한국수학올림피아드 (덤프버전으로 되돌리기)

[[분류:한국올림피아드]][[분류:수학올림피아드]][[분류:1987년 설립]]
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|| '''후원''' ||[[한국과학창의재단]]||
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[목차]
== 개요 ==
||<table align=center><tablewidth=800> {{{#!wiki style="margin: -5px -10px"
[youtube(f-eXSs5Yb4U, width=100%)]}}} ||
||<bgcolor=#439CD7><color=white> '''▲ [[루마니아|{{{#fff 루마니아}}}]] [[클루지나포카|{{{#fff 클루지나포카}}}]]에서 열린 2018년 제59회 [[국제수학올림피아드|{{{#fff IMO}}}]] 대한민국 대표팀''' ||
한국수학올림피아드는 대한민국의 중학생과 고등학생을 대상으로 하는 수학 분야의 올림피아드다. 약칭은 KMO.

[[국제수학올림피아드]] 대표 선발을 위해 존재한다. 예전에는 고등학교, 대학교에서 KMO 실적으로 가산점을 주던 때가 있었으나, 사교육의 과열을 막기 위해 교육부, KAIST 등에서 올림피아드를 실적으로 인정하는 것을 거부해서 대한민국에서는 사라졌다. 그러나 학생들이나 학원가·학부모 등에는 영향을 많이 미치지는 못해서, 여전히 [[한국물리올림피아드]]나 [[한국화학올림피아드]]와 함께 일종의 [[과학고]], [[영재학교]] 시험 대비 역할을 하고 있다. 하지만 여기서 높은 성적을 받았다고 해서 무조건 합격할 수 있는 것은 아니니 방심하지 말 것.[* 특히 요즘은 영재학교나 과학고에서 경시 문제 출제를 매우 기피하고 있다.]

=== 한국주니어수학올림피아드(KJMO) ===
{{{+1 Korean Junior Mathematical Olympiad}}}[* 주의해야 할 것이, Art of Problem Solving에서 Korean Junior Mathematcal Olympiad를 찾으면 이게 아니라 중등부 올림피아드가 나온다. 보통 중학생용 대회에서 Junior를 붙이는 다른 나라의 사례들을 반영하였기 때문.]

2019년부터 시행되었고, 8월말~9월초의 토요일에 치른다.

출제범위는 초등학교 전 과정과 중학교 1학년 과정 및 이에 준하는 수학 내용이고, 응시대상은 해당년도에 만 13세가 되는 연령, 즉 중학교 1학년까지이다.

첫해에는 4점 25문항이었으나, [[COVID-19]]로 온라인으로 전환된 2020년부터 5점 20문항으로 바뀌었다.

시험시간은 14:00부터 17:00까지 3시간이고, 시험 30분 전인 13:30까지는 입실해야 한다. 온라인으로 전환된 2020년과 2021년은 중간 점검을 위한 휴식시간이 생기면서 1, 2교시로 나뉘어져, 실제 문제풀이시간은 10문제마다 1시간, 합계 2시간으로 줄어들었다. 온라인의 경우에도 매 교시 30분 전에는 응시용 사이트와 감독용으로 개설된 [[줌 비디오 커뮤니케이션|Zoom]] 방에 각각 입실을 해야 한다.
== 학습 범위 ==
=== [[대수학|대수]] ===
{{{+1 Algebra[* 한국에서는 [[해석학(수학)|해석]]이라고 하기도 한다.-- [[CMS EDU|C모 학원]]-- 고등부로 가면 해석학적 기법을 사용하는 것을 반영한 듯 하며, 해석이라는 말 자체가 그다지 틀린 것은 아니다. 애초에 대학에서 배우는 대수와 여기에서의 대수는 많이 다르다.]}}}

함수방정식, 부등식이 메인이고, 분수식의 최대 최소, 함수, [[해석 기하학#s-3.2|도형 구조법]][* [[피타고라스의 정리|점과 점 사이의 거리 공식 aka 피타]]나 [[닮음]]을 이용하여 주어진 식의 최대최솟값을 구하는 방식. 대부분 [math(>\sqrt{(x+a)^2+3^2})] 등 [[제곱근|루트]]안에 제곱식이 들어간다.] 다항식, 수열 문제가 나오기도 한다. 클래식한 KMO는 전자의 두 분야가 많이 출제되지만 최근 전반적인 추세는 후자처럼 정형화되지 않는 문제를 내는 것이다. 세분화해서 나타낸 분야별로 특성이 상당히 다른 편인데, 함수방정식은 해석적 측면보다는 조합과 정수의 아이디어를 차용하는 경우도 많으며, 하나의 체계를 쌓아 나간다는 느낌이다. 그에 비해서, 부등식은 아무래도 해석적인 다양한 도구를 이용하여 문제 자체를 지향하여 푼다는 느낌이 강하다. 고등부로 올라갈수록 다양한 이론을 배우게 되며, 여기에서 SOS법(Sum Of Squares Method), MV법(Mixing Variables Method), 이것을 더욱 더 심화한 SMV법(Strong Mixing Variables Method), UMV 등도 배우게 된다. 미적분을 사용하는 [[젠센 부등식|젠센 부등식]]도 있으며, 최후의 무기로 전미분도 존재한다. 하지만 역설적으로 이러한 기법들 때문에 부등식은 올림피아드에서 거의 사장되었다. KMO는 물론이고 IMO에서도 부등식 문제의 제0의 출제기준은 앞서 서술된 고등기법들[* 주로 미적분이 이 고등기법에 해당한다.]로 문제가 '''안''' 풀리는지를 체크하는 것이다.[* 2014 KMO, 2020 IMO처럼 아주 가끔 실패하지만.]

함수의 경우 예외가 없는 한 주로 코시 방정식 노가다를 치게 된다. 또는 [[차분(연산자)|차분법]]이라는 걸 이용하게 되거나[* 이항 계수를 사용할 때 그 함수의 지수가 이항계수의 지수보다 낮을 경우 합이 0이 되는 법칙] 미분[* 고차식의 최대, 최소를 구할 때]을 하거나 등등. 선행을 많이하면 노가다로 비교적 쉽게 풀 수 있기에-- 주입식에 강한-- 우리나라 학생들이 전통적으로 잘하는 분야라고 일컬어진다. 물론 대수적인 재능이 따로 있는 학생도 분명 있긴 하다만... 어쨌든 대수를 잘하려면-- 미적분은 일단 제쳐두고-- 식에 대한 발상이 중요한데, 딱히 이 부분을 잘하기 위해 다른 분야와 차별되게 특별히 요구되는 능력은 없고, '''전체적으로 수학을 잘하기 위해 필요한 몇몇 주요 실력'''만 갖추면 된다.

2016년에 중등 교육과정에 가깝게 출제한다는 말이 공식적으로 기재되면서 [[코시-슈바르츠 부등식]]은 앞으로 잘 나오지 않을 것으로 예상된다.

2016년에 이어 2017년에도 KMO 중등부 1차에서 대수가 '''단 한문제도''' 출제되지 않았다.[* 2017에는 연립방정식 문제가 출제되었지만 이마저 정수조건을 가진 연립방정식이었다.] 교과과정에 가깝게 출제하기 위해 어려운 부등식 문제들을 낼 수 없게 되었기 때문인 것으로 예상된다.

단, 위의 내용은 어디까지나 중등부 KMO의 이야기이다. 고등부 KMO나 IMO를 준비하는 경우 이런 글을 보지 않더라도 수준이 어떤지는 학생 본인이 누구보다 잘 알것이다.
=== [[정수론|정수]] ===
{{{+1 Number theory}}}

이 분야는 고등학교 과정에서 나오지 않는, 대학의 기초 정수론을 다루고 있다. 소수의 성질을 주로 다루며, 합동식, 부정방정식 등은 전부 이 분야. 깊게 들어가면 원시근, 펠 방정식, 루카스 정리, 르장드르 부호, 비에타 점핑, LTE(Lifting the Exponent)[* -- 데이터 무제한 LTE가 아니다(...)--]곱셈적 함수, [[대수적 정수론]] 등을 배우기도 한다. 이뿐만 아니라, 다항식에 대한 내용[* 라그랑주 보간법, 차분, 원분다항식, 기약다항식]과 최종보스라 할 수 있는 가법적 정수론을 배운다.[* 2012년 고등부 8번도 [math(\mathbb{Z}[i])]를 이용한 가법적 정수론이었다.] 수에 대한 이해와 직관이 중요하며, 어렵게 내면 정말 어려운 분야이다.[* 예를 들면 IMO 난제 중 하나로 손꼽히는 문제로 "양의 정수 [math(a,b)]에 대해 [math(\dfrac{a^2+b^2}{ab+1})]의 값이 정수라면 그 값은 항상 완전제곱수임을 증명하라" 등이 있다. 이 문제의 경우 호주의 저명한 수학자들이 모두 증명하지 못했고 만점이 참가자들 중 고작 11명에 그쳤다. 참고로 해당 대회에 출전한 [[테렌스 타오]]도 7점 만점에 1점만을 득점하였다고 한다. 그리고 응오바오쩌우는 그 문제를 푸는 도중에 비에타 점핑이라 불리는 수학 증명 기법을 창조해냈다. [[국제수학올림피아드/난제#s-2.1]] 참고.] 하지만 2016년, 정수 스타일 문제가 7~8문제 정도 나와서 대수를 잘하던 사람들이 폭락하는 현상이 일어났다.

