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평면기하학
Plane Geometry


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1. 개요
2. 정의
2.1. 고등학교 과정에서
2.2. 대학 과정에서
2.2.1. 각 변위
2.2.2. 쌍곡선과의 관계
3. 단위
4. 이름이 붙은 각
6. 여담
7. 특수한 용법
7.1. 군대에서
8. 관련 문서


1. 개요[편집]


/ angle

각은 평평한 면에서 면으로 급격히 꺾여 튀어나온 모퉁이를 뜻하는 한자어다. '각지다', '사각지대'(死角地帶), '사각턱' 등의 예가 있다. 수학에서는 더욱 엄밀하게 정의되어 쓰인다. 순우리말은 . 초등학교 3ㆍ4학년 때 배우며, 중1 때도 나온다.


2. 정의[편집]


수학적으로는 반직선과 반직선이 맞붙었을 때 꼭짓점 안팎에서 생기는 공간으로 정의된다. 기호는 °을 쓴다.

보통 기하학적으로 다루는 각은 육십분법[A]을 기준으로 [math(0\degree \sim 360\degree)]까지이며, [math(360\degree)]가 넘어가면[1] 다시 [math(0\degree)]부터 세어나간다고 보면 된다.


2.1. 고등학교 과정에서[편집]


고정되어 있는 반직선 [math(\overrightarrow\mathrm{OX})]와 같은 위치에 있던 반직선 [math(\overrightarrow\mathrm{OP})]가 점 [math(\mathrm O)]를 중심으로 회전하게 되면 각 [math(\angle\mathrm{POX})]가 생성되는데, 여기서 [math(\overrightarrow\mathrm{OX})]를 [math(\angle\mathrm{POX})]의 시초선, [math(\overrightarrow\mathrm{OP})]를 [math(\angle\mathrm{POX})]의 동경이라 한다. 이때 동경 [math(\overrightarrow\mathrm{OP})]가 시초선 [math(\overrightarrow\mathrm{OX})]를 기준으로 회전하는 방향이 반시계 방향이면 양의 방향이라 하고, 시계 방향이면 음의 방향이라 부른다.

이런 정의를 사용하는 이유는 중학교 수준에서 쓰는 정의만으로는 각의 범위가 한정되어있기 때문이다. 그래서 위와 같이 회전량이라는 새로운 방법으로 각을 정의하며, 이 정의에 따르면 음의 각과 [math(360\degree)]를 초과하는 각을 표현할 수 있다. 특히 삼각함수에서 음의 각이나 [math(360\degree)]를 넘어가는 각을 다루는데, 예를 들면 [math(30\degree)], [math(390\degree)], [math(-330\degree)] 등이다. 이를 일반화하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(0\degree\le\theta_0\le360\degree)]인 각 [math(\theta_0)]와 정수 [math(n)]에 대하여
[math(\theta=360\degree\times n+\theta_0)]


2.2. 대학 과정에서[편집]


내적을 먼저 정의하고, 그로부터 각도를 정의하게 된다.


2.2.1. 각 변위[편집]



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본 문단에서는 3차원 공간 좌표계로 일반화한 각 변위에 대하여 벡터로 다룰 수 있는지의 여부를 논할 것이다.

어떠한 축의 방향을 가진 단위 벡터 [math({\bf\hat n}=a{\bf\hat x}+b{\bf\hat y}+c{\bf\hat z})]를 고려해보자.

파일:namu_각속도_1111.png

이때, 위 그림과 같이 [math(\bf\hat n)]을 축으로 [math(\theta)](단위는 [math(\rm rad)]. 단 [math(\underline\theta = \theta/{\rm rad})])만큼 회전하는 상황을 고려하자. 이때, 회전 방향은 [math(\bf\hat n)]에 대하여 오른손 법칙에 따라 정한다.

초기 벡터 [math(\bf r)]이 나중 벡터 [math(\bf r')]으로 변했다고 할 때, 이는 사실상 [math(\bf\hat n)]을 법선 벡터로 갖는 평면의 성분만 [math(\theta)]만큼 회전한 것이므로 다음과 같은 방법을 통해 [math(\bf r')]을 구할 수 있다.

