문서 보기문서 편집수정 내역 1의 거듭제곱근 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:해석학·미적분학)] [include(틀:대수학)] ||<tablealign=center><#ffffff>[[파일:namu_1의 7제곱근.png|width=250&align=center]] || || [[복소평면]]에 표시한 '''1의 7제곱근 [math(\boldsymbol{z_{0} \sim z_{6}})][* 각각은 [math(z_{n}=\cos{\left( \dfrac{2\pi n}{7} \right)}+i \sin{\left( \dfrac{2\pi n}{7}\right)})]이다. 간단히 [math({\rm cis}{\left( \dfrac{2\pi n}{7} \right)})]로 적기도 한다.]''' || [목차] == 소개 == '''1의 거듭제곱근(root of unity)'''[* 단위근(unit root), 드 무아브르 수(de Moivre number)라고도 한다.]은 연산이 정의된 [[군(대수학)|군]]의 개념으로, 해당 연산을 유한 번 거듭하여 [[항등원]]을 얻을 수 있는 원소들을 일컫는다. 이 개념을 [[복소수]]의 곱셈 군 [math((\mathbb C^{\times}, \ \cdot \ ))]에 한정하여 생각하기도 한다. == 정의 == ||<tablewidth=100%><(> '''1의 거듭제곱근(Root of unity)''' ---- [[군(대수학)|군]] [math((G, \ \cdot \ ))]과 원소 [math(a \in G)]가 주어져 있을 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(g^n = a)]}}} 인 원소 [math(g \in G)]를 '''[math(a)]의 거듭[[제곱근]](Root of [math(a)])''' 혹은 제곱의 수를 강조하여 '''[math(\boldsymbol a)]의 [math(\boldsymbol{n})]제곱근([math(n)]th root of [math(a)])'''이라고 한다. 특히, [math(a)]가 군 [math((G, \ \cdot \ ))]의 [[항등원]] 1인 경우[* 곱셈군 [math((G, \ \cdot \ ))]를 다룰 때는 관습적으로 항등원을 [math(e)]가 아닌 1로 적는다. 비슷하게, 덧셈군 혹은 가환군 [math((G, +))]의 항등원은 [math(0)]으로 적는 경우가 많다.] [math(g \in G)]를 '''1의 거듭제곱근(Root of unity)''' 혹은 '''1의 [math(n)]제곱근([math(n)]th root of unity)'''이라고 한다. || ||<tablewidth=100%><(> '''1의 거듭제곱근(Root of unity)''' ---- [math(z^n = 1)]인 복소수 [math(z \in \mathbb C)]를 '''1의 거듭제곱근(Root of unity)''' 혹은 '''1의 [math(\boldsymbol{n})]제곱근([math(\boldsymbol{n})]th root of unity)'''이라고 한다. || 위에서 정의한 일반적인 군 [math((G, \ \cdot \ ))]를 곱셈군 [math((\mathbb C^{\times}, \ \cdot \ ))]로 한정한 버전이다. 물론 1이 아닌 임의의 복소수 [math(a \in \mathbb C)]의 [math(n)]제곱근도 생각할 수 있지만, 이는 [math(a \in \mathbb C)]의 한 [math(n)]제곱근에 1의 [math(n)]제곱근들을 곱한 형태로 전부 표현 가능하다. 그렇기 때문에 1의 [math(n)]제곱근들은 본질적인 거듭제곱근으로서의 의미를 가진다. 아래 예시는 전부 복소수체(의 부분군)에서 계산한 1의 거듭제곱근들이다. 1의 6제곱근, 12제곱근은 1의 3제곱근을 응용, 1의 10제곱근, 20제곱근은 1의 5제곱근을 응용해서 구할 수 있으며 1의 3제곱근과 5제곱근을 곱하면 1의 15제곱근, 30제곱근, 60제곱근도 나타낼 수 있다. 1의 8제곱근까지는 계산이 크게 어렵지 않아서 1의 24제곱근, 40제곱근, 120제곱근도 비슷한 난이도로 구할 수 있되 1의 16제곱근부터는 이중근호가 들어가서 여기서부터는 난이도가 올라간다. 또한 2제곱근과 3제곱근이 번갈아 나타나는 다중근호의 경우는 1의 7제곱근과 1의 9제곱근이 있다. 다만 [[환원 불능]]이다. 1의 17제곱근은 2제곱근만 들어가되 매우 복잡하며 [[카를 프리드리히 가우스]]가 증명해냈다. 