추천도서로는 Titu Andreescu의 Number Theory가 있다.

1차에서는 사실 나누어떨어짐이랑 대수만 잘 쓰면 다 맞출 수 있다.[* 다만 2014 KMO는 고등부에서만 나오던 2차 잉여에 대한 문제가 출제된 적 있으나, 거의 15년 만에 한 문제 출제된 것이기 때문에 굳이 신경 쓰지 않아도 된다. 게다가 2014년 전후는 중등부 KMO가 가장 어려웠던 해로 손꼽히므로 더더욱.] 실제로 마두식의 정수론 한권이면 중등 KMO는 거의 다 맞출 수 있다고 한다. 2021년 KMO에서는 정수가 매우 쉽게 나왔다.

고등부까지 가더라도 4가지 영역 중에 '그나마' 풀이 방법이 가장 한정적인 분야이다. 이런 제한점 때문인지 IMO 마지막 최상 난이도인 3,6번에는 2019년 기준, 근래에 잘 등장하지 않는편이다. 2019년 기준 근래에는 영원한 3,6번 후보인, 어찌보면 두뇌 유전자 대결(?) 같기도 한 조합에서 한문제, 그리고 일종의 중요도를 고려했을 때 과장을 조금 보태면 수학올림피아드 거의 절반에 약간 못 미치는 듯한, 그리고 현역 IMO 대표들이 대개 가장-- 미친듯한-- 날렵함을 보이는 기하에서 한문제가 나오는 경향이다.-- 그래도 어렵다--

단, 정수의 특성상 조합과 엮이기가 너무나 자연스러운 분야이기에 어떤 문제는 사람마다 이건 정수인지 조합인지 영역이 의견이 갈릴수도 있는 애매모호한 문제들도 있긴해서 어려운 정수문제는 안나온다는 것도 단정할 수는 없는 이야기이다. 그리고 전문 수학자들 level에서는 가장 미해결 문제가 많은 분야도 정수론이다. 대표적으로는 거의 모든 수학자가 동의하는 최대 미해결 난제, [[리만 가설]]이 있다.
=== [[조합론|조합]] ===
{{{+1 Combinatorics}}}

이산적인 구조에 대해 다루는 분야로, 1차에서는 주로 경우의 수에 관한 문제가 출제되지만 2차에서는 범위가 다양하다.[* 조합 문제인지 아닌지 애매한 문제들도 있다. 예시로 2012 고등부 8번이 있는데, 대수적 수론의 배경 지식을 이용한 집합 문제였다. 다만 정수는 5번, 대수는 7번에 있기 때문에 각 분야마다 오전, 오후 모두 한 문제씩 나와야 한다는 [[암묵의 룰]]이 있으므로 조합이라고 볼 여지도 있다.] [[경우의 수]], [[순열]], [[조합]], [[집합론]], [[그래프(이산수학)|그래프 이론]], [[게임 이론]] 등을 물으며, 가끔씩 [[피보나치 수열]]과 비슷하게 [[점화식]]을 세우는 문제가 나오기도 하므로 [[수학 I]]의 수열 부분과 [[확률과 통계]]의 경우의 수 부분을 공부하는 게 좋다. 고등부로 넘어가면 확률론적 방법[* 비둘기 집의 원리와는 조금 다르게도 쓸 수 있다.]에 대한 부분도 대비가 되어 있어야 한다. 자신의 머리만으로 주어진 상황과 알고 있는 이론의 관계를 이끌어 내야 하기 때문에 더 어렵다. 1차에서는 난이도가 평이하나 2차의 난이도를 올리는 주범. 각 시험의 [[최종보스]] 역할을 톡톡히 하는 분야이며, 주로 KMO 4번과 8번, FKMO 3번과 6번에서 똬리를 틀고 앉아 학생들을 농락하곤 한다. 이러한 추세는 2015년 기준으로 최근 IMO 시험의 트렌드를 반영한 것으로[* 사실 둘은 별다른 관련성이 없다. IMO 시험의 트렌드는 뚜렷하게 정의내리기 어렵고 오히려 최근 IMO 시험 트렌드는 절대적인 기하의 강세라 볼 수 있다. IMO에 자주 나타나지 않는 그래프이론이 KMO엔 밥먹듯 나타나는 것만 봐도.][* 다만 KMO에 조합이 강세를 띠는 것은 한국 학생이 전통적으로 조합에 약했기 때문이고 이를 타파하기 위한 방안 중 하나였음은 명백하다. 이러한 전통적인 한국팀의 약세는 최근 거의 사라졌지만, KMO의 출제트렌드는 여전하다.], 최근 몇년간 IMO에서는 조합 문제가 6번으로 나왔다.[* 하지만, 2016년 IMO의 경우에는 2번, 6번에 출제되었는데, 평이하거나 쉬운 난이도였다.] 우리 나라 학생들이 외국에 비해 잘 못하는 분야이기도 해서[* 앞에도 서술했지만 이는 상당부분 완화되었다. 대표적 예로 2013년 IMO 성적 참조.], 우리 나라 IMO 성적은 조합분야에 달려 있다고 해도 과언이 아니다.

많은 학생들이 조합을 가장 싫어하는 이유는 해도 실력이 별로 늘지 않고 그렇다고 안해도 그렇게 많이 떨어지는 것 같지는 않는 기적의 느낌을 제공하기 때문이다. 딱 느낌이 부등식과 정 반대적인 측면이 강하고, 조합을 잘하는 애는 처음부터 잘한다. 정말 다른 과목은 지지리도(...) 못하는데 조합은 기가 막히게 잘하는 학생들을 심심치 않게 볼 수 있다. 그렇다고 조합을 잘하면 꼭 모든 분야를 잘한다는 보장도 없어서 실제 조합은 한국 해당 학년 대장급 학생들이 기하실력이[* 이것도 공부와 보조정리 많이 알면 도움이 되긴 하지만 기본적인 기하 센스라는 것이 있고 하다못해 부등식 문제도 분명 타고난 재능이라는 것은 있다.] 완전 꽝이어서 IMO에 나가지 못한 안타까운 경우도 있다.
=== [[기하학|기하]] ===
{{{+1 Geometry}}}

[[유클리드 기하학]]을 다루며, 대부분의 경우 논증기하학의 풀이로 푸는 것을 기본으로 한다. 다른 분야에 비해 보조정리가 매우 많으며, 중학교 2,3학년 과정의 삼각형의 내심·외심·무게중심, 닮음, 삼각비, 원의 성질 외에도 [[스튜어트 정리]], [[메넬라오스 정리]], [[코사인 법칙#s-3|제2코사인법칙]] 정도는 기본 중의 기본이다. 보조정리를 사용해도 정 안되는 경우 사영기하학, 반전기하학, 해석기하학, 복소기하학[* 뒤의 두 개는 [[노가다]].]을 사용하여 다른 관점에서 보고 계산하기도 한다.

타 분야에 비해 노력이 중요한 분야다. 알고 있는 보조정리의 개수에 따라 문제를 푸는 시간이 비약적으로 단축될 수 있으며, 우리 나라 학생들이 선호하고 잘하는 분야이기도 하다. 기하 또한 보조정리(lemma)를 얼만큼 외우느냐와 정리를 얼마나 많이 아느냐가 관건이다. 

중등 KMO같은 경우 기하는 기본적으로 3개 이상 맞아야지 수상권이다. 또한 중등2차에서도 가장 풀 만하고 승부를 걸어야 할 부분이 기하다. 기하학 머리는 좀 달리지만 대수/정수가 뛰어난 학생들은 위에서 노가다로 표시한 해석/복소 기하학을 사용하기도 한다. 대신 이 두 방법의 치명적인 단점은 각각 좌표 계산의 복잡과 원, 교점 계산의 어려움이다. 그래도 굳이 쓴다면 쓰는 경우도 많다. 복소평면을 사용하는 복소기하와 유사한 점이 좀 있는 벡터를 사용하여 문제를 푸는 경우도 가끔 있다. KMO 1차에서는 정식 풀이는 아니지만 정밀작도(측정기하)[* 1차는 답이 무조건 '''정수'''라는 것을 이용해서 작도를 정확히 하여 답을 짐작하는 것.], 극단법(가정기하)[* 답이 무조건 1개라는 점을 이용해 문제를 매우 극단적인 상황으로 만드는것. ex) 일반적인 사각형을 정사각형으로 만들어서 풀기] 이라는 되도 않는 엉터리(이긴 하지만 매우 유용한) 편법을 이용하기도 한다. 다만 KMO 1차는 어떻게 풀든 답만 맞으면 장땡(...)인 시험이므로 점수를 위해서 편법들을 쓰는 것은 나쁘지 않다.

위의 서술 중 해석기하는 흔히 학교에서 배우는 xy 평면에서 계산하는 직교[[좌표계]][* 혹은 데카르트 좌표계]를 이용하는 것을 말하는데 고등부에서는 이보다는 간단한 기하학적 성질과 함께 [[복소수]]나 무게중심 좌표계(barycentric coordinate)로 풀면 오히려 논증적 풀이방법보다 더 깔끔하게 풀리는 경우도 꽤 있어서 고등부 2차 이상을 바라보는 학생이라면 반드시 [[복소수]]와 barycentric 좌표계가 뭔지 공부해두는 것이 좋다. 복소수법과 barycentric coordinate 모두 원이 여러개 등장하는 문제에서는 계산이 너무 복잡해지는 경우가 많아 쓰기 어려울 때도 있는데 원이 많이 등장할 때도 원의 중심 등 원의 특징적인 점들에 대해서만 문제에서 이용하면 풀리는 경우가 상당수 있어 노가다 법도 반드시 익혀둬야 한다. 물론 논증풀이는 우아함에 있어 거의 99% 이상의 문제에서 노가다를 압도하며 사실 기하를 올림피아드에서 다루는 이유도 논증으로 풀어보라는 것이다. 하지만 학생 입장에서 시험장에서 우아함만 찾다가 0점 받는 것 보다는 개노가다 풀이를 하더라도 완벽하게 풀어서 점수를 따는 것이 개인에게 이득인 점을 생각하면 반드시 공부해야 한다.