[math(\bf r)]과 [math(\bf r')]은 각각 [math(\bf\hat n)]에 나란한 성분 [math(\bf r_\parallel)]과 [math(\bf\hat n)]에 수직한 성분 [math(\bf r_\perp)], [math(\bf r'_\perp)]의 합, 즉
[math(\begin{aligned}\bf r &= \bf r_\parallel + r_\perp \\ \bf r' &= \bf r_\parallel + r'_\perp\end{aligned})]
이다. 이때, [math({\bf r_\parallel} = {\bf(r\bm\cdot\hat n)\hat n})]이므로 [math({\bf r_\perp} = {\bf r} - {\bf(r\bm\cdot\hat n)\hat n})]으로 나타낼 수 있고, 필요한 것은 [math(\bf r_\perp)]에 대하여 회전 변환을 적용하여 [math(\bf r'_\perp)]로 만드는 것 뿐이다.

[math(\bf r_\perp)]에 [math(\bf\hat n)]을 앞쪽에 크로스곱으로 곱하면 [math(\bf r'_\perp)]의 [math(\sin\underline\theta)] 방향의 벡터가 얻어지는데
[math(\begin{aligned} \bf\hat n\bm\times r_\perp &= \bf\hat n\bm\times\{r-(r\bm\cdot\hat n)\hat n\} \\ &= \bf\hat n\bm\times r - (r\bm\cdot\hat n)\hat n\bm\times\hat n \\ &= \bf\hat n\bm\times r\end{aligned})]
로 간단하게 나타낼 수 있고 그 크기는
[math(\begin{aligned} |{\bf\hat n\bm\times r_\perp}| &= |{\bf\hat n}
{\bf r_\perp}|\sin\frac\pi2 \\ &= |{\bf r_\perp}|\end{aligned})]
로서 [math(\bf r_\perp)]의 크기와 같다. [math(\bf r'_\perp)]를 성분별로 분해해서 나타내보면
[math({\bf r'_\perp} = |{\bf r'_\perp}|\cos\underline\theta\dfrac{\bf r_\perp}{|{\bf r_\perp}|} + |{\bf r'_\perp}|\sin\underline\theta\dfrac{\bf\hat n\bm\times r_\perp}{|{\bf\hat n\bm\times r_\perp}|})]
인데 [math(|{\bf r'_\perp}| = |{\bf\hat n\bm\times r_\perp}| = |{\bf r_\perp}|)]이므로 약분되어
[math(\begin{aligned} \bf r'_\perp &= \bf r_\perp \cos\underline\theta + \hat n\bm\times r\sin\underline\theta \\ &= \bf\{r - (r\bm\cdot\hat n)\hat n\}\cos\underline\theta + \hat n\bm\times r\sin\underline\theta \end{aligned})]
따라서 [math(\bf r')]은 다음과 같이 로드리게스 회전 공식(Rodrigues' rotation formula)으로 표현할 수 있다.
[math(\begin{aligned} \bf r' &= \bf r_\parallel + r'_\perp \\ &= \bf(r\bm\cdot\hat n)\hat n + \{r - (r\bm\cdot\hat n)\hat n\}\cos\underline\theta + \hat n\bm\times r\sin\underline\theta \\ &= \bf(\cos\underline\theta)r + ({\rm1}-\cos\underline\theta)(r\bm\cdot\hat n)\hat n + (\sin\underline\theta)\hat n\times r\end{aligned})]
크로스곱의 삼중곱 공식 [math({\bf a\bm\times(b\bm\times c)} = {\bf(a\bm\cdot c)b} - {\bf(a\bm\cdot b)c})]를 적용하면 [math({\bf r} - {\bf(r\bm\cdot\hat n)\hat n} = {\bf-\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r}))]이므로 다음과 같이 크로스곱만으로 나타낼 수도 있다.
[math(\bf r' = r + ({\rm1}-\cos\underline\theta)\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\sin\underline\theta)\hat n\bm\times r)]
한편, 위의 벡터 연산은 [math({\bf r} = r_x{\bf\hat x} + r_y{\bf\hat y} + r_z{\bf\hat z})]이라 놓으면 다음과 같이 행렬을 이용해서도 나타낼 수 있는데 우선 크로스곱의 경우
[math(\begin{aligned} \bf\hat n\bm\times r &= \begin{vmatrix} \bf\hat x & \bf\hat y & \bf\hat z \\ a & b & c \\ r_x & r_y & r_z \end{vmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}br_z-cr_y \\ cr_x-ar_z \\ ar_y-br_x \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix}\end{aligned})]
