구각 정리

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1. 개요
2. 사전 지식
3. 구각 정리의 유도
4. 밀도가 불균일한 경우 내부의 힘
5. 속이 꽉찬 구의 경우
6. 표면 밀도가 있는 경우
7. 결론
8. 여담


1. 개요[편집]

shell theorem

구각 정리는 균일한 밀도를 가지는 구각(구 껍질)[1] 내·외부의 힘이 어떻게 되는지 구하는 문제이다.

뉴턴(S. I. Newton; 1643~1727)이 먼저 이 문제를 해결했기 때문에 뉴턴의 구각 정리라고도 부른다.


2. 사전 지식[편집]

학부 고전역학 수준으로 서술한 것은 이곳을 참고하라.

우리는 이 문서에서 닫힌 궤도를 존재시키며, 원천과 관측 지점 사이의 거리의 제곱에 반비례하는 중심력 [math(\mathbf{F})]에 대한 구각 정리를 유도할 것이다. 해당 힘은 대표적으로 중력과 전기력이 있으며, 이들은 퍼텐셜이 [math(\Phi)]라는 개념을 도입해, 퍼텐셜의 음의 그레이디언트
[math(\displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla} \Phi )]
로 구할 수 있다. 중심력의 형태는 원천 지점 [math(\mathbf{r'})]과 관측 지점 [math(\mathbf{r})]을 고려[2]한다면
[math(\displaystyle \mathbf{F}(|\mathbf{r-r'}|)=\frac{\alpha m(\mathbf{r'}) (\mathbf{r-r'})}{|\mathbf{r-r'}|^3} )]
형태로 쓸 수 있다. 여기서 주의해야 하는 것은 힘이라 표현했지만, 관측점의 단위 질량(혹은 전하량)이 받는 힘이라는 것이다. [math(\alpha)]는 상수[3]이며, [math(m)]은 원천의 크기, 쉽게 말하면 중력의 경우 질량, 전기력의 경우 전하량이다. 한편, 원천의 크기를 부피 요소로 나누면, 밀도의 개념으로 쓸 수 있는데,
[math(\displaystyle \frac{{\rm d}m(\mathbf{r'})}{{\rm d}V'} \equiv \rho(\mathbf{r'}) )]
이다. 중력의 경우 밀도, 전기력의 경우엔 전하 밀도라 볼 수 있을 것이다. 따라서 이를 이용함으로써
[math(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=\alpha\iiint_{V} \frac{ \rho(\mathbf{r'}) (\mathbf{r-r'})}{|\mathbf{r-r'}|^3} \,{\rm d}V' )]
형태로 쓸 수 있다.

퍼텐셜을 구하고, 다시 힘을 구하는 것은 수학적인 편리성 때문이다. 힘 자체는 벡터 물리량이기 때문에 다루기 힘들어, 스칼라 물리량인 퍼텐셜을 먼저 구하여, 음의 그레이디언트로 다시 환원하는 것이다. 위에서 주어진 중심력의 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\alpha\iiint_{V} \frac{ \rho(\mathbf{r'}) }{|\mathbf{r-r'}|} \,{\rm d}V' )]
한편, 밀도가 일정한 상황을 다루므로
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\alpha \rho \iiint_{V} \frac{ 1 }{|\mathbf{r-r'}|} \,{\rm d}V' )]
결론적으로 우리의 문제는 적분
[math(\displaystyle \iiint_{V} \frac{ 1 }{|\mathbf{r-r'}|} \,{\rm d}V' )]
값을 어떻게 구할 것이냐로 귀착된다.

