x}=-k(x+\alpha)+mg )] }}} 이고, 이것을 다시 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \ddot{x}+\frac{k}{m}x=-\frac{k\alpha}{m} +g=0 )] }}} 으로 용수철 진동자와 같게 기술되는 것을 알 수 있다. 따라서 용수철 진자는 주기 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} )] }}} 으로 진동하며, 초기에 점 O를 기준으로, [math( \displaystyle x_{0} )]만큼 늘렸다면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x(t)=x_{0}\sin{\biggl( \sqrt{\frac{k}{m}} t+\phi \biggr)} )] }}} 가 된다. 여기서 [math(\phi )]는 위상차이다. 이때, 물체의 속도와 가속도는 각각 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \dot{x}(t)=x_{0} \sqrt{\frac{k}{m}} \cos{\biggl( \sqrt{\frac{k}{m}} t+\phi \biggr)} )] }}} {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \ddot{x}(t)=- \frac{k}{m}x_{0} \sin{\biggl( \sqrt{\frac{k}{m}} t+\phi \biggr)} )] }}} 이번에는 역학적 에너지가 보존되는지 확인해보자. (나) 상황에서 O의 높이를 [math( \displaystyle 0 )]이라 잡으면, O를 기준으로 [math( \displaystyle x_{0} )]만큼 늘렸을 때, 물체의 역학적 에너지는 용수철의 탄성 에너지와 중력 퍼텐셜 에너지의 합이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle E_{0}=\frac{1}{2}k(x_{0}+\alpha)^{2}-mgx_{0} )] }}} 이때, (다) 상황에서 물체의 역학적 에너지는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle E=\frac{1}{2}k (x+\alpha)^{2}+\frac{1}{2}m {\dot{x}}^{2}-mgx )] }}} 위에서 구한 변위 함수와 속도 함수를 대입해서 전개해보면, [math(E=E_{0} )]의 결과를 얻으므로 용수철 진자에서도 역학적 에너지는 보존된다는 사실을 확인할 수 있다. ==== 용수철의 연결 ==== 이 문단에서는 용수철의 직렬 연결과 병렬 연결에 대해서 기술한다. 이는 위의 예시인 용수철 진자의 경우에도 적용할 수 있다. 아래의 그림은 예로써 용수철 상수가 각각 [math(k_{1})], [math(k_{2})]인 두 용수철을 (a) 직렬 연결, (b) 병렬 연결 했을 때의 모습이다. [[파일:namu_용수철연결.png|width=450&align=center]] 이 계는 단일 용수철이 진동하는 계로 대치할 수 있다. 용수철의 탄성력은 물체(질점)에 바로 가해진다고 가정한다. ===== 직렬 연결 ===== [math(n)]개의 용수철을 직렬 연결했다고 생각해보자. 이때, [math(j)]번째 용수철의 용수철 상수는 [math(k_{j})]이다. 용수철에 연결된 물체에 [math(F)]의 힘을 가하여 [math(j)]번째 용수철을 [math(\Delta x_{j})]만큼 늘렸다고 생각해보자. 이때, 모든 용수철에선 탄성력을 발생시키며, 그 크기는 [math(F)]로 같다.[* 이 조건이 만족이 안되면 용수철들은 가속 운동할 것이다.][* 오해하기 쉬우나 [math(F)]의 크기는 용수철들의 탄성력 크기의 합과 '''같지 않다'''.] 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle F=k_{j}x_{j} \,\to\, x_{j}=\frac{F}{k_{j}} )] }}} 이 성립한다. 모든 용수철의 늘어난 길이의 합 [math(\displaystyle \sum_{j=1}^{n} \Delta x_{j}=\Delta x )]라 하자. 그런데 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \Delta x= \sum_{j=1}^{n} \frac{F}{k_{j}} \,\to\, F=\left[ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{k_{j} } \right]^{-1}\cdot \Delta x )] }}} 이상에서 용수철을 직렬로 연결했을 때는 용수철 상수가 [math(\displaystyle \left[ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{k_{j}}\right]^{-1})]인 용수철을 연결한 상황과 동일함을 알 수 있다. 저항에서 병렬 연결되었을 때 합성 저항을 구하는 것과 동치이다. ===== 병렬 연결 ===== [math(n)]개의 용수철을 병렬 연결했다고 생각해보자. [math(j)]번째 용수철의 용수철 상수는 [math(k_{j})]이고, 자연 길이는 [math(L_{j})]이다. 용수철의 자연 길이가 다르므로 용수철을 물체에 연결할 때, 용수철은 늘어나거나 줄어든다. 용수철을 물체에 연결했을 때, 평형 상태의 물체의 위치를 [math(X_{0})]라 하자. 각 용수철의 변위는 [math(L_{j}-X_{0})]이므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle 0=\sum_{j=1}^{n} k_{j} [L_{j}-X_{0}] \,\to \, {\displaystyle \sum_{j=1}^{n} k_{j}L_{j} }=X_{0}{\displaystyle \sum_{j=1}^{n} k_{j}} )] }}} 이 평형 위치로 부터 물체를 [math(F)]의 힘을 가하여 [math(\Delta x)]만큼 늘였다고 생각하자. 용수철의 모든 탄성력의 합은 이 [math(F)]의 합과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} F&=\sum_{j=1}^{n} k_{j}[\Delta x-L_{j}] \\ &=\sum_{j=1}^{n} k_{j} \Delta x -\sum_{j=1}^{n} k_{j} L_{j} \\&=\left[ \sum_{j=1}^{n} k_{j} \right] (\Delta x-X_{0}) \end{aligned} )] }}} 단일 용수철 계로 생각할 때, [math(\Delta x-X_{0})]는 평형 위치로 부터 늘어난 길이라 볼 수 있으므로 곧 이 계는 용수철 상수 [math(\displaystyle \sum_{j=1}^{n} k_{j})]인 용수철이 연결되었다고 볼 수 있다. 