또한 해석/복소기하 외에도 삼각함수를 잘 활용하는 것 역시 본인이 논증기하가 약한 경우 매우 중요하다. 삼각함수의 경우 사인 법칙(Sine law)를 사용하면 길이의 비를 각도의 비로 치환할 수 있으며, 상대적으로 삼각함수는 계산이 조금 복잡하지만 각도와 길이만 잘 표시해 주면 닮음이나 합동, 보조선 등의 기본적인 논증기하 스킬을 전혀 사용하지 않아도 계산만 몇 줄 하면 답이 바로 나오는 경우가 많이 있으므로 잘 익혀주자. 어려운 기하 문제의 경우 상상도 못한 보조선이 난무하는 경우가 가끔씩 있는데[* 이런 문제가 어떤 문제들인지 궁금하면 IMO shortlist 문제들을 보면 종종 보이는 편이다. 난이도란 사전지식이나 개인별 강세에 따라 조금씩은 다를 수 있으나 IMO shortlist는 번호가 증가할 수록 대부분의 사람들이 느끼기에 객관적인 난이도가 올라간다. G는 geometry의 약자로 기하 영역 문제의 표시이다.], 이 경우 삼각함수 풀이를 정석적인 풀이로 생각하는 것이 차라리 속이 편할 수도 있다.

노가다 외에 정통적인 논증 풀이와는 약간 다르지만 반전(inversion)이나 사영(projection)을 이용한 풀이도 고등부에서는 반드시 알아둬야 하는 내용이다. 이 두가지 방법들은 사실상 논증풀이라고 봐도 무방하다. 과거에는 출제 범위에 해당하지 않았지만 사실상 눈가리고 아웅식으로 출제됐었고 근래에는 기본적으로 알아둬야 하는 내용이 됐다. 실제 풀이도 접근만 제대로 하면 노가다 없이 깔끔하게 풀리고 풀이 과정 자체도 전통적인 논증과 많이 다른 느낌이 들지 않는다. 반전의 경우 원에 대해서 문제 상황을 말 그대로 반전 시켜서 보는 것이고 사영은 원을 직선에 투영시키거나 그 반대의 경우, 혹은 직선에서 직선으로 투영 시키면서 문제에 접근하는데 반전은 원과 직선을 바꿔가면서 문제를 다른 각도에서 볼 수 있다는 점이 있고 사영기하의 경우는 교점이 유지된다는 점이 있어서 그림 상황에 대해 경우를 나누지 않고 풀어도 된다는 장점이 있다.(immune to configuration) 또한 상황을 쉽게 만들어서 해결할 수 있는 경우들도 있다.[* 사각형이나 삼각형을 정사각형, 정삼각형으로 바꿔서 해결하는 등] 두가지 방법 모두 아무것도 모르는 상태에서 처음 내용을 보면 도대체 이런 것을 뭐하러 하나 싶은 생각이 드는데 많은 문제를 접하다 보면 훨씬 쉽게 해결되는 문제들이 있음을 알 수 있다. 반전의 경우 확실히 원래 문제 상황보다 반전 상황이 쉬운 경우가 있는데 원 보다 직선이 다루기 쉬운 상황이거나 직선보다 원이 다루기 쉬운 상황, 접선이 등장하는 상황 등 다양한 상황이 있을 수 있다. 사영기하의 경우 접선이 등장하거나 harmonic quadrilateral 혹은 harmonic division이 보이는 문제, complete quadrilateral이 보이는 문제, 중점과 평행선이 같이 등장하는 문제에서는 사영기하를 사용한 접근이 가능한지 일단 생각해 보는 것이 좋다.

특히 원이 여러 개인데 공통적으로 한 점을 지나는 상황이면 반전을 일단 생각해보고 넘어가는 것이 기본이다. 위 문단에서 서술되어 있듯 일단 원이 여러 개 등장하면 모든 노가다 법은 계산히 상당히 길어지기 쉽다.

중등 KMO 2차에서는 쉽게 나오는 추세이다. 2022년에는 두 문제 모두 각만 돌리면 모두 끝나는 문제들이었다.

=== 미적분(고등부 한정) ===
{{{+1 Calculus}}}

2023년부터 고등부 한정으로 미적분이 새로 추가되었다. 추가된 지 얼마 되지 않았고, 미적분을 올림피아드에서 출제하는 나라는 루마니아 정도밖에 없으며, 대부분의 나라에서는 학부 경시대회나 가서야 미적분을 출제하기에 고등학교 레벨에서는 많은 정보를 알 수가 없다. 따라서 루마니아 올림피아드 미적분 문제를 통해 간접적으로 어떤 내용을 물어볼 만한지를 대충 예측해보는 것이 도움이 될 것이다. 아래 문제는 2023년 루마니아 수학 올림피아드 전국대회 12학년 4번 문제로, 이 문제에서 7점 만점을 획득한 학생의 수는 단 3명이다.
 
원문 문제 및 해설은 [[https://ssmr.ro/onm2023]]의 Etapa Națională - SOLUȚII și BAREME의 CLASA a XII-a를 보기 바란다. 참고로 다른 해의 문제를 보고 싶다면 onmXXXX의 연도를 바꾸면 된다. 단, 2012년 이후부터만 나오며, 2020년에는 실시되지 않았다.참고로 루마니아 수학올림피아드는 3시간에 4문제로, KMO 2차와 동일하다.

2023년 9월 1일 업데이트 - 링크를 추가했다.. [[http://www.mategl.com/download.htm]]

||<tablebordercolor=#dbe4e8,#1a1c2a><width=100%>[math(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R})]은 구간 [math([0,1])] 전체에서 미분가능하고, 도함수가 연속이며, 단조증가하는 함수이고, [math(f(0) = 0)]을 만족한다고 한다. 함수 [math(g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R})]를 [math(g(x) = f(x) + (x - 1) f'(x)~~(\forall x \in [0,1]))]로 정의할 때, 다음 문항에 답하여라.[br]a) [math(\displaystyle \int_{0}^{1} g(x) dx = 0)]임을 증명하여라.[br]b) [math(\varphi(0) = 0,~\varphi(1) = 1)]을 만족하는 임의의 미분가능한 볼록함수 [math(\varphi :[0,1] \rightarrow [0,1])]에 대해서 [math(\displaystyle \int_{0}^{1} g( \varphi(x)) dx \leq 0)]임을 증명하여라. ||
||<tablealign=center><tablecolor=#373a3b,#c4c7c8><tablebgcolor=#fff,#191919>{{{#!folding 【 풀이 】

a) 조건에서 [math(\displaystyle g(x) =\frac{d}{dx} ((x-1)f(x)))]임을 알 수 있다.
따라서 미적분의 제2기본정리에 의해 [math(\displaystyle \int_0^1 g(x)dx = \biggl[(x-1)f(x) \biggr]_0^1 =0\cdot f(1)-1\cdot f(0)=0-0=0)]이다.

b) 모든 [math(x \in [0,1])]에 대해서 다음을 얻는다: [math(\displaystyle f(\varphi(x)) =  f(\varphi(x)) - f(0) =  f(\varphi(x)) - f(\varphi(0)) = \int_{\varphi(0)}^{\varphi(x)} f'(s)ds)]

이때, 두 함수 [math(f',~\varphi)]는 모두 연속이므로, 합성함수 [math(f'\circ\varphi)]도 연속이다. 따라서 치환적분법 [math(s=\varphi(t))]를 적용하면 다음을 얻는다.

[math(\displaystyle f(\varphi(x)) = \int_{\varphi(0)}^{\varphi(x)} f'(s)ds = \int_0^x f'(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)dt)]

또한 [math(\varphi)]가 볼록함수이므로 그것의 도함수 [math(\varphi')]는 단조증가함수여야 하며, 함수 [math(f)]는 단조증가함수여야 하므로 그것의 도함수 [math(f')]는 음수가 될 수 없다. 따라서 다음을 얻는다.

[math(\displaystyle f(\varphi(x)) = \int_0^x f'(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)dt \leq \varphi'(x) \cdot \int_0^x f'(\varphi(t))dt)]

여기에서 함수 [math(\Phi :[0,1] \rightarrow \mathbb{R})]를 [math(\displaystyle \Phi(x) = \int_0^x f'(\varphi(t))dt~~(\forall x \in [0,1]))]로 정의하면 미적분의 제1기본정리에 의하여 함수 [math(\Phi)]는 도함수 [math(f'\circ\varphi)]를 가지며, 모든 [math(x \in [0,1])]에 대해서 [math(f(\varphi(x)) \leq \varphi'(x) \cdot \Phi(x))]가 성립함을 알 수 있다.Q

이제 양변을 통째로 0부터 1까지 정적분한 뒤에 부분적분법 [math(u=\Phi(x), dv=\varphi'(x)dx)]을 적용하면 다음을 얻게 된다.