우리가 구각을 다루고 있으므로 구면좌표계를 이용해야 할 것이다. 구면좌표계에서 부피 요소는 [math({\rm d}V'=r'^{2}\,{\rm d}r' {\rm d}\Omega')](단, [math(\Omega)]는 입체각이다.)로 주어진다. 따라서 위 적분은
[math(\displaystyle \oiint_{\Omega}\int \frac{ r'^{2} }{|\mathbf{r-r'}|} \,{\rm d}r'\,{\rm d}\Omega' )]
으로 쓸 수 있다. 이 적분을 구하기 위해 구면좌표계의 다중극 전개를 이용한다.
[math(\displaystyle \frac{1}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi)Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') )]
[math(Y_{l}^{m})]은 구면 조화 함수이다. 여기서 [math(\min(r,\,r') \equiv r_{<})], [math(\max(r,\,r') \equiv r_{>})]이다. 따라서 위 적분은
[math(\displaystyle \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \int \frac{r'^{2}r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}\,{\rm d}r \oint_{\Omega}Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') \,{\rm d}\Omega' )]
으로 바뀌고, 모든 입체각 적분에 대한 구면 조화 함수의 직교성에 따라
[math(\displaystyle \oint_{\Omega }Y_{l'}^{m'\ast}(\theta',\,\phi') Y_{l}^{m}(\theta',\,\phi')\, \mathrm{d} \Omega'=\delta_{ll'}\delta_{mm'} )]
[math(\delta_{ij})]는 크로네커 델타이다. 이때, [math(Y_{0}^{0}(\theta',\,\phi')=(4\pi)^{-1/2})]임을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{(4\pi)^{3/2}}{2l+1}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \int \frac{r'^{2}r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}\,{\rm d}r' \oint_{\Omega}Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ')Y_{0}^{0}(\theta',\,\phi') \,{\rm d}\Omega' \\ &=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{(4\pi)^{3/2}}{2l+1}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \delta_{l0}\delta_{m0}\int \frac{r'^{2}r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}\,{\rm d}r' \\&=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} (4\pi)^{3/2}Y_{0}^{0}(\theta,\, \phi) \int \frac{r'^{2}r_{<}^{0}}{r_{>}^{1}}\,{\rm d}r' \\&=4\pi \int \frac{r'^{2}}{r_{>}}\,{\rm d}r' \end{aligned} )]

이상에서 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \Phi(r)=4\pi \alpha \rho \int \frac{r'^{2}}{r_{>}}\,{\rm d}r' )]


3. 구각 정리의 유도[편집]


파일:나무_구각정리_개요.png

그림과 같이 안쪽 반지름이 [math(a)], 바깥 반지름이 [math(b)]인 구각을 고려해보자.

[1] 공동 내: [math(r<a)]
이 경우 [math(r_{>}=r')]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=4\pi \alpha \rho \int_{a}^{b} r'\,{\rm d}r' \\&=2\pi \alpha \rho (b^2-a^{2}) \qquad (r<a) \end{aligned} )]
이것의 음의 그레이디언트를 취하면, [math(r)]에 대한 의존성이 없으므로 영 벡터가 된다. 따라서 구하는 힘은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{F}(r)=\mathbf{0} \qquad (r<a) \end{aligned} )]

[2] 구각 외부: [math(r>b)]
이 경우 [math(r_{>}=r)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=\frac{4\pi \alpha \rho}{r} \int_{a}^{b} r'^{2}\,{\rm d}r' \\&=\frac{4\pi \alpha \rho}{3r} (b^3-a^3) \\&=\frac{\alpha M}{r} \qquad (r>b) \end{aligned} )]
이때,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (b^3-a^3) =M \end{aligned} )]
으로, 밀도와 부피의 곱이므로 원천의 총 크기이다. 이것의 음의 그레이디언트를 취하면, 구하는 힘은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{F}(r)=\frac{\alpha M}{r^{2}} \mathbf{\hat{r}} \qquad (r<a) \end{aligned} )]
이므로 구각에 해당하는 원천의 크기가 구각 중심에 있는 상황과 같다. 즉, 구면 대칭이 있는 계는 그 계와 동일한 질점이 계의 중심에 놓인 상황과 같다.

[3] 구각 내부: [math(a<r<b)]

파일:나무_구각정리_속.png

이 문제의 가장 어려운 점은 관측점 [math(\rm P)]가 구각 내부([math(a<r<b)])에 있을 때의 중력 퍼텐셜을 구해내는 것이다.

