구심력

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1. 명칭과 유래

2. 설명

3. 공식

4. 유도

4.1. 간단한 유도

4.2. 원운동의 특성으로부터 유도하는 과정

4.3. 매개변수 함수로 유도하는 과정

1 . 명칭과 유래[편집]

파일:external/upload.wikimedia.org/300px-Centripetal_force_diagram.svg.png

붉은 선이 구심력.

구심력(求心力, centripetal force)은 물체가 원 운동을 하게 만드는 힘이다. centripetal은 라틴어로 중심이란 뜻의 centrum과 갈구한다는 뜻의 petere가 결합된 단어이다. 한자어도 공 구(球) 자가 아닌 구할 구(求) 자를 써 '중심으로 가고 싶어하는 힘'이라는 뜻이 된다. 구심력은 항상 곡률 중심[1]을 향한다는 점에서 적절한 번역이다.

1659년 네덜란드 물리학자인 크리스티안 하위헌스(Huygens, C. : 1629~1695)[2]가 구심력을 수식으로 기술한 적이 있다. 의외로 오래된 개념이다.

2 . 설명[편집]

물체가 원운동을 하도록 방향을 바꾸는 역할을 하는 힘을 구심력 이라고 한다. 가해지는 힘이 없는 상태라면 움직이는 모든 것은 일직선으로 운동하게 되어있는데[3], 이걸 안쪽으로 꾸역꾸역 당겨오면서 빙글빙글빙글 돌게 만들어주는 힘을 바로 구심력이라고 한다.

모르겠으면 양동이 하나 들고 바닥에 수평하게 빙글빙글 돌아보자. 천천히 돌면 그 정도 구심력은 일상이라 잘 안 느껴지니 미친듯이 빠르게 돌아보자. 못하겠으면 놀이기구라도 타서 다른 사람한테 미친듯이 빠르게 밀어달라고 하고 미친듯이 돌아보자. 그러면 양동이가 미친듯이 빠르게 돌아서 손으로 잡기도 힘들 정도가 될 것이다. 여기서 팔 힘으로 양동이를 꾸역꾸역 안쪽으로 잡아와야 겨우 원운동을 하며 돌아간다는 것이 느껴질텐데, 그게 구심력이라고 하는 것이다. 물론 양동이 속도를 못 이기고 놓쳐버린다? 그럼 양동이는 그냥 자유롭게 날아가버리는거다.

따라서 구심력의 기저에는 중력, 마찰력 등 다양한 힘이 있을 수 있다. 가상적인 힘인 관성력의 일종인 원심력과는 달리 구심력은 실재하는 힘이다.

구심력을 바탕으로 빗길에 미끄러지는 차량을 생각해 볼 수 있다. 빗길에서는 커브시 타이어의 마찰력이 감소한다. 마찰력이 구심력의 역할을 해야 하는데 이 구심력이 감소한 것이다. 수식을 보면 알겠지만, 선속도가 일정할 때, 구심력 [math(F_c)]가 감소하면 반지름이 [math(r)]이 증가해야 한다. 따라서 [math(r)]이 증가한 만큼 회전하게 되니 가드레일로 돌진하게 되는 것이다.

3 . 공식[편집]

질량 [math(m)]인 물체를 [math(v)]의 선속력, 혹은 [math(\omega)]의 각속력으로 반지름 [math(r)]인 원운동을 시킬 때의 구심력의 크기 [math(F_c)]는,

[math(F_c = \displaystyle \frac{mv^2}{r} = \displaystyle \frac{m(r\omega)^2}{r} = \displaystyle \frac{m r^2 \omega^2}{r} = mr\omega^2)]

으로 나타낼 수 있다.

4 . 유도[편집]

4.1 . 간단한 유도[편집]

간단한 유도

중심이 원점 [math(\rm O)]이고 반지름이 [math(r)]인 원 위를 운동하는 점을 상정하자. 이 점이 점 [math(\rm A)]부터 점 [math(\rm B)]까지 움직였을 때 중심에 대해 움직인 각도를 [math(\Delta\theta)](단위는 [math(\rm rad)])라고 하면 점이 이동한 거리가 [math(\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{\rm AB})]의 길이 [math(l)]이 된다.