이므로 [math(K({\bf\hat n}) = \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\end{pmatrix})]이라 놓으면
[math(\begin{aligned} \bf r' &= \bf r + ({\rm1}-\cos\underline\theta)\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\sin\underline\theta)\hat n\bm\times r \\ &= {\left\{I + (1-\cos\underline\theta)K^2({\bf\hat n}) + (\sin\underline\theta)K({\bf\hat n})\right\}}{\bf r}\end{aligned})]
이고, [math(|{\bf\hat n}|^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 1)]임을 참고하면
[math(\begin{aligned}K^2({\bf\hat n}) &= \begin{pmatrix} -b^2-c^2 & ab & ac \\ ab & -a^2-c^2 & bc \\ ac & bc & -a^2-b^2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a^2-1 & ab & ac \\ ab & b^2-1 & bc \\ ac & bc & c^2-1 \end{pmatrix} \end{aligned})]
이므로 [math(I + (1-\cos\underline\theta)K^2({\bf\hat n}) + (\sin\underline\theta)K({\bf\hat n}) = {\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline\theta))]라 놓으면 다음과 같이 벡터의 원소로 나타낸 회전 행렬을 얻을 수 있다.
[math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline\theta) = (1-\cos\underline\theta)\begin{pmatrix} a^2 & ab & ac \\ ab & b^2 & bc \\ ac & bc & c^2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \cos\underline\theta & -c\sin\underline\theta & b\sin\underline\theta \\ c\sin\underline\theta & \cos\underline\theta & -a\sin\underline\theta \\ -b\sin\underline\theta & a\sin\underline\theta & \cos\underline\theta \end{pmatrix})]
여담으로 [math(K^3({\bf\hat n}) = \begin{pmatrix}0 & c & -b \\ -c & 0 & a \\ b & -a & 0\end{pmatrix} = -K({\bf\hat n}))]이다.
[math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline\theta))]라는 표기에서 알 수 있듯이, [math(\underline\theta)]에만 의존하는 2차원 평면상에서의 회전 변환과 달리 3차원 공간에서는 회전축의 단위 벡터 [math(\bf\hat n)]에도 의존하기 때문에, 각 변위는 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않아 벡터로 취급할 수 없다.
[math({\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}) \ne {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}))]
단 [math({\bf\hat n}_1 = {\bf\hat n}_2)]일 때, 그러니까 회전축이 변하지 않는다면 사실상 2차원 평면상의 회전변환과 동일하기 때문에 교환법칙이 성립해서 벡터로 취급할 수 있다.
[math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_2}) = {\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_2}){\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_1}))]

최종적으로 회전 변환에 의한 변위 [math({\bf r'} - {\bf r} = {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n},\,\underline\theta){\bf r})]은
[math(\begin{aligned} \bf r' - r &= (1-\cos\underline\theta)\bf\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\sin\underline\theta)\hat n\bm\times r \\ &= {\left\{(1-\cos\underline\theta)K^2({\bf\hat n}) + (\sin\underline\theta)K({\bf\hat n})\right\}}\bf r\end{aligned})]
로 나타낼 수 있다.

