쌍곡 허니컴

1. 개요[편집]

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雙曲 honeycomb / hyperbolic honeycomb

3차원 또는 그 이상의 쌍곡 공간에서 정의되는 허니컴. 쌍곡 테셀레이션과 마찬가지로, 무수히 많은 종류의 쌍곡 허니컴이 존재한다.

2. 3차원 정규 쌍곡 허니컴[편집]

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3차원 쌍곡 공간에서 정의되는 허니컴. 쌍곡 테셀레이션과 마찬가지로 슐레플리 부호를 이용해 {p,q,r}로 표기할 수 있다.

쌍곡 테셀레이션을 표현하기 위해 푸앵카레 원반 모형을 사용했듯, 쌍곡 허니컴은 푸앵카레 공(Poincaré ball) 모형을 사용해 표현할 수 있다.

슐레플리 부호의 두 숫자 중 최소 하나가 무한대여야만 파라콤팩트가 되었던 쌍곡 테셀레이션과 달리, 쌍곡 허니컴은 세 숫자가 모두 유한해도 파라콤팩트가 될 수 있다. 정규 쌍곡 허니컴 {p,q,r}은 다음과 같이 분류할 수 있다.

• 셀 형태 {p,q}와 꼭지점 형태 {q,r}에 따라 다음과 같이 분류된다.
  • {p,q}, {q,r}이 둘 다 정다면체일 경우 콤팩트 쌍곡이 된다.
  • {p,q}, {q,r} 중 하나가 유클리드 테셀레이션이고, 나머지 하나가 쌍곡이 아니면 파라콤팩트 쌍곡이 되어 셀이 무한까지 뻗어나간다.
  • {p,q}, {q,r} 둘 중 하나라도 쌍곡이라면 논콤팩트가 되어 하나의 셀을 이루는 경계면이 서로 만나지 않는다.

4차원에는 콤팩트 쌍곡 허니컴 4종과 파라콤팩트 쌍곡 11종이 존재한다.

콤팩트 쌍곡은 셀의 크기가 무한대로 뻗어나가지 않으며, 파라콤팩트 쌍곡은 셀의 크기가 무한대로 뻗어나간다. 논콤팩트 쌍곡의 경우 셀을 이루는 각각의 면이 아예 한 지점에 수렴조차 하지 않는다.

쌍곡 테셀레이션을 푸앵카레 원반 위에 나타내듯, 이들도 푸앵카레 공 안에 구현할 수 있다. 쌍곡 테셀레이션과 허니컴 자체는 마찬가지로 무수히 많이 존재하나, 의미있는 콤팩트/파라콤팩트 허니컴은 15종밖에 없다.

• 콤팩트 쌍곡 - 4종
  • {4,3,5} - 5차 정육면체 허니컴
  • {3,5,3} - 3차 정이십면체 허니컴
  • {5,3,4} - 4차 정십이면체 허니컴
  • {5,3,5} - 5차 정십이면체 허니컴
• 파라콤팩트 쌍곡 - 11종
  • 셀이 정다면체인 파라콤팩트 쌍곡 허니컴 - 4종
    • {3,3,6} - 6차 정사면체 허니컴
    • {3,4,4} - 4차 정팔면체 허니컴
    • {4,3,6} - 6차 정육면체 허니컴
    • {5,3,6} - 6차 정십이면체 허니컴
  • 셀이 테셀레이션이고 꼭지점 형태가 정다면체인 파라콤팩트 쌍곡 허니컴 - 4종
    • {4,4,3} - 3차 정사각테셀레이션 허니컴
    • {6,3,3} - 3차 정육각테셀레이션 허니컴
    • {6,3,4} - 4차 정육각테셀레이션 허니컴
    • {6,3,5} - 5차 정육각테셀레이션 커니컴
  • 셀과 꼭지점 형태가 모두 테셀레이션인 파라콤팩트 쌍곡 허니컴 - 3종[2]
    이들은 모두 자기쌍대다.
    • {3,6,3} - 3차 정삼각테셀레이션 허니컴
    • {4,4,4} - 4차 정사각테셀레이션 허니컴
    • {6,3,6} - 6차 정육각테셀레이션 허니컴