[math(\displaystyle \int_0^1f(\varphi(x))dx \leq \int_0^1 \varphi'(x) \cdot \Phi(x)dx = \biggl[\varphi(x) \cdot \Phi(x) \biggr]_0^1 - \int_0^1 \varphi(x) \cdot \Phi'(x)dx = \varphi(1) \cdot \Phi(1) - \varphi(0) \cdot \Phi(0) - \int_0^1 \varphi(x) \cdot \Phi'(x)dx = 1 \cdot \int_0^1 f'(\varphi(x))dx - 0 \cdot 0 - \int_0^1 \varphi(x) \cdot f'(\varphi(x))dx = \int_0^1 f'(\varphi(x))dx - \int_0^1 \varphi(x) \cdot f'(\varphi(x))dx)]

따라서 최종적으로 다음을 얻는다.

[math(\displaystyle \int_0^1f(\varphi(x))dx + \int_0^1 \varphi(x) \cdot f'(\varphi(x))dx - \int_0^1 f'(\varphi(x))dx \leq 0)]

여기에서 (좌변) [math(\displaystyle = \int_{0}^{1} g( \varphi(x)) dx)]이므로 증명이 완료되었다.}}}
||

그 외에 참고할 만한 경시대회로는 [[윌리엄 로웰 퍼트넘 수학경시대회|William-Lowell Putnam Mathematical Competition]], International Mathematical Competition for University Students, Harvard-MIT Mathematical Tournament (2011년까지만), Stanford Mathematics Tournament 등이 있다. 또한 AoPS의 College Math 포럼에서 다양한 문제를 찾아보는 것도 도움이 된다. 한 가지만 더 말하자면, Supremum과 Infimum의 이해는 필수이다. 많은 경시대회에서 해당 용어를 직접적으로 언급 안 했을 뿐, 간접적으로 해당 개념을 출제한 전적이 있기 때문이다. KMO의 경우에도 2000년 KMO 8번 문제에서 Supremum을 구하라는 문제를 출제한 바가 있다. 특히 미적분은 특히 잘 나온다.

2023년 고등부 2차 시험 출제 범위에서 미적분은 제외되었다.
== 독학 방법(중등부) ==
[include(틀:학습 및 수험 관련 조언)]

고등 KMO는 독학이 거의 불가능하고 사교육이 필수지만[* 물론, [[https://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=139414|이 사례처럼 독학으로 중2에 고등 KMO 금상을 받은 사람도 있다.]] 그러나, 이 경우는 좋은 머리+엄청난 노력이 합쳐져야 가능하다.][* 하지 않으려고 해도 살아남아 도전하는 경쟁자들은 십중팔구 사교육을 받고 있다.], 중등 KMO의 경우는 시간과 의지가 있다면 충분히 독학할 수 있다. 독학러들을 위해 KMO 학원에서는 보통 어떤 책과 진도로 학생들을 가르치는지 상세히 설명했으니 목표가 생겼다면 열심히 공부하자.

참고로 여기에 있는 내용보다 1년 정도 늦게 시작하더라도 전혀 문제는 없다. 실제로도 초6보다 중1 응시자가 많고, 2차 진출 비율도 후자가 높다. 물론, 초6때 KMO를 응시한 사람이라면 중1 응시자에 비해 시간이 1년 더 많으므로 혹시나 떨어지더라도 1년 더 공부하여 좋은 상을 노려볼 수 있을 것이다.

보통 중등심화까지 포함해서 초등학교 3~4학년부터 대비를 시작하는 경우가 많다. 참고로 이 루틴은 매우 유동적일 수 있다. 본인의 개념 이해 정도에 따라 빨리 나갈 수도 있고, 느리게 나갈 수도 있으니 자신에게 맞는 진도로 나가자. 이 루틴을 따라가려다가 개념 이해도 안 되면 말짱 꽝이다.

 * 초등학교 4학년이 끝날 때까지 중등 수학 심화를 마친다. 1학년 1학기부터 3학년 2학기까지 총 6학기의 분량이며, 책은 에이급 수학을 이용한다.[* 더 공부하고 싶다면 하이레벨, 최상위수학 등의 심화 문제집을 골라서 풀어도 된다.] 약 9개월 정도면 이 과정을 끝낼 수 있다. 즉 대략 1개월 반마다 한 학기 분량의 에이급 수학 책만 풀면 된다.[* 에이급 수학을 풀어봤으면 알겠지만 의외로 에이급 수학은 난이도가 상당하기는 하지만 문제 양이 아주 많지는 않다.]

 * 초등학교 5학년이 되면 본격적인 경시 수학 공부를 시작하는데,[* 5학년부터는 KMO 시험을 접수하여 직접 쳐봐야 한다. 시험이란 것이 여러 번 경험할수록 긴장감도 덜해지고 내가 어느 위치에 있는지 정확히 파악할 수 있다. 5학년, 6학년, 중1, 중2 최소 4번 시험을 쳐보며 시험에 대한 이해를 높이고 성적 상승을 확인하며 실력 향상을 직접 느껴 보자. 동기부여에 큰 도움이 될 것이다.] 이때 고등과정 수학 상, 수학 하, 수1, 확률과 통계 앞부분[* 확률 앞부분까지]을 병행해서 공부한다.[* 고등 과정을 공부하는 이유는 KMO에서 기본적으로 사용되는 식의 변형법, 부등식, 삼각함수, 경우의 수 등을 익히기 위해서이다.] 책은 실력 정석과 블랙라벨을 추천한다. 이때 실력 정석은 연습문제를 모두 완벽히 풀 때까지 최소 3회독은 할 것을 강조할 정도로 아주 중요한 책이다. 만약 KMO 대비 뿐만 아니라 고등학교 과정 '선행'으로써 제대로 공부하고 싶다면 일품과 일등급수학이라는 교재도 풀어보는 것을 추천한다.[* 만약 고등수학을 공부하는데 아이디어를 얻기가 어렵다? 기본정석 3회독+쎈을 씹어먹은 후 실력정석 가도 된다. 물론 고등수학에서 고전한 학생이 과연 KMO 2차 이상에서 의미있는 성과를 낼 수 있는지는 의문이다.] 이 과정은 대략 1년 정도 걸린다.

 * 중등 심화를 마치고 초등학교 5학년이 되면 이제 본격적으로 경시 수학의 기본을 공부해야 한다. 이때 사용할 책으로는 지중상[* 올림피아드 수학의 지름길 중금 상]과 셈본[* 초급, 중급, 고급]이 주로 쓰인다. 지중상과 셈본 초급, 중급, 고급, 두 종류의 책을 병행하여 공부를 진행하면 대략 6개월 정도의 시간이 걸릴 것이다. 이때 중요한 것은 모든 문제를 빠짐없이 손으로 풀어보고 답지의 논리를 기억하며 스스로 풀이를 만들어내는 연습을 하는 것이다. 이 과정은 앞으로의 모든 경시 수학 공부에 있어서 가장 중요하다.[* 또한 5학년 때 KMO를 쳐 보며 자신의 점수를 보고 충격을 받을 것이다. 괜찮다. 기회는 3번 남았다.] 이 공부가 끝나면 5학년 여름방학이 1달 정도 남게 된다. 영재고/과고를 가기로 마음먹었다면 방학 기간에 학교 공부를 하지는 말자.[* 초등학교~[[자유학년제|중학교 1학년]] 한정] 시험이 없을 뿐더러 5학년 과정은 학교 수업만 잘 들어도 절대 무리되는 것이 없다. 경시 수학에 집중하자.

 * 지중상, 셈본을 독학하였다면 이제 지중하[* 올림피아드 수학의 지름길 중금 하]와 장환수학(정수론, 대수론, 기하학[* 기하학을 공부하면서 문제를 보고 도형을 그리는 연습을 충분히 해 두자, 실전에서는 친절히 그림을 그려 주지 않는다.], 경우의 수 조합)을 풀 차례이다. 셈본 고급까지 푼 뒤에 지중하로 넘어가면 큰 난이도의 상승을 느끼지는 못할 것이다. 그러나 지중하는 문제 하나하나가 너무나 소중한 문제들이므로 반드시 한문제 한문제에 영혼을 담아 풀이 유형을 정복해야 한다. 이 책과 장환수학을 보통 병행하는데, 장환수학은 솔직히 쉽다. 그러니 한 권당 한달 반 정도면 무리 없이 풀 수 있다. 6개월 정도면 지중하와 장환수학을 모두 풀 수 있고, 이 과정까지 끝냈다면 여러분은 이제 5학년이 끝나간다.[* 위의 위에서 말한 고등 선행도 지금쯤은 끝나 있어야 한다. 그래야지 앞으로 나올 대수를 공부할 수 있다.]