저항에서 직렬 연결되었을 때 합성 저항을 구하는 것과 동치이다. === [[진자]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=진자)] 진자(pendulum)의 경우 엄밀하게 말하면 운동 방정식이 [math(\ddot{x}+\omega^2 x = f(t))] 꼴이 아니기 때문에 조화 진동자가 아니다. 그러나 진자의 진폭이 충분히 작은 경우에 대하여 조화 진동자로 근사할 수 있고, 같은 분석을 적용할 수 있다. 자세한 내용은 [[진자]] 문서 참조. === [[지구]] 관통 터널 === [[파일:namu_지구_관통_터널_NEW.png|width=250&align=center]] 위 그림과 같이 지구 중심 [math(\text{O} )]를 지나가는 [[지구의 구조|무지막지하게 뜨거운]] 직선형 터널을 뚫었고, 물체를 가만히 놓았을 때, 물체의 운동을 분석해보자. 문제를 간단히하기 위해 모든 마찰은 무시하고, 지구는 구형이며, 밀도 [math(\rho )]는 균일하며[* 즉 [[맨틀]], [[외핵]], [[내핵]] 등이 없다고 가정하고.], 터널의 직경 [math(L )]은 지구 반경에 비해 무시 가능할 정도로 작다고 생각할 것이다. [math(m )]은 물체의 질량이다. 지구 중심 [math(\text{O} )]를 기준으로 하여, 윗 방향을 [math(+\hat{\mathbf{x}} )]라 놓자. 이때, 물체가 변위 [math(x )]에 위치할 때, 터널의 직경이 매우 작으므로 물체는 지구 내부에 위치한다고 생각할 수 있고, 힘은 물체를 지나고, 중심이 [math(\text{O} )]인 지구의 부분 질량에 의한 만유인력이다.[* 그림에서 점선에 해당하는 지구의 질량에 의한 만유인력을 말한다.][* 이것의 증명은 [[구각 정리|뉴턴의 구각 정리]]로 할 수 있으며, 자세한 것은 고전역학 책을 참조한다.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{F}=- G \frac{m}{x^2} \left( \rho \cdot \frac{4}{3} \pi x^{3} \right) \hat{\mathbf{x}}=- \frac{4G \pi \rho m}{3} {\mathbf{x}} )] }}} 이 된다. [math(G )]는 만유인력 상수이다. 따라서 물체의 운동 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle m \ddot{x}=- \frac{4G \pi \rho m}{3} x \,\rightarrow \, \ddot{x}+ \frac{4G \pi \rho}{3} x=0 )] }}} 따라서 물체는 주기 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{3}{4G \pi \rho }}=\sqrt{\frac{3 \pi}{G\rho}} )] }}} 로 진동운동 함을 알 수 있다. 따라서 물체를 초기에 [math(x_{0} \leq R )]인 지점에서 떨어뜨렸다면, [math(-x_{0} \leq x \leq x_{0} )]에서 진동하게 된다. 따라서 위 결과로 지구의 한 표면에서 대척점의 표면까지 이동하는데 걸리는 시간은 위에서 구한 주기의 반이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{T}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3 \pi}{G\rho}} )] }}} 가 되고, 각종 상수 * [math(G=6.67384 \times 10^{-11} \, \mathrm{N} \cdot \text{m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} )] * [math(\rho=5515 \,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} )] 를 대입하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{T}{2} \approx 42.2\,\mathrm{min} )] }}} 가 됨을 알 수 있다. 더 나아가 터널을 비스듬히 파서, 중심을 지나지 않더라도 주기는 모두 같게 나온다. 증명은 위와 같은 방법으로 하면 된다. === 액체관 진동 === [[파일:나무_U자관 진동.png|width=160&align=center]] 그림과 같이 단면적이 [math(A )]인 U자관에 밀도가 [math(\rho )]인 액체가 길이 [math(l )]만큼 차있는 것을 고려하자. 문제를 단순하게 생각하기 위해 모든 마찰 및 액체의 [[점성]]은 무시한다.[* 점성을 넣는 순간 식에 [[나비에-스토크스 방정식]]이라는 [[밀레니엄 문제|일반해조차 아직 안 나온]] 골칫거리를 넣어야 하기 때문.] 관에 든 액체의 질량은 밀도와 부피의 곱으로 쓸 수 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle m = \rho Al )] }}} 이때, 한쪽이 평형점 O를 기준으로 [math(x )] 만큼 눌러졌을 때, 작용하는 복원력은 [math(2x )]만큼의 액체 기둥에 작용하는 중력이다. 따라서 운동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \rho Al \ddot{x}=-\rho A g \cdot 2x )] }}} 이것을 다시 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \ddot{x}+\frac{2g}{l} x=0 )] }}} 이고, 이것은 명백히 주기 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T= \pi \sqrt{\frac{2l}{g}} )] }}} 로 진동하는 용수철 진동자의 진동 방정식과 같다. 따라서 액체 기둥은 위와 같은 주기로 진동함을 알 수 있다. === [[RLC 회로|전자기 진동]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=RLC 회로)] === [[양자 조화 진동자]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=양자 조화 진동자)] 후크 법칙을 만족하는 계도 양자역학에서는 뉴턴의 운동 법칙이 아닌 [[슈뢰딩거 방정식]]에 의해 기술되므로, 본 문서에서 다룬 조화 진동자와는 다른 종류의 방정식으로 설명해야 한다. 자세한 내용은 문서 참조. == 관련 문서 == * [[고전역학]] * [[전자기학]] * [[양자역학]] * [[막의 진동]] [[분류:물리학]]캡챠되돌리기