위 그림과 같이 반지름 [math(r)]인 구면을 하나 고려하게 되면, 구각은 두 부분으로 나누어진다:
  • 나눠진 구각을 기준으로 관측점이 외부에 있는 경우: [math(a \sim r)] 영역
  • 나눠진 구각을 기준으로 관측점이 내부에 있는 경우: [math(r \sim b)] 영역
따라서 구각 속의 중력 퍼텐셜은 위 두 나눠진 구각들의 퍼텐셜의 선형 중첩이다. 즉,

[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=\frac{4 \pi \alpha \rho}{3r} (r^{3}-a^{3})+{2 \pi \alpha \rho} (b^{2}-r^{2}) \\ &=\pi \alpha\rho \left( 2b^{2}-\frac{4a^{3}}{3r}-\frac{2r^{2}}{3} \right) \end{aligned} )]
[1] 쉽게 말하면 속이 비어 있는 공이다.[2] 자세한 사항은 분리 벡터 문서를 참조한다.[3] 중력의 경우 음의 중력 상수 [math(-G)], 전기력의 경우 [math((4\pi \varepsilon_{0})^{-1})]이다. [math(\varepsilon_{0})]은 진공에 대한 유전율이다.

으로 쓸 수 있고, 퍼텐셜과 힘의 관계에 의하여

[math(\displaystyle \mathbf{F}(r)=\frac{4 \pi \alpha \rho}{3} \left( r-\frac{a^{3}}{r^{2}} \right) \mathbf{\hat{r}} )]


[4] 결과 종합
이상의 결과를 종합하면, 퍼텐셜의 경우

[math(\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle {2 \pi \alpha\rho} \left(b^{2}-a^{2}\right) &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle \pi \alpha\rho \left( 2b^{2}-\frac{4a^{3}}{3r}-\frac{2r^{2}}{3} \right) &\quad (a<r<b) \\ \\ \displaystyle \frac{4 \pi \alpha\rho}{3r}\left(b^{3}-a^{3}\right) &\quad (r>b) \end{array}\right. )]

중력장의 경우

[math(\displaystyle \mathbf{F}(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \mathbf{0} &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle \frac{4 \pi \alpha \rho}{3} \left( r-\frac{a^{3}}{r^{2}} \right) \mathbf{\hat{r}} &\quad (a<r<b) \\ \\ \displaystyle \frac{4 \pi \alpha\rho}{3r^{2}}\left (b^{3}-a^{3}\right) \mathbf{\hat{r}} &\quad (r>b) \end{array}\right. )]

따라서 [math(r)]에 대한 그래프는 다음과 같다.

파일:namu_구각정리_결과_그래프.webp

그러므로 퍼텐셜은 경계에서 연속이다. 또한, 구각의 외부([math(r>b)])에서 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r) &\propto \frac{1}{r^{2}} \\ F(r) &\propto \frac{1}{r} \end{aligned} )]


참고적으로 이 결과는 중심력장에 대한 가우스 법칙을 이용해도 같은 결과를 얻는다.


4. 밀도가 불균일한 경우 내부의 힘[편집]

이 구각 정리의 묘미는 구각의 공동의 내부엔 받는 힘이 없다는 것을 밝혀낸 것이다. 그렇다면, '밀도가 불균일해도 이 사실은 성립하는가?'라는 생각을 가질 수도 있다. 결론부터 말하면 이는 성립한다.

중심력장에 대한 가우스 법칙을 이용하면, 장의 선속은 곧 가우스 폐곡면 안에 든 원천의 밀도에 비례함을 알 수 있다. 그러나, 공동 내부의 가우스 폐곡면에는 이 밀도가 전혀 포함되지 않으므로 선속은 0이 된다. 이것이 일반적으로 성립하려면 장이 없어야 하는데, 이는 힘을 받지 않음을 알 수 있다.

그렇기 때문에 지구의 내부에 공동이 있다면, 중력이 존재하지 않는 받지 무중력 상태가 되는데, 그렇기에 지구공동설을 반박하는 근거로 잘 쓰인다.