 * 위의 과정[* 중등, 고등 수학, 심화, 지중상하, 셈본, 장환수학]이 모두 끝나고 훌륭한 예비 6학년[* 즉 5학년 겨울방학 시기]이 되었다면 크게 4가지 영역(정수, 대수, 기하, 조합)의 기본 공부를 시작해야 한다. 각 영역별로 사용하기 적합한 책은 마두식의 정수론, 평면기하의 아이디어, 바이블 대수, 바이블 조합[* 바이블 시리즈는 정수, 기하도 있지만 앞의 두 책이 너무 완벽하고 훌륭하여 굳이 볼 필요 없다.]이다. 6개월, 그러니 6학년 KMO 전까지 계획을 세워서 열심히, 성실하게 공부하면 마두식의 정수론 1권,[* 1, 2, 3권으로 이루어져 있다.] 평면기하의 아이디어 3회독, 바이블 대수와 바이블 조합을 끝낼 수 있을 것이다.[* 여기서부터 공부량이 점차 늘어나니 공부 습관을 만드는 연습을 무조건 해야 하고 동기부여도 꾸준히 필요하다.] 마두식의 정수론은 문제 풀이와 motivation이 아주 잘 드러나 있어 공부하기 최고의 책이고, 평면기하의 아이디어는 그야말로 KMO 기하의 교과서 같은 책으로 무조건 3회독 이상 해가며 꼼꼼히 복습해야 한다. 바이블 대수, 조합 역시 너무나 훌륭한 책이다. 이 책들을 꼼꼼히 공부한 후에 KMO 시험장에 들어가면 확실히 저번 시험보단 아는것도 많이 보이고 자신감이 확 붙을 것이다. 2차에 붙을 수도 있다.

 * 이렇게 훌륭한 6학년생으로서 KMO 1차를 통과했다면 이제부터가 또 중요하다. 지금부터 풀 문제들은 전부 단답형이 아닌 서술형이라고 생각하며 문제들을 풀어나가야만 한다. 앞으로 칠 시험들을 대비할 뿐만 아니라 자신의 풀이를 정리하고 남한테 이해시킬 정도의 서술을 함으로써 문제 풀이 능력이 올라가기 때문에 수학적인 서술을 동반한 문제 풀이가 이루어져야 한다는 점을 이 시기쯤에서 꼭 인지하고 서술 연습을 충실히 하자.

== 시험과정 ==
=== 1차 시험 및 수행평가 ===
==== 중등부 ====
중등부의 경우 공식적인 1차 시험이 존재한다. 2003년부터 도입되었으며 Pre-KMO(PKMO)라고 하기도 한다.[* 2002년 이전에는 PKMO가 없었고 1차시험이 현재의 2차시험, 2차시험이 현재 최종시험 역할을 했다. 고등부도 마찬가지.]

주로 5~6월에 있으며,[* 2020년 한 해만 [[코로나 19]]로 인해 9월 12일로 연기되었다. 2021년에는 다행히 시험이 5월로 잡혔다. --6월로 연기되었다-- 정확히는 6월 12일(...)] 2006년부터 제한시간 4시간 동안 천지선다형 단답형 20문제를 푸는 형식으로 치러진다. 100점 만점이며, 배점 구성은 4점 4문제(1~4번), 5점 12문제(5~16번), 6점 4문제(17~20번)의 구성으로 되어 있다. 각 4분야(대수, 정수, 조합, 기하)에서 5문제씩 출제한다.[* 각 분야마다 1문제는 4점, 1문제는 6점, 나머지는 5점.][* 2003년에는 5지선다형 객관식 15문제와 천지선다형 단답형 5문제로, 2004-2005년에는 5지선다형 객관식 10문제와 천지선다형 단답형 10문제로 출제되었다. 또한 2003년과 2004년에는 제한시간이 4시간이 아닌 3시간이었으며 2005년부터 제한시간이 4시간으로 증가했다. 배점은 전 문항 5점으로, 5지선다형은 정답 5점, 답안 무표기 2점, 오답 0점이었고, 단답형은 정답 5점, 그 외의 경우 0점이었다.]

뒤에서 서술할 2차 시험 및 FKMO의 [[크고 아름다운]] 주어진 시간을 보면 알 수 있듯이, 문제의 난이도 자체는 별로 낮지 않다.[* 특히 6점 짜리 문제들은 2차시험에서도 나올법한 아이디어들이 나오는 경우도 많다.] 2008년부터 쉬워지고 있는 추세이며 2007년까지 50점 내외였던 동상 커트가 60대 중후반까지 올라가기도 했고 현재진행중이다. 모 학원은 7명의 선생님이 같이 풀어서 올린 정답에서 총 7회를 걸쳐 수정되었고, 점수를 계산해보면 금상 컷 아래이기 때문에 "선생님 7명이 풀어서 은상을 받았어요" 가 유행어가 되기도 했다. 그만큼 실수하기도 쉽고 문제도 어렵다. 즉, 처음에는 시간 제한을 두지 않고 실수 없이 문제를 푸는 연습을 하자.[* KMO 1차와 비슷한 유형의 단답형 수학경시는 [[KMC]]나 성대경시 등이 있으나 KMO 1차는 수학 관련 경시대회 중 가장 위상도 높은 만큼 이중에서 난이도 또한 가장 높다.]

 * 2016년에는 이 원칙이 지켜졌다...고보기는 좀 그렇다. 대수와 혼동되기 쉬운 정수 과목의 특성상, 대부분의 문제를 부정방정식으로 도배해 놓아서 그것만 놓고 보면 정수만 9문제 나온 꼴이 되었다.

 * 2017년 시험은 사람들마다 평이 갈린다. 대부분은 작년보다 조금 더 어려워졌다 라는 반응이다. 0점 방지 문제가 더 쉬워졌고 100점 방지 문제가 더 어려워 졌다. 특히 가형 7번은 이번 기하 문제중에 가장 어렵고 까다로운 유형이다. 여러 학원에서 이번 상 컷이 10점 정도 내려갈것으로 추측하고 있다. 결국 동상컷은 54점, 장려컷이 45점. 허나 이번 KMO의 등급컷이 하락한 이유는 중3이 [[영재고]] 입시일이 바로 KMO 다음날이라 KMO에 지원하지 않아서 등급컷이 폭락하였다는 설도 유력하다. 중3은 실력으론 초등학생 및 중1,2 와 비교할 수 없고, 경력도 넓고, 무엇보다 KMO을 여러 해 치면서 경험을 많이 하기 때문이다.

 * 2018년에는 다시 난이도가 하락하였다! 우선 기하가 매우 쉬워서 6점짜리 문제조차 단 세 줄의 풀이로 풀리는 수준이었고, 정수도 매우 쉬웠다. 그러나 많은 대수 문제가 정수와 결합하여 나와 대수 잘하는 학생들 중 고전을 겪은 학생들도 있긴 하다. 해석과 조합에서 실수를 유발할 수 있는 문제가 많아서 커트는 예년과 비슷하거나 조금 더 올라갈 것으로 보인다.

 * 2019년에는 상당히 쉽게 나왔다. 근데 컷이 매우 낮았다. 또한 기하가-- 찍기-- 쉽게 나와 찍어서 10점을 가져갈 수 있었다. 대수는 약간 난이도가 있는 부등식, 조합은 길찾기가 많이 나왔다.

 * 2023년에는 매우 쉽게 나왔다. 첫장은 심각할 정도로 낮은 난도였으며, 특히 4점 문제 4문제는 그냥 평범한 중학생도 쉽게 풀 수 있게 출제되었다. 둘째 장은 그렇게 쉽다고 하기는 어려웠다. 기하는 5문항 모두 난이도가 상당히 낮았으며, 조합은 꽤 까다롭게 나왔지만 첫 두 문제가 굉장히 쉬웠다. 대수는 다시 난이도가 하락하였는데, 마지막 20번 문제는 과거 고등부 KMO에 출제된 적 있다. 정수 같은 경우에는 평이하게 나왔으며 마지막 문제는 CMS 문제집에 같은 문제가 실려 있었으며, 문제 풀이 아이디어는 2011학년도 수능 '''나형'''에서도 나온 바 있었다. 요약하자면 문제를 조금 성의없이 낸 경향이 있어 보이지만 이번에 수상 인원을 20%으로 늘렸기 때문에 동상 커트라인은 전년도과 비슷한 64점이었다. 하지만 동상 커트라인은 작년과 비슷한 11%로, 참가자들의 실력 하향이 커트라인의 소폭 상향에 영향을 미쳤다고도 할 수 있다. 
===== 2006~2019, 2022~2023 역대 1차 수상 컷 =====
전국 상 기준.[* 즉 지역상은 포함하지 않았다.] 상술했다시피 동상 이상 수상자만이 2차 대상자이다. 하지만 동상컷이 어떻게 정해질지 모른다. 
||연도|| 장려상 ||<#775e39> {{{#fff '''동상'''}}} ||<#c0c0c0> {{{#373a3c '''은상'''}}} ||<#ffd700> {{{#373a3c '''금상''' }}} ||
||2006[* 2006~2019, 2022년간 가장 장려컷, 은컷이 낮았고 2015년과 공동으로 금컷이 낮았던 해]|| '''35''' || 45 || 53 || 63 ||
||2007|| 41 || 53 || 63 || 71 ||
||2008|| 47 || 57 || 68 || 79 ||
||2009|| 55 || 65 || 78 || 86 ||
||2010|| 46 || 54 || 65 || 75 ||
||2011[* 2006~2019, 2022년간 2015년과 공동으로 가장 동컷이 낮았던 해]|| 36 || '''44''' || 48 || 59 ||
||2012|| 53 || 59 || 70 || 80 ||
||2013|| 45 || 53 || 63 || 73 ||
||2014|| 48 || 55 || 65 || 74 ||
||2015[* 2006~2019, 2022년간 2011년과 공동으로 가장 동컷이 낮았고 2006년과 공동으로 가장 금컷이 낮았던 해]|| 38 || '''44''' || 54 || 63 ||
||2016[* 2006~2019, 2022년간 금컷~장려컷 '''모두''' 가장 높았던 해. 2016년의 장려컷 동컷은 장려컷, 동컷 모두 가장 낮았던 해와 '''30점'''(...) 차이난다.]|| '''65''' || '''74''' || 81 || 90 ||
||2017|| 45 || 55 || 68 || 79 ||
||2018|| 52 || 59 || 69 || 80 ||
||2019|| 52 || 59 || 69 || 83 ||
||2022|| 55 || 63 || 68 || 80 ||
||2023|| 55 || 64 || 73 || 82 ||

===== 온라인 시험(2020~2022) =====
2020년부터 [[코로나바이러스감염증-19|COVID-19]] 확산에 따라 대한수학회에서도 온라인으로 KMO를 진행할 수 밖에 없게 되었다. 