이 점의 속도는 일정한 속력으로 운동한다 하더라도 시시각각 방향이 바뀌므로 결론적으로 속도가 변하는 운동, 즉 가속도가 존재하는 운동이다. 관성의 법칙에 따라 원운동을 일으키는 힘이 순간적으로 사라지면 물체는 원의 접선 방향으로 나아갈 것이므로 곧 이 가속도가 구심 가속도가 된다. 점이 일정한 속력으로 운동하며 그 크기를 [math(v)]라고 하면 전술한대로 [math(v)]는 항상 원에 접하는 방향을 이룬다. 점 [math(\rm A)]에서의 속도 [math(v_{\rm A})]와 점 [math(\rm B)]에서의 속도 [math(v_{\rm B})]를 두 변으로 하는 삼각형을 만들면 나머지 한 변의 크기는 처음 속도와 나중 속도의 차이 [math(\Delta v)]이며 이 삼각형은 [math(\triangle\rm AOB)]와 닮음이므로 다음과 같은 관계식을 만족한다.

[math(\begin{aligned} \overline{\rm AB}:r &=2r\sin\dfrac{\Delta\theta}2:r \\ &= 2\sin\dfrac{\Delta\theta}2:1 = \Delta v:v\end{aligned} \\ \therefore \Delta v=2v\sin\dfrac{\Delta\theta}2)]

한편 이 속도가 변할 동안의 시간을 [math(\Delta t)]라고 하면 실제 물체가 이동한 거리 [math(l)]은 속력이 일정하므로 [math(l=v\Delta t)]로 나타낼 수 있고 원의 특성으로부터 [math(l=r\Delta\theta)]이므로 [math(v\Delta t=r\Delta\theta)]에서 [math(\Delta t=\dfrac rv\Delta\theta)]가 된다. [math(\Delta v)]의 식을 [math(\Delta t)]로 나누면

[math(\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{2v\sin\dfrac{\Delta\theta}2}{\dfrac rv\Delta\theta}=\dfrac{v^2}r\dfrac{\sin\dfrac{\Delta\theta}2}{\dfrac{\Delta\theta}2})]

이제 [math(\Delta t\to0)]의 극한을 취하면 [math(\dfrac{\Delta\theta}2\to0)]이며 [math(\dfrac{\Delta v}{\Delta t} \to \dfrac{{\rm d}v}{{\rm d}t}=a)]이므로

[math(a=\lim\limits_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{{\rm d}v}{{\rm d}t}=\lim\limits_{\frac{\Delta\theta}2\to0}\dfrac{v^2}r\dfrac{\sin\dfrac{\Delta\theta}2}{\dfrac{\Delta\theta}2}=\dfrac{v^2}r)]

이를 운동 방정식 [math(F=ma)]에 대입하면 구심력의 공식 [math(F=\dfrac{mv^2}r)]이 얻어진다.
한편 [math(\Delta t=\dfrac rv\Delta\theta)]에서 [math(\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}=\dfrac vr)]인데 등속 원운동에서는 [math(\dfrac vr)]이 일정하므로 좌변의 [math(\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t})] 역시 일정하다. 이 시간당 각의 변화량을 각속도 [math(\omega)]로 나타내면 [math(\Delta\theta=\omega\Delta t)]로 나타낼 수 있으며 이를 전술한 [math(l)]의 식 [math(l=v\Delta t=r\Delta\theta)]에 대입하면 [math(v\Delta t=r\omega\Delta t)]에서 [math(v=r\omega)]가 얻어지며 구심력의 공식에 대입하면 [math(F=mr\omega^2)]이 된다.

4.2 . 원운동의 특성으로부터 유도하는 과정[편집]

원 궤도를 따라 이동한 거리 [math(l)]은 중심 [math(\rm O)]로부터의 반지름 [math(r)]과 각변위 [math(\theta)]를 이용해서 [math(l = r\theta)]로 표현되며, 각속도 [math(\omega)]는 [math(\omega = \dfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t})]로 정의된다. 이 때 각속도 벡터 [math(\bf\Omega)]의 방향은 오른손 법칙에 따라 평면상의 반시계 방향 회전에 대해 평면을 뚫고 나오는 방향이 양의 방향으로 정의되며, 선속도 벡터 [math(\bf v)]는 [math(\bf\Omega)]와 위치 벡터 [math(\bf x)]의 벡터곱 [math(\bf v = \Omega\times x)]로 나타낼 수 있다.[4] 선속도의 크기 [math(v)]는 [math(v = \|{\bf v}\|= \|{\bf\Omega\times x}\| = {\|\bf\Omega\|\|x\|}\sin\phi = \omega\cdot r\sin\dfrac\pi2 = r\omega)]가 된다.[5]