5. 속이 꽉찬 구의 경우[편집]

속이 꽉찬 구의 경우 위 구각 정리의 결과에서 [math(a \to 0)]으로 놓으면 된다. 퍼텐셜의 경우

[math(\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \pi \alpha \rho \left( 2b^{2}-\frac{2r^{2}}{3} \right) &\quad (r<b) \\ \\ \displaystyle \frac{4 \pi b^{3} \alpha \rho}{3r} &\quad (r>b) \end{array}\right. )]

특히 [math(r>b)]인 영역에서 [math(4 \pi b^{2} \rho/3 \equiv M)]이라 하여 원천의 전체 크기로 표기하면,

[math(\displaystyle \Phi(r)= \frac{\alpha M}{r} \quad (r>b))]

이므로 구에 해당하는 원천의 크기가 구 중심에 있는 상황과 같다. 즉, 구면 대칭이 있는 계는 그 계와 동일한 점이 계의 중심에 놓인 상황과 같다. 또한, 퍼텐셜은 연속이다.

힘은 다음과 같이 결정된다.

[math(\displaystyle \mathbf{F}(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{4 \pi \alpha \rho}{3}{\mathbf{r}} &\quad (r<b) \\ \\ \displaystyle \frac{4 \pi \alpha \rho b^{3}}{3r^{2}} \mathbf{\hat{r}} &\quad (r>b) \end{array}\right. )]


위 결과의 [math(r)]에 대한 그래프는 다음과 같다.

파일:namu_구각정리_결과_그래프_구.webp

이 경우 구의 내부에 들어갈 수록 힘의 크기는 감소한다. 즉, 지구 내부로 들어갈 수록 중력은 작아지는 것이다.

이 사실을 이용하면 한가지 흥미로운 생각을 할 수 있는데, 일반 상대성 이론에 의하면 시간은 중력이 센 곳에서 느리게 흐른다. 바꿔말하면, 지표면보다 지구 내부의 중력이 약하기에 지구 내부로 들어갈 수록 지표면에 비해 시간은 빠르게 흐른다. 실제로 이러한 효과 때문에 지구 핵의 나이는 지표면보다 약 2.5년 젊다고 한다.# 다만 지구의 역사가 45억년 정도 인 것을 고려하면, 0.0000000003초 정도 느리게 흐르는 것이다.[4]


6. 표면 밀도가 있는 경우[편집]

이번에는 반지름 [math(b)]인 얇은 구 껍질을 고려하자. 이 경우에는 위 케이스에서 [math(a \to b)]인 극한을 취한 경우와 동치이다.

이러한 물체는 표면 밀도 [math(\sigma(\mathbf{r'})={\rm d}m(\mathbf{r'})/{\rm d}A')]를 도입하는 것이 편리하다. [math({\rm d}A')]는 면적 요소이다. 표면 밀도는 일정하다고 가정하자.

이 문제가 구대칭성을 갖기 때문이 마찬가지로 구면좌표계에서 계산을 행한다.
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\alpha \sigma \iint_{S} \frac{ 1 }{|\mathbf{r-\mathbf{b}}|} \,{\rm d}A' )]
[math(\mathbf{b}=b \mathbf{\hat{r}'})]이다. 한편, [math({\rm d}A'=b^2\,{\rm d}\Omega')]이므로
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\alpha \sigma b^{2} \oint_{\Omega} \frac{ 1 }{|\mathbf{r-\mathbf{b}}|} \,{\rm d}\Omega' )]
적분은 위 결과를 이용함으로
[math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\frac{4\pi \alpha \sigma b^{2}}{r_{>}} )]
구각 내부에는 [math(r_{>}=b)], 구각 외부에는 [math(r_{>}=r)]이므로

[math(\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 4\pi \alpha \sigma b &\quad (r<b) \\ \\ \displaystyle \frac{4\pi \alpha \sigma b^{2}}{r} &\quad (r>b) \end{array}\right. )]
[4] 이러한 사실을 차용해서 전개한 작품에는 메이드 인 어비스가 있다.

음의 그레이디언트를 취함으로써 힘을 얻는다.