1의 n제곱근은 root of unity에 해당하며 모든 root of unity는 사칙연산과 유한번 제곱근 처리로 답을 낼 수 있다 한다. == 1의 제곱근 == ||<tablewidth=100%><(> {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} z^2 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z + 1) = 0 \\ & \Leftrightarrow z =\pm 1 \end{aligned})]}}} || [include(틀:상세 내용, 문서명=-1)] == [[/세제곱근|1의 세제곱근]] == ||<tablewidth=100%><(>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} z^3 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z^2+z+1)=0 \\ & \Leftrightarrow z = 1 \textsf{ or }z = \dfrac {-1 \pm \sqrt 3i}2 \end{aligned})]}}} || [include(틀:상세 내용, 문서명=1의 거듭제곱근/세제곱근)] == 1의 네제곱근 == ||<tablewidth=100%><(> {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} z^4 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z + 1)(z - i)(z + i) = 0 \\ & \Leftrightarrow z = \pm 1 \textsf{ or }z = \pm i \end{aligned})]}}} || [include(틀:상세 내용, 문서명=허수)] == [[/다섯제곱근|1의 다섯제곱근]] == ||<tablewidth=100%><(>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} z^5 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0 \\ & \Leftrightarrow z = 1 \textsf{ or }z = \dfrac {-1+\sqrt{5}\pm\sqrt{10+2\sqrt{5}}i}{4} \textsf{ or }z = \dfrac {-1-\sqrt{5}\pm\sqrt{10-2\sqrt{5}}i}{4} \end{aligned})] \ }}} || [include(틀:상세 내용, 문서명=1의 거듭제곱근/다섯제곱근)] [[황금비]]를 사용하면 식을 간추릴 수도 있다. == 1의 여섯제곱근 == [include(틀:상세 내용, 문서명=1의 거듭제곱근/세제곱근)] [math(x^3=1, x^3=-1)]의 해를 모두 취한 것과 같다. == 1의 여덟제곱근 == 각각의 근은 [math(\pm1,\pm i,\pm\dfrac{\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i}{2})]이다. == 1의 n제곱근 == ||<tablewidth=100%><(> 방정식 [math(z^n = 1)]의 양 변의 [[절대값]]을 비교하면, [math(\lVert z\rVert = 1)]이므로 [math(z = \cos\theta + i\sin\theta)]라고 쓸 수 있다. [[드 무아브르 공식]]에 의해, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} 1 &= z^n \\&= \cos n\theta + i\sin n\theta \end{aligned} )]}}} 을 얻는다. 이 식이 성립하려면, [math(n\theta = 2k\pi)] 즉 [math(\exists k \in \mathbb{z} \textsf{ s.t. }\theta = 2k\pi/n)] 이어야만 한다. 중복근을 전부 제외하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned} z &= \cos\dfrac {2k\pi}n + i\sin\dfrac {2k\pi}n \\&= {\rm cis}{\left(\dfrac {2k\pi}n \right)} \; ( 0 \leq k < n) \end{aligned} )]}}} 이 모든 1의 [math(n)]제곱근이다. [math({\rm cis})]는 [[허수지수함수]]이다.|| == 회전 변환 행렬 == [math(\theta\degree)]라 할때 회전 변환 행렬은 다음과 같다. [math(\theta\degree=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix})] 대표적인 각의 회전변환행렬을 나타내었다. [math(0\degree=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix})] [math(90\degree=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix})] [math(180\degree=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix})] [math(270\degree=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix})] [math(60\degree=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix})] [math(120\degree=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix})] [math(72\degree=\begin{pmatrix}\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}&-\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