관성 모멘트
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1. 개요[편집]
moment of inertia
물체가 회전 운동을 하는 상태를 계속 유지하려는 성질을 의미한다. 회전 관성이라고도 부르며, 일반적으로 기호는 [math(I)][1]를 쓴다. 동일한 물체라도 회전축에 따라 이 값은 얼마든지 달라질 수 있다.
어떤 계에 힘을 주면, 그 계는 어떤 식으로 반응을 한다. 만약 이 계가 선형적이라면, [math( \mathbf{F}=m\mathbf{a} )] 로 나타낼 수 있다.
이는 힘 [math( \mathbf{F} )]가 주어지면, 계는 가속도 [math( \mathbf{a} )]로 반응을 한다는 것인데, 여기서 해석을 달리하면 질량 [math( m )]은 물체가 힘에 '저항'[2]하는 정도로 생각할 수 있다. 여기서 이 저항 개념을 회전계에서도 그대로 적용할 수 있는데, 문제는 회전계에서는 단순질량만으론 저항을 나타낼 수 없다는 것이다. 가령, 어떤 막대를 두고 돌릴 때, 막대의 중심에서 돌리는 것과 막대의 가장자리에서 돌리는 것에는 차이가 있음을 직관적으로 알 수 있다.
여기서 알 수 있는 것은 회전계에서는 힘에 저항하는 요소가 단순히 질량뿐만 아니라 돌리는 지점의 위치, 나아가서는 '질량중심과 회전축간의 거리'도 포함된다는 것이다. 이렇게 '회전계에서 외부 힘에 저항하는 요소들'을 묶어서 나타낸 것이 바로 이 관성 모멘트이다.
이렇게 굳이 이런 정의를 세워가는 이유는 역학을 일관성 있게 나타낼 수 있기 때문이다. 가령 [math( \mathbf{F}=m\mathbf{a} )]를 예로 들면, 회전계에서 힘과 각가속도 간의 관계는 [math( \boldsymbol{\tau}=I\boldsymbol{\alpha} )]로 나타낼 수 있다. 즉, 일반적인 선운동량의 표현식에서 질량이 해주는 일을 관성 모멘트로 대체하는 것으로 일관적이고 직관적인 서술이 가능하다는 것이다.
2. 정의[편집]
2.1. 회전 운동 에너지로부터의 도출[편집]
관성 모멘트는 회전 운동 에너지를 논의하면서 처음 보게 된다.
[math(n)]개의 질점이 있는 질점계가 회전축을 중심으로 각속도 [math(\boldsymbol{\omega})]로 회전하고 있는 경우를 고려해보자. 이때, 물체의 회전 운동 에너지 [math(T_{r})]는 각 질점의 운동 에너지의 합과 같다. 이때, [math(i)]번째 질점의 선속도를 [math( {\mathbf{v}}_{i})]라 놓으면,
[math( \displaystyle T_{r}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}({\mathbf{v}}_{i} \cdot {\mathbf{v}}_{i} ) )]
그런데, [math({\mathbf{v}}_{i} \cdot {\mathbf{v}}_{i}=v_{i}^{2}=(r_{i}\omega)^{2})]이므로
[math( \displaystyle T_{r}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}m_{i}(r_{i}\omega)^{2}=\frac{1}{2} \left[ \sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2} \right] \omega^{2} )]
이 된다. 이때, 가운데 항
[math( \displaystyle I \equiv \sum_{i=1}^{n} m_i r^2_i)]
를 관성 모멘트라 정의한다. 따라서 회전 운동 에너지를 다음의 형태로 쓸 수 있다.
[math( \displaystyle T_{r}=\frac{1}{2} I\omega^{2} )]
2.2. 종합[편집]
회전축으로부터 거리가 [math(r)]만큼 떨어진 점질량[3] [math(m)]이 있을 때, 이 계의 관성 모멘트는 아래와 같이 주어진다.
이때, 같은 축으로부터 [math(n)]개의 입자가 있을 때, 계의 관성 모멘트는 각 입자의 관성 모멘트를 모두 합해준 값이므로 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle I \equiv \sum_{i=1}^{n} m_i r^2_i)]
다만, 연속체(강체)에서는 질량이 연속적으로 분포하므로 위 식을 적분으로 대체할 수 있다. 이 경우, 미소 관성 모멘트는 미소 질량에 회전축으로부터 떨어진 거리를 곱한 값이 되므로 [math(dI=r^2\,dm)]이 된다. 이때 [math(\mathbf{r})]에서의 밀도 [math(\rho(\mathbf{r}))]를 도입하면, 미소 질량 [math(dm=\rho(\mathbf{r})\,dV)]로 밀도와 미소 부피의 곱으로 쓸 수 있다. 따라서 [math(dI=\rho(\mathbf{r})r^2\,dV)]로 쓸 수 있으므로 연속체에서 관성 모멘트는
[math( \displaystyle I=\int r^2\,dm=\int \rho(\mathbf{r})r^2\,dV)]
로 쓸 수 있다. 아래 그림을 참고하면 좋다.
그러나 매우 얇은 판 등 표면 밀도 [math(\sigma(\mathbf{r}))]나 얇은 줄 등 선밀도 [math(\lambda(\mathbf{r}))]를 이용하여도 관성 모멘트를 구할 수 있는데 이들을 각각 단면 2차 모멘트, 단면 1차 모멘트라 하고 각각 다음과 같이 정의된다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} I &\equiv \int \sigma(\mathbf{r})r^2\,da \\ I &\equiv \int \lambda(\mathbf{r})r^2\,dl \end{aligned})]
이때, [math(da)], [math(dl)]은 각각 미소 면적, 미소 길이이다.