 * 2020년 시험은 온라인으로 진행되었고, 한국중학생화학성취도평가(화올)과 같은 NTEST 업체를 사용하였다. 원래 계획은 1시간 씩 3교시와 중간중간 30분의 휴식시간으로 이루어져 있었으나...모든 시험시간이 '''1분'''으로 설정되는 일이 벌어졌다. 자세한 내용은 [[2020년 온라인 KMO 오류 사건|해당 문서]] 참조.

 * 2021년 시험 또한 온라인으로 진행되었으며, 모니토 업체를 사용한다. 지난 시험과 다르게 화면 공유를 해야하며, 카메라 또한 사용한다. 계획은 2시에 시험을 시작하여 1시간 15분 동안 시험을 보고, 30분 휴식한 뒤에 다시 1시간 15분 시험을 봐서 2교시로 이루어진다. 다행히 아무 일도 일어나지 않았다. 모든 문제의 배점이 5점으로 같았고 이를 전날에 공지한 걸 제외하면 난이도, 부정행위 방지, 시험 진행 등 여러모로 호평이다.

 * 2022년 시험 또한 온라인으로 진행되었으며, 시험 방식은 2021년과 동일하다. 기존과 같이 4점 문제 4개, 6점 문제 4개, 5점 문제 12개로 배점이 돌아왔다.

==== 고등부 ====
고등부는 지원 시 서류 및 자기소개서를 제출하는 서류전형을 가장 먼저 겪게 되며, 서류전형에 통과할 경우 한 달간 통신강좌를 개시한다. 강의 내용을 주고 그것으로 자습을 하게 하는 방식이며, 4주간의 강좌 후 5~6월 경 수행평가가 실시된다. 이것에 대한 비판이 있다면 최근 IMO 실적이 이것 때문인지 떨어졌다는 비판이 있다. 우연의 일치인지 이러한 서류 면접형 방식이 정착된 2014 KMO에서 선발된 대표팀이 IMO에서 줄곤 1~2위를 하다가 급격히 7위로 추락[* 잘했다는 소리도 있으나 전체적 성적이 떨어진 점도 있다.]했다는 것이다. 사교육 방지용이라지만 애초에 KMO라는 것부터가 수준이 사교육을 안 할 수가 없는 어려운 난이도이기 때문에...

그런데 사실상 서류전형에서 떨어지는 사람은 그리 흔하지 않고[* 2016년 KMO부터 폐지되었다.], 통신강좌만으로 수행평가를 대비하기에는 한계가 있기 때문에[* 통신강좌의 절반은 '''수행평가가 끝나고''' 나눠 주기도 한다. 그냥 교양으로 읽어 두라는 것이다.] 이 둘은 형식에 가깝다는 평을 받고 있으며, 수행평가의 형식이 중등부 1차 시험과 동일하기 때문에 말만 수행평가지 실제로는 교묘하게 위장한 고등부 1차 시험이라고 볼 수 있다. 단 난이도 면에서 수행평가를 중등부 1차 시험과 동일하게 봤다면 오산. 중등부에 비하면 아스트랄하게 어렵기 때문에 커트라인조차 매우 낮은 편이다. 수행평가로 명칭이 변경된 이후에는 상을 따로 수여하진 않으며 2차시험 대상자를 발표하는데 보통 커트라인이 20~30점대이며, 극단적으로 '''10점 후반~20점 초반'''대로도 통과하는 경우도 있다.

궁금한 사람, 특히 이 글을 본 수학과 학생들 중 “훗, 겨우 미성년자 경시 주제에.” 라고 생각한 사람들은 당장 위 사이트에서 문제를 찾아 풀어보기 바란다. 참고로 이 문제들은 고작 예선전에 지나지 않는다. 물론 0점 방지 문제가 몇 개 정도 있다. 예를 들면 2014년 중등부 1차시험 18번 문제[* 무려 6점으로 배점이 가장 높은 4문제 안에 속함에도 불구하고 여러가지 절대부등식 단원을 배운 사람이라면 풀 수 있을만한 문제이다.]와 2016년 1번 문제는 고등학교 1학년 과정만으로도 충분히 풀 수가 있다.

2017년부터는 약간 복잡한 방식으로 전형을 실시한다. 일단 고등학교 미재학생, 그리고 과학고와 영재고 재학생은 응시할 수 없는 오일러 부와 전체 참가인 가우스 부로 분리되고, 각 전형별로 우수 성적자에게 금상~장려상[* 2010년대 초에는 고등부에서 잠깐 수상 제도가 폐지되었다.]을 준다. 또한 형식상이지만 실시되었던 1차 시험 교육 또한 폐지되었다. 그런데 국가 대표는 오일러 부와 가우스 부에서 동시에 뽑는다.

2023년부터는 범위에 확률과 통계, 그리고 무려 '''미적분'''이 추가되었다. 사실상 많은 나라에서 확률 부분은 조합론의 하위 분야로 간주하고 출제하기 때문에, 가장 중요한 변화는 미적분 추가라고 봐도 과언이 아니다.[* 3월에 알려준 거면 이른 거라고 생각한 사람이 있을 수도 있겠지만 고등 kmo의 난이도와 학생들의 준비기간을 생각해보면 매우 늦은 것임을 알 수 있다. 특히 미적분을 올림피아드에서 출제하는 나라는 루마니아 정도밖에 없는 상황이라 이제 고등부는 Putnam을 비롯한 '''학부 수학 경시대회'''를 기반으로도 준비를 해야하는 상황이다.]
=== 여름학교 ===
여학이라고 줄여서 부르기도 한다.

1차 시험이 일정 점수를 넘은 사람을 따로 모아, 여름학교를 개최한다. 여름학교는 보통 11박 12일의 캠프 형식으로 치러지는데, 사실상 국가대표 선발에 큰 의미는 없다. 애초에 중등부는 난이도가 쉽고 고등부는 커트라인이 낮아 1차 시험이 그렇게만치 큰 변별력이 없는 데다가, 2012년까지만 해도 2차는 2~3주밖에 안 남았고, 교육과정은 어지간한 대치동 학원보다도 떨어지는 데다, 날씨도 덥지, 심하면 영재학교 입시(캠프) 일정과 여름학교 일정이 겹치기 때문에 오히려 안 가는 것이 남는 장사가 되기도 한다. 특히 2010년에는 고득점을 얻은 중·고등학생들이 대거 빠져 할 수 없이 지역동상으로 간신히 합격한 초등학생이 입교 대상자로 선발되기도 했다. 오죽했으면 여름학교 조교였던 강사들이 "작년에 FKMO 성적우수 특례로 1차 건너뛰고 여름학교 참가한 학생을 제외하면 여름학교 참가한 학생 중 2차 금상 받는 학생이 손에 꼽힐 정도였다"고 할까.

=== 가을 통신강좌 ===
여름학교 수료자에 한해서 가을 통신강좌가 우편으로도 발송되고, 사이트를 통해서도 볼수 있다. 보통 8호로 완결되며, 봄 통신강좌보다는 아니지만 유익한 내용이 많으니 해당되는 학생이라면 버리지 않고 읽기로 하자.[* 가을은 홀수, 봄은 짝수.]

=== 2차 시험 ===
과거에는 8월 경에 시행했지만, 2013년부터는 11월에 시행하는 것으로 공식 변경되었다. 형식은 중등부와 고등부 모두 오전과 오후로 나뉘어서 각각 3시간씩 총 6시간의 시간을 두고 서술형 4문제씩, 총합 8문제로 치러진다.[* 2003년에는 중등부 5문제, 고등부 4문제에 제한시간 3시간, 2004년에는 중등부, 고등부 모두 5문제에 제한시간 4½시간이었으며, 2005년부터 2016년까지는 현제와 동일한 문항 패턴에 제한시간이 오전, 오후 2½시간씩 총 5시간이었다.] 각 4분야에서 오전 1문제, 오후 1문제씩 출제된다. 문제 수는 적지만 서술형인데다 어려워서 8문제를 완벽하게 풀어서 내는 사람은 손에 꼽힌다. 각 문제당 최대 7점씩 총 56점이며, 답만 적는 경우, 혹은 문제를 풀지 못하고 핵심 아이디어를 적어 냈다 하더라도 1~2점밖에 못 받고, 풀이를 모두 완성했다 하더라도 빠뜨린 경우가 있거나, 부등식 문제인데 등호조건을 쓰지 않았다던가, 서술이 미흡한 부분이 있다면 4~6점으로 감점되기도 한다.[* 그런데 이 감점 혹은 부분점수도 만만하게 볼 수 없는 것이, 못 푼 문제에서 부분점수를 꼬박꼬박 받아 한 문제를 더 푼 효과를 내어 상을 올리기도 하고, 반대로 서술이 미흡한 부분에서 꼬박꼬박 감점이 되어 한 문제를 덜 푼 것처럼 되면 상이 내려가기도 한다. 서술을 연습하자.] 4~6점으로 감점되면 다행이지 0~1점 받는 학생도 수두룩하다.