[math(\bf v)]를 [math(t)]에 대해 미분한 가속도 [math(\bf a)]는 벡터곱의 분배 법칙에 따라 다음과 같이 되는데

[math(\begin{aligned}{\bf a} &= \dfrac{{\rm d}(\bf\Omega\times x)}{{\rm d}t} \\ &= \dfrac{{\rm d}\bf\Omega}{{\rm d}t}\times{\bf x} + {\bf\Omega}\times\dfrac{{\rm d}\bf x}{{\rm d}t}\end{aligned})]

위 식에서 제2항이 구심가속도 [math(\bf a_c)]를 나타낸다. 식을 잠깐 살펴보면 앞서 [math(\bf v = \Omega\times x)]였고 [math({\bf v} = \dfrac{{\rm d}\bf x}{{\rm d}t})]이므로 [math({\bf\Omega}\times\dfrac{{\rm d}\bf x}{{\rm d}t} = \bf\Omega\times(\Omega\times x))]로 나타낼 수 있는데, 벡터곱의 삼중곱을 적용하면 [math(\bf\Omega\times(\Omega\times x) = \Omega(\Omega\cdot x)-x(\Omega\cdot\Omega))]가 되고 [math({\bf\Omega\cdot x} = 0)], [math({\bf\Omega\cdot\Omega = \|\Omega\|}^2 = \omega^2)]이므로 [math({\bf\Omega(\Omega\cdot x) - x(\Omega\cdot\Omega) = \Omega}{\cdot}0-{\bf x}{\cdot}\omega^2 = -\omega^2{\bf x})]. 즉 제2항은 변위 벡터와 방향이 정반대, 곧 원의 중심을 향하는 벡터임을 알 수 있고, 그 크기 [math(a_c)] 역시 [math(a_c = \|-\omega^2{\bf x}\| = \omega^2r)]로 구심가속도의 특성과 정확하게 일치한다.
제1항은 각속도의 미분에 관련된 식으로 선가속도(접선가속도) [math(\bf a_t)]를 의미하며 원운동의 가속도는 접선가속도와 구심가속도의 합임을 알 수 있다. 아울러 각 식이 의미하는 바도 유추할 수 있는데 [math(\bf a_t)]는 [math(\bf v)]의 각속도에, [math(\bf a_c)]는 [math(\bf v)]의 방향에 영향을 주는 물리량이다. 등속 원운동의 경우 각속도가 일정하기 때문에 [math(\bf a_t = 0)]이 되어 구심가속도만 남은 특수한 경우로 볼 수 있다.

구심력을 [math({\bf F_c})]라고 하고 이를 운동 방정식에 적용하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}{\bf F_c} &= m{\bf a_c} = -m\omega^2{\bf x} \\ F_c &= \|{\bf F_c}\| = ma_c = mr\omega^2 = \dfrac{mv^2}r\end{aligned})]

4.3 . 매개변수 함수로 유도하는 과정[편집]

중심 [math(\rm O)]로부터 거리 [math(r)]만큼 떨어져서 각속도 [math(\omega)]로 움직이는 물체가 있다고 하면, 직교좌표계에서 이 물체의 좌표는 시간 [math(t)]에 따른 함수로 결정되므로 다음이 성립한다.[6]

[math(\begin{cases}x(t) &=r\cos(\omega t) \\ y(t) &=r\sin(\omega t)\end{cases})]

이 매개변수를 [math(t)]에 대해 미분하면 시간에 따른 좌표의 변화이므로 선속도가 된다.