이제 무한소 회전을 고려해보자. [math({\bf r'} - {\bf r})]은 회전이 일어나는 평면에 대한 현의 벡터 [math(\Delta\bf l)]이나, 무한소 회전으로 인한 현의 미소 길이를 모두 더하면 이는 곧 호의 길이를 적분하는 과정과 동일하다. [math(\underline\theta)]에서 [math({\rm d}\underline\theta)]만큼 변한 상황을 구하기 위해 [math({\bf r'} - {\bf r})]을 [math(\underline\theta)]에 대해 전미분하고 [math(\underline\theta \to 0)] 극한을 취해서 호의 무한소 변화량만을 나타내는 [math({\rm d}{\bf l})]을 구하면[2]
[math(\begin{aligned} \rm d{\bf l} &= \lim\limits_{\underline\theta\to0}{\rm d}(\bf r' - r) \\ &= \lim\limits_{\underline\theta\to0}\{(\sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta)\bf\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\cos\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta)\hat n\bm\times r\} \\ &= {\rm d}\underline\theta\bf\hat n\bm\times r \\ &= K({\bf\hat n}){\bf r}{\rm\,d}\underline\theta \end{aligned})]
이다. 따라서 무한소 회전일 때에는 [math({\bf r'} = {\bf r} + K({\bf\hat n}){\bf r}{\rm\,d}\underline\theta)]이므로 [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,{\rm d}\underline\theta))]를 [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,{\rm d}\underline\theta) = I + K({\bf\hat n}){\rm\,d}\underline\theta)]로 나타낼 수 있는데, [math({\bf\hat n}_1 \ne {\bf\hat n}_2)]인 두 회전변환의 교환법칙 여부를 따져보면
[math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}) &= \{I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1}\}\{I + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2}\} \\ &= I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} + K({\bf\hat n}_1)K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_1}{\rm\,d}\underline{\theta_2} \end{aligned})]
마지막 식에서 우변의 제4항은 미소 각 변위의 곱이 포함된 항이기 때문에 0으로 근사할 수 있으며 결과적으로
[math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}) &\approx I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} \\ &\approx {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1})\end{aligned})]
가 되어 회전축이 변하는 경우라도 벡터로 근사할 수 있게 된다!
좀 더 정확하게는 앞서 미소 회전을 구했던 방법과 마찬가지로
[math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\bf r - r} &= \{{\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}) - I\}{\bf r} \\ &= {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\bf r} \end{aligned})]
에서 회전 변환 [math({\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}))]를 각도의 수치에 대하여 전미분하고 [math(\underline{\theta_1}\to0)], [math(\underline{\theta_2}\to0)]의 극한을 취해서 얻어진다.
[math(\begin{aligned} {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,{\bf\hat n}_2,{\rm\,d}\underline{\theta_1},{\rm\,d}\underline{\theta_2}) &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)} {\rm d}{\left\{{\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2})\right\}} \\
&= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)}{\rm d}{\left\{{\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}) - I\right\}} \\
&= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)}{\rm d}{\left[{\left\{I + (1-\cos\underline{\theta_1})K^2({\bf\hat n}_1) + (\sin\underline{\theta_1})K({\bf\hat n}_1)\right\}}{\left\{I + (1-\cos\underline{\theta_2})K^2({\bf\hat n}_2) + (\sin\underline{\theta_2})K({\bf\hat n}_2)\right\}} - I\right]} \\
&= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)} {\left[{\left\{(\sin\underline{\theta_1}{\rm\,d}\underline{\theta_1})K^2({\bf\hat n}_1) + (\cos\underline{\theta_1}{\rm\,d}\underline{\theta_1})K({\bf\hat n}_1)\right\}}{\left\{I + (1-\cos\underline{\theta_2})K^2({\bf\hat n}_2) + (\sin\underline{\theta_2})K({\bf\hat n}_2)\right\}} + {\left\{(\sin\underline{\theta_2}{\rm\,d}\underline{\theta_2})K^2({\bf\hat n}_2) + (\cos\underline{\theta_2}{\rm\,d}\underline{\theta_2})K({\bf\hat n}_2)\right\}}{\left\{I + (1-\cos\underline{\theta_1})K^2({\bf\hat n}_1) + (\sin\underline{\theta_1})K({\bf\hat n}_1)\right\}}\right]} \\
&= K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} \\
&= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)}{\rm d}{\left\{{\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1})\right\}} \\
\therefore {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\bf\hat n}_2,{\rm\,d}\underline{\theta_1},{\rm\,d}\underline{\theta_2}) &= {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,{\bf\hat n}_2,{\rm\,d}\underline{\theta_1},{\rm\,d}\underline{\theta_2}) + I \\
&= I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} \end{aligned})]
다시 [math({\rm d}{\bf l} = {\rm d}\underline\theta{\bf\hat n\bm\times r})]로 돌아와서 식을 곱씹어보면, [math(\bf\hat n)]는 단위벡터이며 [math({\rm d}\underline\theta{\bf\hat n})]는 크기가 [math({\rm d}\underline\theta)]인 벡터라고 볼 수 있으므로 이를 [math({\rm d}\bm{\underline\theta})], 즉 각 변위 벡터로 나타내면
[math({\rm d}{\bf l} = {\rm d}\bm{\underline\theta\times{\bf r}})]
로 나타낼 수 있다.