대부분의 경우 오전 4문제 중에 4번, 오후 4문제 중에 7·8번은 아예 접근을 불허하는 문제로 출제된다.[* 문제 난이도는 오전에서 1~4 순으로, 오후에서 5~8 순으로 높아지는 게 일반적이다. 오후가 오전보다 난이도가 높으므로 2·5번, 3·6번, 4·7번은 난이도가 비슷한 것으로 볼 수 있다. 다만 일부 편차는 있다. 단적으로, 2012년 오전 문제 중에는 1번을 가장 어렵게 내는 테러짓을 했다(...)] 학원가에서도 갖가지 뻘짓을 다 해서 겨우겨우 풀고는 3페이지가 넘는 넘사벽급 노가다 풀이를 올리기도 한다. 또한 고등부 문제와 그에 상응하는 중등부 문제가 비슷한 풀이 방법이나 비슷한 아이디어, 키워드를 공유하고 있는 경우도 있고, 2011년부터는 아예 고등부 문제 중에 쉬운 문제의 경우 중등부에 동일한 문제를 출제하기도 했으며, 만약 중등부인데 넘사벽 문제가 나왔다면, 시험이 끝나고 학원 사이트/KMO 커뮤니티 등지를 찾아보면 '그 문제는 고등부 몇 번과 문제가 동일했다는' 소식을 들을 수 있을 것이다.

2011~2012년의 금상 커트라인을 예로 들면, 중등부는 5문제[* 31점 내외. 대개 오전 3문제, 오후 1문제+부분점수], 고등부는 3문제 반[* 24점 내외. 대개 오전 2문제, 오후 1문제+부분점수] 정도로 생각되는 듯.[* 사실 웹 상에 떠돌아다니는 말들이 잘 맞기는 하지만, 채점기준표 성적 커트라인 등을 공개하지 않는다. 2차는 1차와 달리 교수 재량으로 채점한다. 학생이 서술을 잘 한다면 1문제 덜 풀어도 상이 나오는 편이고 [[에바리스트 갈루아|서술을 못한다면 '''8문제 모두 풀고도''' 은/동까지 떨어질 수 있다.]] ] 다만 후술하겠지만 이 두 번은 난이도가 상당히 높았다.

사실 채점을 해본 사람에 의하면, 의외로 채점 기준은 매우 단순한 경우가 많다. 기본적으로 모범 답안에서 중요한 과정이 되는 스텝마다 부분 점수를 주는데, 그 과정이 '매우 간단한'[* 문제만 보고 바로 생각할 수 있는 수준의] 것일 수도 있다. 즉, '에라 모르겠다'라고 문제 조건을 대충 변형해서 써놓았더라도 문제 풀이의 과정에 들어간다면 1~2, 많으면 3점도 받을 수 있다! 지나치게 장황하게 쓰기보다는 가능성이 있는 과정을 유도해 내는 것이 중요하다.

다만 모든 문제가 그렇듯 '''모법 답안'''은 말 그대로 문제를 보고 해낼 수 있는 '''모범(또는 평범한)''' 풀이일 뿐 나올 수 있는 유일한 풀이가 아니기 때문에 가끔 예상도 안 된 풀이가 나오기도 한다.

IMO에서는 모범 답안 외에 제시된 풀이 중 모범풀이보다 훨씬 나은 풀이이거나 굉장히 우아한 풀이를 제시할 경우 등 가치가 있다고 판단되는 경우 특별상(Special Prize)이 수여된다. 그 악명높은 1988년 IMO 6번 문제를 Vieta Jumping이라는 기발한 방식으로 손쉽게 풀어낸 학생이 가장 유명한 특별상 수상 사례이다. 근래에는 2005년 IMO 3번 문제에서 3변수 부등식 문제를 n변수 문제로 확장시켜서 풀었던 학생에게 특별상이 주어졌다.

2017년 KMO 2차는 기하가 해탈할 정도로 쉬웠고, 조합은 매우 어려워 상이 대수와 정수에서 결정된다는 의견이 많다. 대수은 키 포인트만 알면 쉽게 풀 수 있었다는 평이고, 정수는 1번은 더블카운팅-- 잠시만 이거 정수라 하지 않았나--, 2번은 최대최소 대입하면 되었다. 3번은 좀 어려웠다는 평이였다. 특이하게 조합이 한 문제였고, 정수가 세 문제였다. 몇년동안 계속 나오지 않았던 부등식이 대수 1번 문제로 나왔다. 대수 2번 풀이가 특이하여 받아들이기 어려운 학생도 많은 듯 하다.

2018년 중등부 2차의 경우 정수, 대수에서 서너문제 이상 푸는 사람이 대부분일 정도로 난이도가 쉬웠으며 타 기출문제를 그대로 가져다 쓰는 등 난이도 관련 논란이 있었다.[* 시중의 책 '마두식의 정수론'에 소개된 문제가 그대로 출제되기도 하였다.]

2019년 중등부 2차의 경우 정수가 각각 원시근, 이차 잉여를 사용하는 이론적인 문제로 출제가 되었으며 대수는 평이한 부등식 한 문제, 그리고 감점될 부분이 많아 까다로운 함수방정식이 출제되었다. 기하는 1부가 매우 쉬웠으나, 2부는 그림의 작도에 어려움이 있었다. 조합은 오랜만에 1부가 쉽게 출제되었으며, 2부는 접근을 불허했다. 겨울학교에서 밝혀진 바에 따르면, 만점에 가까운 점수를 받은 학생은 단 두 명이었고, 그 두 명도 풀이과정에 전체적인 맥락이 맞았을 뿐 만점은 받지 못했다고 한다. 겨울학교 교수님이 문제 풀이를 위하여 설명을 하시는 도중 밝혀졌다. 실제로 문제로 훨씬 어려운 문제가 주어지기도...

2019년 고등부는 평이한 부등식 문제와 fixed point를 이용하는 함수방정식 문제, 보통 난도의 기하 문제 2개가 출제되었다. 정수는 전형적인 펠 방정식과 t+1/t 치환을 이용하는 문제, 조합은 간단한 선형대수학(?) 문제와 cubic graph의 hamiltonian cycle에 관한 내용이 출제되었다

금상커트의 경우 4,5문제를 '''완벽히''' 푸는 것으로 알려져 있다.

=== 겨울학교 ===
중, 고등부 KMO 2차 시험에서 각각 상위 20명, 60명 정도를 선발한다. 중등부는 금상 상위권, 고등부의 경우 금상 거의 전체~은 상위 50% 정도가 해당된다. 일반고 출신은 동상을 받아도 입교하는 경우가 있다. 2주 정도로 운영되며, 1월 초, 중순을 잡아먹는다. 매주 주말에는 FKMO와 같은 형식의 '겨울학교 모의고사'가 있으며, RMM 대표를 결정하는 가장 핵심적인 시험이며, 13인 선발에 반영된다.[* 잘못 알려진 상식 중에 하나다. 겨울학교 모의고사는 13인 선발 및 최종 대표 선발에 FKMO만큼은 아니더라도 굉장히 높은 비중을 차지한다.] 진짜배기 실력자들이 모이는 곳.

보통 시험이 없는 날에는 아침에 교수 강의, 점심에 조교 문제 풀이, 저녁은 자율학습을 하게 된다. 자율학습은 그 다음날 조교가 풀어줄 문제이며 난이도가 입교하고나서 점점 헬게이트가 된다(...) 초반에는 열성적으로 푸는 경우가 많지만 후반으로 갈수록 참여율이 저조해진다. 어차피 꼭 풀 필요가 없기도 하고. 보통 푼 사람이 수업시간에 풀이를 적으며 어려워서 푼 사람이 없으면 조교가 풀어준다. 이런 자료들을 모으고 모아서 매 차수 겨울학교마다 연습문제 풀이집을 발간하기도 한다.

겨울학교 모의고사에서 일정 이상의 성적을 거두면 다음해 KMO 1차[* 수행평가]를 면제하고 2차시험으로 곧장 올 수 있게 한다고 한다.

주중은 강의, 연습문제 풀이, 소그룹 지도[* 소그룹 지도 시간에는 알아두면 좋은것들 등을 배우게 된다.(2020년 기준) 특별히 정해둔 커리큘럼과 같은것은 없고 그때그때 필요한 것을 배운다.-- 조교마음--]를 진행한다. 사실 소그룹 지도는 완전히 수학적인 내용보다는 창의력을 요하는 문제들이 꽤 있다. 조교들 중 [[문제적 남자]]에 출연했던 사람들도 있어 그러한 스타일의 문제들도 많다.

2020 겨울학교는 [[아주대학교]]에서 진행되었다. 기숙사는 아주대학교 용지관에서 생활하며[* 남자 기준], 앞에 기숙사식당에서 식사를 한다. 식권은 아침, 점심, 저녁으로 각 날짜에 맞추어 주어진다. 기숙사 식당은 권하지 않는다. 하루 일정은 기상, 아침, 연습문제 풀이, 강의, 연습문제 자습, 취침의 순서다.