}&\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\end{pmatrix})] [math(45\degree=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix})] [math(12\degree=\begin{pmatrix}\frac{-1+\sqrt{5}+\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{8}&\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}\\\frac{\sqrt{3}-\sqrt{15}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}&\frac{-1+\sqrt{5}+\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{8}\end{pmatrix})] == 성질 == ||<tablewidth=100%><(> '''1의 [math(\boldsymbol{n})]제곱근으로 구성된 군(Group of [math(n)]th roots of unity)''' ---- 가환군 [math(G)]에서, 1[* 항등원. 보통 가환군의 항등원은 [math(0)]으로 적지만 본 문서에서 모든 군의 항등원을 1로 표기했으므로 이에 따른다.]의 [math(n)]제곱근들을 모은 부분집합은 부분군을 이룬다. 이를 '''1의 [math(n)]제곱근으로 구성된 군(Group of [math(n)]th roots of unity)'''이라고 한다. {{{#!folding [ 증명 ] ----- 1의 [math(n)]제곱근들을 모은 부분집합을 [math(G_n)]이라 하자. * [math(G_n)]이 [math(G)]로부터 물려받은 연산에 대해 닫혀있음. * [math(g, h \in G_n)]이면, [math(g^n = h^n = 1)]이므로 [math((gh)^n = 1)][* 이 부분에서 [math(G)]가 가환군임이 필요하다.], 즉 [math(gh \in G_n)]. * [math(G_n)]은 [math(G)]의 항등원 1을 포함. * [math(1^n = 1)]이므로 [math(1 \in G)]. * 임의의 [math(G_n)]의 원소는 역원을 가짐. * [math(g \in G_n)]이면, [math((g^{-1})^n = g^n (g^{-1})^n = 1)]이므로 [math(g^{-1} \in G_n)].}}} || 여기서 [math(G)]가 가환군이 아니면 위 명제는 성립하지 않는다. 실제로, 다음과 같은 반례가 존재한다. [math(2 \times 2)] [[행렬(수학)|행렬]]들의 집합 [math(\mathfrak M_{2, 2}(\mathbb R))]을 생각하자. 여기서 역행렬이 존재하는 행렬들은, 행렬 곱셈에 대하여 일반선형군(general linear group) [math(\mathbf{GL}_2(\mathbb R))]을 이룬다. 그런데, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} ^2 = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix})]}}} 이지만 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} ^2 &\neq \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned})]}}} 이다. 즉, [math(\mathbf{GL}_2(\mathbb R))]에서 1의 제곱근들은 군을 이루지 않는다. ||<tablewidth=100%><(> '''1의 모든 거듭제곱근으로 구성된 군(Group of all roots of unity)''' ---- 가환군 [math(G)]에서, 1의 모든 거듭제곱근들을 모은 부분집합[* 즉, 1제곱근, [math(2)]제곱근, [math(\cdots)], [math(n)]제곱근, [math(\cdots)] 등을 전부 모은다.]은 부분군을 이룬다. 이를 '''1의 모든 거듭제곱근으로 구성된 군(Group of all roots of unity)'''이라고 한다. {{{#!folding [ 증명 ] ----- 바로 윗 명제의 증명에서 [math(G_n)]을 생각할 때, [math(\displaystyle G^{\ast} = \bigcup_{n \in\mathbb N}G_n)]이 [math(G)]의 부분군임을 보이면 충분하다. * [math(G^{\ast})]가 [math(G)]로부터 물려받은 연산에 대해 닫혀있음. * [math(g, h \in G^{\ast})]이면, 적당한 [math(m, n \in\mathbb N)]에 대하여 [math(g^m = h^n = 1)]이므로 [math((gh)^{mn} = 1)], 즉 [math(gh \in G_{mn} \subset G^{\ast})]. * [math(G^{\ast})]은 [math(G)]의 항등원 1을 포함. * [math(1^1 = 1)]이므로 [math(1 \in G_1 \subset G^{\ast})]. * 임의의 [math(G^{\ast})]의 원소는 역원을 가짐. * [math(g \in G_n \subset G^{\ast})]이면, [math((g^{-1})^n = g^n (g^{-1})^n = 1)]이므로 [math(g^{-1} \in G_n \subset G^{\ast})].