2.2.2. 쌍곡선과의 관계[편집]


복소평면, 오일러 공식, 쌍곡선 함수와의 연결고리를 통해 각은 쌍곡선과 두 직선이 이루는 도형의 넓이와 연결된다.

3. 단위[편집]


구분
호도법
육십분법[A]
그레이드[3]
호도법
[math(\mathbf{1.00000\,rad})]
[math(\dfrac{180\degree}\pi \fallingdotseq 57.29578\degree)]
[math(\dfrac{200^\mathrm g}\pi \fallingdotseq 63.66198^\mathrm g)]
육십분법
[math(\dfrac\pi{180}\,\mathrm{rad} \fallingdotseq 0.01745\,\mathrm{rad})]
[math(\boldsymbol{1.00000\degree})]
[math(\dfrac{1^\mathrm g}{0.9} \fallingdotseq 1.11111^\mathrm g)]
그레이드
[math(\dfrac\pi{200}\,\mathrm{rad} \fallingdotseq 0.01570\,\mathrm{rad})]
[math(0.90000\degree)]
[math(\mathbf{1.00000^g})]
각의 크기를 각도(角度)라고 한다.

왜 굳이 직각이 100이 아닌 90인지 궁금할 수도 있는데, 1회전의 값을 360으로 잡은 유래에 대해 명확한 자료는 남아있지 않으나 다음과 같은 설이 있다.
  • 페르시아력 같은 고대의 역법에서 1년을 360일로 잡았던 것에서 유래했다는 설
    • 이 경우 별들은 북극성을 중심으로 1년에 1도씩 회전하게 되므로 천문 관측이 용이해진다.
  • 60진법을 썼던 바빌로니아인들이 정삼각형으로 원을 6등분하고 정삼각형의 한 내각을 60진법으로 나눠서 표현한 결과 1회전이 360도가 되었다는 설
이 밖에도 인도의 리그베다 경전에는 1회전을 360등분하는 것에 대한 구절이 나오며, 수의 특성만 보더라도 360은 1과 360을 제외하고도 무려 22개에 달하는 많은 약수를 갖는다. 1~10까지의 수 중 360이 나눠떨어지지 않는 수는 7뿐이며 고대 나눗셈 계산에도 적당히 사용하기 편했던 수였음을 엿볼 수 있다.

육십분법에서 [math(0\degree)]와 [math(1\degree)] 사이의 각을 나타낼 때에는 다음 두 가지 방법이 쓰인다.
  • 시각 표기처럼 [math(')](분)과 [math('')](초)를 써서 표현하는 방법. [math(60''=1')]이고 [math(60'=1\degree)]이다.
  • 십진법 표기에 기반하여 오로지 [math(\degree)]만을 이용하여 나타내는 방법.
예를 들어 [math(314)]도 [math(15)]분 [math(9)]초는 [math(314\degree\,15'\,9'')][4]로 나타내며 십진법 표기로 나타내면 [math(\left(314+\dfrac{15}{60}+\dfrac9{3600}\right)\degree = 314.2525\degree)]이다. 참고로 국제표준화기구는 ISO 31에서 십진법 표기를 권장하고 있다. 십진법 표기에서 소수점 아래 자리를 분초 표기로 환산하려면 60을 곱해서 정수 부분을 덜어나가는 방식을 쓰면 된다. 앞선 [math(314.2525\degree)]를 예로 [math(1\degree = 60')], [math(1' = 60'')]이므로 [math(0.2525\degree = 0.2525\times1\degree = 0.2525\times60' = 15.15')]에서 정수 부분 15가 분의 값이며 [math(0.15' = 0.15\times1' = 0.15\times60'' = 9'')]에서 초의 값이 9가 된다. 다만 위의 예는 우연히 맞아떨어지는 케이스에 속하며 순환소수로 나타나는 경우도 많이 존재한다.[5] 같은 방식으로 [math(3.14\degree)]를 분초 표기로 환산하면 [math(3.14\degree = 3\degree + 0.14\times60' = 3\degree + 8.4' = 3\degree\,8' + 0.4\times60'' = 3\degree\,8'\,24'')]가 된다.