2021년 겨울학교는 [[코로나19|COVID-19]]으로 인하여 온라인으로 진행되었다. 오프라인으로 진행되던 겨울학교에서는 유례가 없었던 연습문제 과제 제출이라는 제도가 생겼다. 또한, 겨울학교 모의고사도 온라인으로 진행되었는데, 1시간 30분씩 2교시로 이틀에 걸쳐 보는데 시간이 상당히 촉박하다. 연습문제 과제 제출을 푼 흔적도 남기지 않고 백지로 내거나, 내지 않을 경우 겨울학교 수료가 이루어지지 않을 수 있으니 주의해야 한다.

2023년 겨울학교는 '''아예 진행되지 않았다!'''
=== 봄 통신강좌 ===
겨울학교 입교자를 대상으로 실시하는 통신강좌이다. 2023년에는 2차 성적 우수자를 대상으로 했다.
2023년 기준 8회로 정수, 대수, 조합, 기하 4개 과목을 2회씩 한다. --조교들은 정수론 통신강좌가 쓰기 가장 어렵다고 말한다--
=== 최종시험(FKMO) ===
{{{+1 Final KMO}}}

[[국제수학올림피아드|IMO]] 최종후보 선발 시험으로, 중고등부를 나누지 않으며 예년 고등부 2차시험 동상 이상이거나 중등부 겨울학교 수료자에 한해서 본다.[* 중등부에 응시했던 학생은 응시 대상자에 포함되지만, IMO 대표 선발은 2차시험에서 고등부에 응시한 학생 중에서 선발한다.] IMO 최종후보 13인 선발에서 '''매우''' 큰 비중을 차지하는 시험이며, 거의 이 시험과 TST로 대표 선발이 결정된다고 해도 과언이 아니다.[* 한국대표 선발에서 각 시험이 차지하는 비중은 매년 조금씩 바뀐다. 시험 비중에 대한 여론은 TST = FKMO > 겨울학교 모의고사 >= APMO >> 2차 KMO으로 보통 알려져 있지만 내부 사람들 외 확실한 정보를 아는 사람은 아무도 없다. 2차 KMO가 생각보다 비중이 크다고 주장하는 사람들도 있다.][* IMO 최종후보 선발에는 이 중에서 TST를 제외한 나머지 시험(FKMO, 겨울학교 모의고사, APMO, 2차 KMO)의 결과가 반영된다.][* 2017~2021년 대표선발에는 RMM(Romanian Master of Mathematics)가 추가로 반영되었다. 비중은 APMO와 모의고사의 중간 정도였다.]

형식은 보통 3월 말 쯤 토/일 2일간 치러지며, 각각 3문제에 4시간 30분의 제한시간으로 응시한다. 이는 IMO와 같은 형식이다.

문제의 난이도는 매우 어려우며, FKMO에서 수상경력이 있는 사람들은 비록 13인이나 대표가 되지 못한다고 해도 수학경시 바닥에서 고수라고 불리며 네임드가 된다. 수상은 최우수상/우수상/장려상의 3가지로 분류되며, 가장 고득점을 달성한 사람이 최우수상을 받는다.[* 즉, 1명...] 보통 입상권은 장려상 2문제, 우수상 4문제 정도로 결정된다. 2차시험보다 난이도가 훨씬 어려운 걸[* 2차시험에서 8번, 즉 제일 어려운 문제가 FKMO에 1~2번으로 나오는 수준이다.][* FKMO 1~2번보다는 8번이 일반적으로 훨씬 어렵다.] 감안하면 매우 커트가 높은 편이다.[* 하지만 한 문제당 주어지는 시간이 FKMO는 90분, KMO는 45분이다.] 중학생은 장려상만 받아도 매우 잘하는 것이라고 할 수 있다. 특히 최우수상은 거의 무조건 대표로 직결되는 그야말로 엄청난 상이다. 물론 TST 못보면 대표 못 되기는 하지만. 이 시험의 결과 발표와 최종후보, 교육대상자의 발표는 거의 동시에 난다.

2021년에는 [[COVID-19]]로 인해 온라인으로 하루 동안 진행되었으며 오전, 오후 각각 3시간씩 주어졌다.

=== 대표선발최종시험(TST) ===
{{{+1 Team Selection Test}}}

모든 KMO의 일정 중 마지막 시험이다.[* 한국대표 선발에는 여기에서 언급된 시험 외에 [[아시아태평양수학올림피아드]] APMO 결과도 반영된다. 다만 이 시험은 대한수학회가 아닌 APMO 개최국에서 주관하는 것이므로 이 문단에서는 다루지 않는다. 이는 상술한 RMM도 마찬가지다.] 유일하게 교수들이 출제하지 않으며, 비밀로 간주되어 엄중하게 보관되고 있는 그 해의 IMO Shortlist에서 6문제를 적당히 뽑아 출제한다. 거의 Shortlist의 넘버 4[* 실제 IMO에 출제되었다면 2번이나 5번 정도로 출제되었을 문제] 이상으로 출제되어, 난이도는 최종보스답게 수많은 올림피아드 시험 중에서도 가장 높다. 응시자는 13명 내외이며[* 교육대상자도 응시대상. 다만 이들의 성적은 반영되지 않는다.], 이 시험으로 대표 6명을 선발한다. 워낙 상위 클래스의 사람에게만 열려 있는 시험이므로, 존재 자체를 잘 모르는 사람도 많다.

== 사건사고/논란 ==
=== [[2020년 온라인 KMO 오류 사건]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=2020년 온라인 KMO 오류 사건)]
위 문서에서 서술한 대한수학회의 대형 사고로 인해 30년이 넘는 KMO 1차 시험 중 '''유일하게''' 단독 문서가 있는 시험이다.

== 난이도 ==
고등부 시험의 경우 제 25~26회 KMO(2011~2012)가 어렵기로는 투톱을 달렸으며-- 2012 KMO 고등부 8번(정수조합)은 한명도 제대로(7점을 맞은) 푼사람이 없다는 출제자의 발언이 겨울학교에서 발설되었다.-- 너무 어렵다는 의견 때문인지 27회 KMO와 FKMO의 문제 난이도는 예전에 비해 대폭 낮아졌다.

사실 KMO의 난이도를 논하는 것은 매우 무의미한 일이다. KMO 관계자들은 검토나 난이도를 조절할 여력이 없기 때문이고, 반대로 만점이 나와 변별력을 잃는 것도 아니기 때문이다.

1차 시험의 난이도는 2008년 시험부터 중등부의 경우 상당히 낮아졌으나 고등부는 이전과 별로 차이는 없어보이며 2차시험의 난이도는 중, 고등부 모두 이전과 별로 차이가 없다. 어차피 2차 시험은(특히 고등부는) 할 애들만 하기 때문에... 그러나 아무리 시험이 옛날보다 쉬워졌다고 해서 입상 난이도까지 낮아졌다는 얘기는 아니다. 오히려 전에는 학원 안 다니고 독학하는 애들도 어느 정도까지는 입상이 가능했으나 전반적으로 학생들의 수준도 올라가서(입시에 반영이 안되니 정말 재능이 뛰어난 학생들만 kmo를 준비하다보니) 수상 난이도는 거의 비슷하다고 봐도 된다. 쉬워졌다고 무시하면 입상 못할수도 있다. 실제로 컷도 많이 올랐다.

그리고 2016년 현행 교육과정과 연계를 강화해 난이도를 낮추겠다는 공지 후 정말 역대급으로 쉬운 난이도가 나왔다. 그리고 대수 자체가 중학교와 연계성이 별로 없어서인지 대수는 단 '''1문제'''만 나왔다. 그 대신 정수가 9문제. 실제로 동상컷 74점에 장려컷 68점이다.[* 전년도인 2015년의 동상컷이 40점대였던것을 생각하면 매우 큰 폭의 난이도 변화이다.][* 실제로 KMO를 제대로 공부하지도 않은 학생들이 경험을 쌓기 위해 가서 수상한 경우도 꽤 있었다.] 고등부는 한 두문제 정도를 제외하면 이전과 별 차이는 없다. 커트가 5~10 점 정도 올라갈 거라는 예측은 있다.

다만 이 시험의 커트라인 상승에는 기하가 큰 영향을 주었는데, 문제 오류 1개와 정밀작도시 바로 공원점이 나오는 문제 1개, 그리고 맨 마지막 기하 문제는 등각켤례선(isogonal line)만 알면 바로 직각 삼각형인 것이 증명되어 넓이를 구할 수 있는 문제로 나왔기 때문이다... 그리고 고등부 커트라인에는 변동이 없는 것으로 드러났다.

2017년에는 영재학교 시험 전날에 KMO를 봐서 3학년 응시자가 크게 줄고 시험 난이도도 어려워 장려커트가 다시 40점대로 떨어졌다.

2020년에는 온라인 시험을 진행함에 따라 문제가 확실히 쉬워졌고[* 기존 4-6점이고 2020년에는 3-5점, 문제의 난이도도 훨씬 쉽다.] 대신 문제 수가 많아졌고 시험 시간이 짧아졌다.

2023년에는 앞부분에는 수학올림피아드준비를 안 한 학생들도 풀 수 있을 법한 문제도 나오고 전체적으로 쉬웠으나, 뒷부분에는 다소 어려운 문제들이 좀 나와서 커트라인은 작년과 큰 변동이 없다. 그리고 뒷부분에 이전 기출문제와 유사한 문제가 나와서 공부를 많이 한 학생들은 쉽게 느껴졌을 것이다.
== 관련 문서 ==
 * [[국제수학올림피아드]]
 * [[아시아태평양수학올림피아드]]
 * [[KMC#s-2]]
한국수학올림피아드 (덤프버전으로 되돌리기)

캡챠