[math(\begin{cases}v_x(t) &= x'(t)\ =\ -r \omega \sin(\omega t) \\ v_y(t) &= y'(t) = r\omega\cos(\omega t)\end{cases})]

단, 이는 시간 [math(t)]에 대하여 [math(x)]좌표상에 사영된 선속도와 [math(y)]좌표상에 사영된 선속도이며, [math(v(t))]는 [math(v_x(t))], [math(v_y(t))]를 성분으로 갖는 벡터가 되므로 선속도의 크기 [math(v)]를 구하기 위해 각 성분의 제곱의 합의 제곱근 즉,

[math(\begin{aligned} v(t) &= \sqrt{\{v_x(t)\}^2 + \{v_y(t)\}^2} \\ &= \sqrt{\{-r\omega\sin(\omega t)\}^2 + \{r\omega\cos(\omega t)\}^2} \\ &= \sqrt{(r\omega)^2 \{\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)\}} \\ &=r \omega\end{aligned})]

로 [math(v)]를 구할 수 있다. 마찬가지 방법으로 [math(x'(t))]와 [math(y'(t))]를 [math(t)]에 대해 한 번 더 미분하면 구심 가속도의 크기 [math(a_c)]를 구할 수 있으며, 계산하면 [math(a_c = r\omega^2)]이 된다.
[math(v = r \omega)]에서 [math(\omega = \dfrac vr)]이므로 [math(a_c)]에 대입하면 [math(a_c = r\omega^2 = r\left(\dfrac vr\right)^2 = \dfrac{v^2}r)]이 된다.
각 식을 운동 방정식 [math(F_c = ma_c)]에 대입하면 [math(F = mr\omega^2 = \dfrac{mv^2}r)]가 된다.
전자는 각속도와 반지름이 주어졌을 때 구심력을 구하는 식이며, 후자는 각속도가 아닌 반지름과 선속도가 주어졌을 때 구심력을 구하는 공식이다.

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[1] 회전 축의 중심인 경우가 많다.[2] 과거엔 '호이겐스'라고 했는데 이 표기는 일본식 표기 ホイゲンス(호이겐스)에서 유래한 것이다. 네덜란드어 발음 기호로는 /ɦœyɣə(n)s/이므로 이를 그대로 받아적으면 '회위헌스' 정도로 나타낼 수 있는데 /œy/는 실제로 '아위'에 가깝게 들린다. 영어권에서도 이를 발음하듯 '하이건스'(/ˈhaɪɡəns/라고 발음한다.[3] 뉴턴의 제1법칙으로, 관성의 법칙이다. 어떤 물체에 가해지는 알짜힘이 [math(\rm0\,N)]이면([math(\sum F=\rm0\,N)]) 모든 물체는 정지해있거나 등속운동한다. 여기서 속도는 속력과 방향을 모두 포함하는 값이므로, 알짜힘이 [math(\rm0\,N)]이면 속력과 마찬가지로 방향도 절대로 바뀌지 않는다.[4] 간단하게 [math({\bf\Omega} = (0,\,0,\,\omega))], [math({\bf x} = r(\cos\omega t,\,\sin\omega t,\,0))]으로 놓고 [math(\bf\Omega\times x)]롤 계산하면 [math({\bf v} = r\omega(-\sin\omega t,\,\cos\omega t,\,0))]이 얻어지는데, 이는 [math(\bf x)]를 [math(t)]에 대해 미분한 식 [math(\dfrac{{\rm d}\bf x}{{\rm d}t})]과 동치이다.[5] 단순히 선속도의 크기만 구하는 것이라면 이동 거리 [math(l = r\theta)]를 시간 [math(t)]로 미분한 식에서 [math(r)]이 일정하므로 [math(v = \dfrac{{\rm d}l}{{\rm d}t} = \dfrac{{\rm d}(r\theta)}{{\rm d}t} = r\dfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t} = r\omega)]와 같이 구할 수도 있다.[6] 계산의 간편함을 위하여 [math(t=0)]일 때의 좌표를 [math((r,\,0))]으로 둔다. 꼭 [math((r,\,0))]일 필요는 없고, [math((x_0,\,y_0))]여도 문제는 없지만, 이 경우는 [math(r = \sqrt{{x_0}^2 + {y_0}^2})]로 두고 이를 만족시키는 [math(t_0)]를 구해야 한다.

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1. 명칭과 유래[편집]

2. 설명[편집]

3. 공식[편집]

4. 유도[편집]

4.1. 간단한 유도[편집]

4.2. 원운동의 특성으로부터 유도하는 과정[편집]

4.3. 매개변수 함수로 유도하는 과정[편집]

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