부채꼴에서 호의 길이와 중심각의 크기가 정비례한다는 성질에 따라, 반지름에 대한 호의 비로 각을 나타내는 호도법 표기도 있다.

이 밖에도 직각을 [math(100)]등분한 것을 단위각으로 하는 그레이드([math(^{\rm g})])[6]라는 단위도 있다. 즉 [math(1^{\rm g} = 0.9\degree = \dfrac\pi{200}\,{\rm rad})]이다. 그레이드를 쓰면 60도나 120도와 같은 각도가 66.666..., 133.333... 등 십진법 상에서는 순환소수로 나타나게 되어서 원을 3a/b(a,b는 정수)등분 한 각을 나타내기 불편해진다.

척관법에서는 딱히 각도라는 개념을 정의하지 않았던 것으로 보인다. 구고현의 정리나 유씨구고술요도해 같이 특수각 비슷한 개념은 있었던 것 같지만. 즉, '이러이러한 비율로 변의 길이를 맞추면 이만큼의 경사(각도)를 얻을 수 있다' 정도로 적당히 써먹는 수준이었던 것 같다.

도로철도에서는 백분율, 천분율로 각도(경사도)를 나타낸다. 각각 100m, 1km의 거리당 높이의 비율로, 흔히 쓰이는 도로 환산하려면 역삼각함수를 취해야 한다.

3.1. 차원[편집]


호도법의 경우 단위[7]로는 [math(\rm rad)](라디안)을 쓰지만 어디까지나 '각'임을 명시하기 위한 것으로 수학 분야에서는 대부분 생략한다.

각도의 단위로 도([math(\degree)]), 라디안([math(\rm rad)]), 그레이드([math(^{\rm g})]) 등이 있지만 이들은 모두 퍼센트와 마찬가지로 차원이 없으며, 본디 각도란 '회전'(turn)을 단위로하는 계에서 '1회전'에 대한 상댓값인데 '회전'이라는 단위는 '개수'처럼 이산적인 물리량으로 간주하기 때문에 무차원(dimensionless)의 물리량으로 약속한다.[8] 이를테면 직각, 즉 [math(\rm 90\degree = \dfrac\tau4\,rad = \dfrac\pi2\,rad = 100^g)]라는 것은 곧 '[math(\dfrac14)]회전'과 같고[9] 각도가 무차원의 물리량이라는 것을 보다 엄밀하게 보여주는 개념이 바로 호도법이며, 도와 그레이드는 호도법의 값에 각각 [math(\dfrac{180\degree}\pi)], [math(\rm \dfrac{200^g}\pi)]를 곱한 것으로 이해할 수 있다.


4. 이름이 붙은 각[편집]


각도의 범위에 따라 다음과 같은 명칭이 있다.
각 ([math(\boldsymbol\theta)])
명칭
[math(0\degree<\theta<90\degree)]
철각(凸角)
열각(劣角)[10]
예각(銳角)
[math(\theta=90\degree)]
직각(直角)
[math(90\degree<\theta<180\degree)]
둔각(鈍角)
[math(\theta=180\degree)]
평각(平角)
[math(180\degree<\theta<360\degree)]
요각(凹角)
우각(優角)[11]
[math(\theta=360\degree)]
주각(周角)


4.1. 특수각[편집]


파일:나무위키상세내용.png   자세한 내용은 특수각 문서를 참고하십시오.