[math(\displaystyle F(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \mathbf{0} \\ \\ \displaystyle \frac{4\pi \alpha \sigma b^{2}}{r^{2}} \mathbf{\hat{r}} &\quad (r>b) \end{array}\right. )]

이역시 [math(M =\sigma \cdot 4\pi b^{2})]의 전체 원천의 크기를 도입하면
[math(\displaystyle \mathbf{F}=\frac{\alpha M}{r^{2}}\mathbf{\hat{r}} )]
으로 원천의 전체 크기가 중심이 있는 상황과 동치임을 얻는다. 또한 이 경우도 공동 내 받는 힘은 없다.

[math(r)]에 대한 위 결과의 그래프는 아래와 같다.

파일:namu_구각정리_불연속.webp

이 경우는 특이한 점을 관찰할 수 있는 데, (부피) 밀도만 있는 경우 경계에서 경계면에 수직인 성분(이 문서에선 방사적인 힘을 다루기 때문에 구한 힘의 성분 자체가 해당 성분이다.)은 연속이었다. 그러나 표면 밀도가 있는 경우 그렇지 않는 것을 알 수 있다. 따라서 표면 밀도는 경계면에 수직인 성분의 불연속을 야기한다.

7. 결론[편집]

  • 밀도의 구면 대칭성을 가진 물체의 힘은 내외부 모두 중심에 대하여 방사적이다.
  • 밀도의 구면 대칭성을 가지는 물체 공동 내에서는 받는 힘이 없다.
  • 밀도의 구면 대칭성을 가질 경우 해당 물체는 해당 물체의 중심에 같은 원천의 크기를 갖는 점이 있다고 대치할 수 있다.
  • 표면 밀도는 경계에서 장의 표면에 대한 수직 성분의 불연속을 야기한다.

8. 여담[편집]

  • 이 구각 정리에 관련해서, 2019학년도 대학수학능력시험 국어 영역 31번 문제에 출제되기도 했다.[5][6] 이 문서와 같이 수학적으로도 어려운데, 그것을 글로 풀어서 설명한 뒤, 그 설명을 토대로, 단시간 내 선지에서 올바른 답을 고르는 건 국어 영역에 대한 훈련이 철처히 되어 있지 않았다면, 어려웠을 것이다. 결국 한국교육과정평가원은 문제 이의제기 검토 결과를 발표하면서 학생들에게 사과를 했다.[7] 참고로, 이 구각 정리는 물리학과 2학년 고전역학 과목을 배우면서 접하게 된다.


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[5] 물론 문제 접근 방법이나 대상은 이 문서와는 좀 다르다. 왜냐하면, 해당 문제에서는 구에 대한 중력을 구하는 문제였으며, 그 구를 매우 얇은 구각으로 나눈뒤 각각의 중력을 더해서 구할 수 있다고 했기 때문이다. 그러나 기본적인 원리는 이 문서 또한 같으며, 이에 구각을 매우 작은 부피 요소로 나누고, 각각에 대한 중력 퍼텐셜을 더하여, 구각의 중력 퍼텐셜을 구하고, 이를 통해 구각에 의한 중력장을 구했다.[6] 해당 문제[7] 그런데 그 문제는 단순히 작용 반작용의 법칙만 기억하고 있어도 답을 고를 수 있다. 답이 되는 보기는 '태양의 중심에 있는 질량이 [math(m)]인 질점이 지구 전체를 당기는 만유인력은, 지구의 중심에 있는 질량이 [math(M)]인 질점이 태양 전체를 당기는 만유인력과 크기가 같겠군.'인데 작용 반작용 법칙을 생각하면, 당연히 '태양의 중심에 있는 질량이 [math(m)]인 질점이 지구 전체를 당기는 만유인력'은 '지구 중심에 있는 질량 [math(M)]인 질점이 태양 전체를 당기는 만유인력'과 같은 것이 아니라 '지구 전체가 태양 중심에 있는 질량 [math(m)]인 질점을 당기는 만유인력'과 같다는 것을 알 수 있다.

관련 문서