단위는 차원 분석 시 [math([\textrm{Mass}][\textrm{Length}]^{\textrm{2}})]가 나오므로 [math(\textrm{kg} \cdot \textrm{m}^{\textrm{2}})]가 된다.
3. 관성 모멘트 목록[편집]
매번 적분을 계산하기 힘들기 때문에, 물체의 강체의 모양 따른 관성 모멘트를 나타낸 목록이 존재한다. 이 문서에서는 자주 나오는 여섯 종류의 강체만 소개한다.
아래의 모든 강체의 질량은 [math( \displaystyle M)]이며, 밀도는 균일하다.
이 외에도 여러 도형의 관성 모멘트는 알려져 있으며, 자세한 것은 이곳을 참고할 것.
4. 관련 정리[편집]
4.1. 평행축 정리[편집]
평행축 정리(parallel-axis theorem)는 한 물체의 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다.
질량이 [math(M)]인 질점계의 질량중심을 [math(\textrm{CM})]이라 하고, 그 점을 수직으로 지나가는 회전축 [math(\textrm{I})]에서 측정된 계의 관성 모멘트를 [math(I_\textrm{CM})]이라 하자. 또, 계에서 [math(i)]번째 질점을 [math(m_{i})]라 놓고, 회전축 [math(\textrm{I})]를 기준으로 [math(i)]번째 질점까지의 위치 벡터를 [math(\mathbf{r'}_{i})][5]라 하면,
[math( \displaystyle I_{\textrm{CM}} = \sum_{i=1}^{n} m_i (\mathbf{r'}_{i} \cdot \mathbf{r'}_{i})= \sum_{i=1}^{n} m_{i} {r\mathbf{'}}_{i}^{2})]
이때, 축을 [math(\textrm{CM})]으로부터 [math(\mathbf{a})]만큼 평행이동한 회전축 [math(\textrm{II})]에서 측정된 관성 모멘트를 [math(I_\textrm{P})]라 하자. 이때, 축으로부터 질점까지의 거리 벡터는 [math(\mathbf{R'}_{i}=\mathbf{r'}_{i}-\mathbf{a})]가 된다. 따라서
[math( \displaystyle I_{\textrm{P}} = \sum_{i=1}^{n} m_i (\mathbf{R'}_{i} \cdot \mathbf{R'}_{i})= \sum_{i=1}^{n} m_{i} \left[ (\mathbf{r'}_{i}-\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{r'}_{i}-\mathbf{a}) \right])]
가 되고, 모든 항을 전개하면,
[math( \displaystyle I_{\textrm{P}} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} {r\mathbf{'}}_{i}^{2}+ \sum_{i=1}^{n} m_{i} a^{2}-2\mathbf{a} \cdot \sum_{i=1}^{n} m_{i} \mathbf{r'}_{i} )]
[math(\mathbf{a})]는 constant vector이므로 시그마를 벗고 나올 수 있고, 제3항은 질량중심을 나타내는 벡터[참고]와 관련된 것인데, [math(\mathbf{r'}_{i})]이 질량중심으로부터 측정된 벡터이기 때문에 제3항은 [math(0)]이 된다. 따라서
[math( \displaystyle I_{\textrm{P}} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} {r\mathbf{'}}_{i}^{2}+ \sum_{i=1}^{n} m_{i} a^{2})]
[참고] 총 질량이 [math(M)]인 질점계의 질량중심 벡터 [math( \displaystyle \mathbf{M} \equiv \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \mathbf{r'}_{i})]이다.
이고, 제1항은 위에서 구했던 [math(I_\textrm{CM})]이고, 제2항의 [math( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i}=M)]으로써 질점계의 총 질량이므로 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle I_{\textrm{P}} = I_{\textrm{CM}}+Ma^{2})]
이 정리는 연속체에 대해서도 똑같은 방법으로 증명되므로 질점계 및 강체에 모두 적용할 수 있다.
4.2. 수직축 정리[편집]
수직축 정리는 서로 수직한 세 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. [math( xy )]평면 위에 놓인 판 모양의 물체에 대해[6], 서로 수직한 세개의 축을 각각 [math( x, y, z )]축이라 하고, 각각의 축에서 측정된 관성 모멘트를 각각 [math(I_{x})],[math(I_{y})], [math(I_{z})]라 하자.
이때, 각 축에 대한 [math(i)]번째 질점까지의 거리를 [math(r_{ix})],[math(r_{iy})], [math(r_{iz})]라 놓으면, [math(n)]개의 질점계에 대해
이고, 피타고라스 정리에 의해 [math( \displaystyle r_{iz}^{2}=r_{ix}^{2}+r_{iy}^{2})]이므로 다음이 성립한다.
[math( \displaystyle I_{z} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} (r_{ix}^{2}+r_{iy}^{2})= \sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{ix}^{2}+ \sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{iy}^{2})]
이때, [math( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{ix}^{2} \equiv I_{x})], [math( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{iy}^{2} \equiv I_{y})]임에 따라 다음의 수직축 정리를 얻는다.
[math( \displaystyle I_{z} = I_{x} + I_{y} )]
이 정리는 연속체에 대해서도 똑같은 방법으로 증명되므로 질점계 및 강체에 모두 적용할 수 있다.
5. 관성 텐서[편집]
자세한 내용은 관성 텐서 문서를 참고하십시오. 6. 관련 문서[편집]
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