직각처럼 중요성이 높은 각을 특수각이라고 한다. 문서 참고.


5. 입체각[편집]


파일:나무위키상세내용.png   자세한 내용은 입체각 문서를 참고하십시오.

각을 3차원으로 확장한 것. 자세한 내용은 문서 참조.


6. 여담[편집]


주로 변수로서의 각을 표시할 때는 그리스 문자, 특히 그 중에서도 세타([math(\theta)])가 자주 쓰인다. 도형의 꼭짓점으로서의 각은 로마자 대문자를 사용한다.

각의 크기를 재는 도구를 각도기라고 한다. 중학교 교육과정까진 쓸 만하지만 고등학교 이상의 과정에선 쓸 일이 거의 없다. 실험할 때 각도 측정하기 위해서 쓰긴 하는데, 대학교에 가면 성능이 우월한 컴퓨터로 측정하며 제도할 때는 삼각자를 이용해서 쓴다.

스케이트보드, BMX 등에서 일반각의 크기를 그대로 기술명으로 쓰기도 한다. 가령 1260의 경우 공중에서 [math(1260\degree)](=3.5회전)를 도는 기술이다.[12]

유치원의 하루에서 이하루 선생님이 앉아서 몸을 기울여 예각, 직각, 둔각을 가르쳐 주는 장면이 나와서 덧글에는 유치원때 벌써부터 각도를 배우냐며 놀라는 반응이 나왔다.

7. 특수한 용법[편집]



7.1. 군대에서[편집]


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걷는 것도 직각! 밥 먹는 것도 직각! 옷주름도 직각! 박격포 쏘는 것도, 수류탄 던지는 것도 직각!

규율과 상관의 지시에 따라 엄격하고 조정된 상황을 유지하는 걸 '각 잡는다' 라고 한다. 생활상의 다양한 잡동사니를 똑바로 정리하는 것부터 집합 시 바른 자세로 서 있는 것까지 다양한 각잡기가 존재한다.

군대가 각잡기를 중시하는 이유는 여러 설이 있지만 겉으로 보여지는 군인의 단정함과 위압감을 살리고, 군기를 확립, 장비의 정돈과 사용 편리성 향상, 사고 예방 등이 있다. 위에 나온 만화처럼 이불과 옷을 직각으로 정리해두는 건 단정함을 위함이다. 넓게 보아 제식훈련의 여러 자세들도 군인의 위압감과 마음가짐을 보여주려는 각잡기다. 직각식사와 직각보행은 군기 확립 의도에서 한다. 그러나 직각식사는 다 큰 성인들로 하여금 음식을 칠칠 흘리게 하여 음식을 낭비하고 식사 시간만 늘려서 실용적이지 않고 군기 잡는데도 별 도움이 안되는 똥군기의 일환이다. 다른 각잡기들도 병사의 경우 대부분 일이병 때나 시키지, 상병장이 되면 검열과 훈련 때 외에는 각 잡으라는 터치도 하지 않을만큼 느슨해진다. 계급에 따라 달라진다 = 반드시 모든 군인이 해야 한다는게 아니다는 말로, 즉 군대 내 여러 각잡기는 부조리악습의 요소가 적지 않다.

그렇다고 입대해서 각 잡으라는 간부에게 여기에 적혀있는 대로 "각잡기는 똥군기에서 유래된 것이 많다던데요?" 같은 소리를 하면 군생활이 매우 힘들어질 것이다. 순탄한 군생활을 위해서는 눈치껏 각을 잘 잡아야 한다. 그렇지 않으면 갈굼의 대상이 되기도 하며 간부들의 경우 진급에까지 영향이 갈 수 있다.