}}} || 또한 [[복소평면]]에서 1의 제곱근은 원점에 대칭인 [[선분]]이며, [math(n \geq 3)]인 [math(n)]제곱근은 원점을 중심으로 한 [[정다각형|정[math(n)]각형]]을 그린다. 또한 정다각형의 꼭짓점이 [[단위원]] 위에 있다는 성질[* 곧, 원점과의 거리(= [[절댓값]])가 1임을 뜻한다. 그래서 1의 거듭제곱근 [math(z)]에 [[부호 함수]]를 취할 경우 [math({\rm sgn}(z) = z)]가 성립한다.]을 이용해서 1의 [math(n)]제곱근의 값을 띠는 점을 [[작도]]하는 게 가능하다.[* 단, 7각형, 9각형, 11각형, 13각형 같이 유클리드 작도가 불가능하지만 뉴시스 작도만 가능한 경우도 있으며 23각형같이 유클리드, 뉴시스 모두 작도가 불가능한 경우도 있다.] == 관련 개념들 == ||<tablewidth=100%><(> '''1의 원시근(Primitive root of unity)''' ---- [[군(대수학)|군]] [math((G, \ \cdot \ ))]과 자연수 [math(n)]이 주어져 있을 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(g^n = 1)], [math(g^m \neq 1 \; (0 < m < n) )][* 즉, [math(n)]이 [math(g^k = 1)]을 만족하는 최소의 자연수.]}}} 인 원소 [math(g \in G)]를 '''원시근(Primitive root)''', '''1의 원시근(Primitive root of unity)''' 혹은 '''1의 [math(\boldsymbol n)]차 원시근(Primitive [math(\boldsymbol n)]th root of unity)'''이라고 한다. || [include(틀:상세 내용, 문서명=원시근)] ||<tablewidth=100%><(> '''원분다항식(Cyclotomic polynomial)''' ---- 복소수체 상에서 자연수 [math(n)]과 정수 [math(0\leq k \leq n-1)]이 주어져 있을 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \Phi_{n}(x)=\prod_{\gcd(k,n)=1}(x-\omega^{k}))][* [math(\omega)]는 1의 n차 원시근][br][math(\displaystyle \prod_{d|n}\Phi_{d}(x)=x^n-1)] ([math(\Phi_{1}(x)=x-1)])}}} 를 만족하는 다항식 [math(\Phi_{n}(x)]를 '''[math(n)]차 원분 다항식(n-th cyclotomic polynomial)'''이라고 한다. 또한 원분다항식은 유리수 범위에서 기약방정식임이 증명되어 있다. 다른 정의로는 1의 n차 원시근 [math(\omega_n = e^{2\pi i/n})]에 대해서, 유리수체 상에서 [math(\omega_n)]의 기약다항식으로도 정의한다. ---- 만약 [math(n)]이 소수 [math(p)]라면 다음 형태가 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \Phi_{p}(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=\sum_{i=0}^{p-1}x^i)][* 이는 위의 조건중 2번째 조건에 의한 것인데, 소수 [math(p)]의 약수는 자기 자신과 1 밖에 없으므로 [math(\Phi_{p}(x)\Phi_{1}(x)=x^p-1)]이 되어야 한다. 그런데 [math(\Phi_{1}(x)=x-1)]이므로, 자연스럽게 해당 식이 성립하는 것.]}}} 또한 [math(n)]이 서로 다른 두 소수 [math(p, q)]의 곱인 [math(pq)] 형태라면 다음 형태가 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\Phi_{pq}(x)=\dfrac{x^{pq}-1}{(x-1)\phi_{p}(x)\phi_{q}(x)})] }}} 여기서 유도되어 [math(n=2p)]라면 다음 형태로 정리할 수 있다.[* 당연히 [math(p)]는 2가 아니어야 하므로 홀수 소수다.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \Phi_{2p}(x)=\dfrac{x^{2p}-1}{(x-1)\phi_{p}(x)\phi_{2}(x)}=\dfrac{x^{2p}-1}{(x+1)\phi_{1}(x)\phi_{p}(x)}=\dfrac{x^{2p}-1}{(x+1)(x^{p}-1)}=\dfrac{x^{p}+1}{x+1}=\sum_{i=0}^{p-1}(-x)^{i})] }}} ---- 또한 [math(\Phi_{n}(x))]의 차수는 [[오일러 피 함수]]를 이용하여 [math(\displaystyle \varphi(n))]로 주어진다. || [[분류:해석학(수학)]][[분류:대수학]][[분류:1]]캡챠되돌리기