이와 비슷한 개념은 해외 군대에서도 존재하는 모양으로, 미군에서는 우리말로 '각'이 들어갈 법한 자리에 square라는 표현이 들어가는 경우가 많다. 예컨대, 옷이나 모포를 갠 모습이 각이 잡혀 있다면 squared away라고 하며, 직각식사도 본래 웨스트포인트의 전통악습이었던 square meal을 거의 그대로 가져온 것이다.[13]

7.2. 유행어[편집]


파일:나무위키상세내용.png   자세한 내용은 각(유행어) 문서를 참고하십시오.

대개 접미사처럼 쓰인다.


8. 관련 문서[편집]




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[A] A B [math(1)]회전을 [math(360)]등분하고 [math(\degree)](도) 단위를 이용하여 [math(\dfrac1{360})]회전을 [math(1\degree)]로 정의하는 것.[1] 원이 옹골집합이므로.[2] 이는 [math(\cos\underline\theta \approx 1)], [math(\sin\underline\theta \approx \underline\theta)]로 근사하는 과정과 정확히 같다.[3] 원의 둘레를 400등분한 각도로 '그레이드'를 쓴다.[4] 이는 위도와 경도를 더 정확히 표현할 때도 쓰이는데, 예시를 하나 들자면 행담도 휴게소는 북위 [math(36\degree\,56'\,32.3'')], 동경 [math(126\degree\,48'\,30.4'')] ([math(36\degree\,56'\,32.3''\,{\rm N}~126\degree\,48'\,30.4''\,{\rm E})])에 있다. # [5] 대표적으로 파섹의 정의인데, 연주시차가 [math(1'' = 0.0002 \overline{7}\degree)]이 되는 거리로 정의했었다. 2015년 이후에는 천문단위의 [math(648\,000/\pi)]배로 정의하는데, 기존 정의로는 거리를 계산하는 과정에서 환원 불능(casus irreducibilis)이 되었기 때문이다.[6] 영국에서는 '곤(gon)'이라고 읽는데, ISO가 비ISO 단위 리스트를 작성할 때 이 명칭을 채택했다. ISO 31-1 부록(Annex) B에 실려있다.[7] '비에 무슨 단위가 있나?'하고 생각할 수 있지만 수학 외 분야에서는 매우 중요하다. 퍼센트 역시 전체를 [math(100)]으로 놓았을 때의 비율을 나타낸 물리량으로 단위가 없지만 전체가 [math(100)]이라는 것을 나타내기 위해 [math(\%)]를 단위로서 붙여준다. 이를 전문용어로는 '차원이 없다'고 한다. 물리학에서는 [math(\rm rad)]이 진동수와 각진동수를 구분하기 위한 아주 중요한 단위로 쓰인다.[8] 보통 이산적인 물리량(셈 측도)은 독립체(entity)로서의 성질이 분명하여 별도의 도구 없이도 셀 수 있기 때문에 차원을 부여하지 않는다. 각도의 경우는 단위가 이산적일 뿐 연속량(continuous quantity)적인 특징을 지녀 별도의 도구를 이용하여 측정해야하며, 이에 따라 연속량인데 차원이 없는 독특한 성질을 지닌다. 이와는 성질이 정반대인 것이 을 단위로 하는 물질량(amount of substance)인데, 물질량은 정의에 따르면 '입자의 개수'를 의미하므로 이산적이지만 물질의 입자가 워낙에 작아 일상적으로 쓰기에 그 수가 너무 커 연속량으로 간주하여 [math(\sf N)]의 차원을 갖는 물리량으로 약속되어있다.[9] '회전'을 단위로 했을 때의 값과 [math(\tau)]를 썼을 때의 값이 일치하기 때문에 일부 물리학자들은 원주율을 나타내는 상수로 [math(\pi)]를 폐지하고 [math(\tau = 2\pi)]를 써야한다고 주장하기도 한다. 새 원주율 참조.[10] 두 직선이 교차하여 생기는 각 중 작은 쪽의 각[11] 두 직선이 교차하여 생기는 각 중 큰 쪽의 각[12] 5050은 예외로, [math(5050\degree)]를 도는 기술이 아니라 바퀴축 두 개로 기물을 긁는 기술이다.[13] 단, 각잡고 부동자세로 서 있는 모습은 ramrod straight등의 단어로 따로 표현하기도 한다.