노름공간

분류

1. 개요

2. 정의

2.1. 노름

2.2. 노름공간

2.3. 연속 쌍대공간

3. 연산

3.1. 곱노름공간

3.2. 몫노름공간

4. 성질

4.1. 연산과 노름의 연속성

4.2. 국소적 볼록공간

4.3. 완비성

4.4. 약한 *-위상

4.5. 함의 관계

5. 예시

6. 둘러보기 틀

Normed Space

1 . 개요[편집]

노름공간(노름벡터공간, 노름선형공간)은 각 원소에 크기 또는 길이를 부여할 수 있는 벡터공간이다. 각 원소에 크기를 부여하는 함수를 노름(Norm)[1]이라고 한다. 노름은 두 원소 사이의 거리를 자연스럽게 유도하여, 노름공간은 거리공간이다.

2 . 정의[편집]

2.1 . 노름[편집]

체 [math(\mathbb{K\in\{R,\ C\}})] 위의 벡터공간 [math(X)]에 대하여 다음을 만족시키는 사상 [math(\|\cdot\|:X \rightarrow [0,\ \infty))]를 [math(X)] 위의 반노름(seminorm)이라고 한다.

(양의 동차성) 모든 [math(x\in X)]와 [math(a\in \mathbb{K})]에 대하여 [math(\|ax\| = |a|\cdot\|x\|)]
(삼각부등식) 모든 [math(x,\ y\in X)]에 대하여 [math(\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|)]

다음 조건을 추가로 만족시키는 반노름을 노름이라고 한다.

(양의 정부호성) [math(\|x\|=0)]이면 [math(x=0)]이다.

모든 [math(x\in X)]에 대하여 [math(C_1 \|x\|_2\le\|x\|_1\le C_2\|x\|_2)]

[1] 미국식 영어 기준 발음은 /nɔɹm/ 으로, 노음이라고 하는 경우도 있으며 대한수학회의 표준용어로는 노름이지만 대부분은 그냥 '놈'이라고 읽는다. 본 문서에서는 대한수학회의 표준용어를 따라 노름으로 표기하기로 한다. 한국어 노름과는 무관하다.

2.2 . 노름공간[편집]

노름이 부여된 [math(\mathbb{K})]-벡터공간을 [math(\mathbb{K})]-노름공간(노름벡터공간, 노름선형공간)이라고 한다. 노름공간 [math(X)]의 벡터 [math(x,\ y)]에 대하여 [math(\rho(x,\ y)=\|x-y\|)]로 정의된 함수 [math(\rho:X\to[0,\ \infty])]는 [math(X)] 위의 거리함수로, 노름공간 [math(X)]에 거리위상을 부여한다. 이러한 위상을 [math(X)]의 노름위상이라고 한다. 이 문서에서 특별한 언급이 없는 경우 노름공간은 노름위상이 부여된 위상벡터공간을 의미한다. 동치인 두 노름은 동치인 거리를 유도하여 노름공간에 동일한 노름위상을 부여한다. 노름위상에서 완비성을 갖춘 노름공간을 바나흐 공간(Banach Space)이라고 한다.

2.3 . 연속 쌍대공간[편집]

두 노름공간 [math(X,\ Y)] 사이의 선형사상 [math(T:X\to Y)]에 대하여 임의의 [math(x\in X)]에서 [math(\|Tx\|\le C\|x\|)]를 만족시키는 [math(C\ge0)]가 존재할 경우, 선형사상 [math(T)]를 유계라고 한다. 이는 [math(T)]가 연속사상임과 동치이다. [math(X)]에서 [math(Y)]로의 모든 유계 선형사상의 공간을 [math(L(X,\ Y))]로 나타낸다. [math(L(X,\ Y))]는 다음과 같은 연산자 노름이 부여된 노름벡터공간이다.

[math(\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:\|x\|=1\}\\
&=\sup\left\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:x\ne0\right\}\\
&=\inf\{C:\|Tx\|\le C\|x\|\text{ for all }x\}
\end{aligned})]

[math(\mathbb{K})]-벡터공간 [math(X)]에 대하여 [math(X)]에서 [math(\mathbb{K})]로의 선형사상을 선형범함수라고 한다. [math(\mathbb{K})]-노름공간 [math(X)]에 대하여 연속선형범함수 공간 [math(X^*=L(X,\ \mathbb{K}))]를 [math(X)]의 연속 쌍대공간(Continuous Dual Space)이라고 한다. 자명하지 않은 연속선형범함수의 존재성은 한-바나흐 정리에 의해 보장된다.

3 . 연산[편집]

3.1 . 곱노름공간[편집]

두 노름공간 [math(X,\ Y)]의 직합 [math(X\oplus Y)]에 다음과 같은 곱노름을 부여하면 벡터공간 [math(X\oplus Y)]은 노름공간을 이룬다.

[math(\|(x,\ y)\|=\max(\|x\|,\ \|y\|))]

이는 [math(\|(x,\ y)\|=\|x\|+\|y\|)] 또는 [math(\|(x,\ y)\|=\sqrt{\|x\|^2 +\|y\|^2})]등과 동치이다.

3.2 . 몫노름공간[편집]

[math(\mathbb{K})]-노름공간 [math(X)]의 닫힌 [math(\mathbb{K})]-부분공간 [math(W)]에 대하여 몫공간 [math(X/W)]에 다음과 같은 몫노름을 부여하면 벡터공간 [math(X/W)]는 노름공간을 이룬다.

[math(\displaystyle\|x+W\|=\inf_{w\in W}\|x+w\|)]

노름공간 [math(X)]와 부분공간 [math(W)]에 대하여 몫공간 [math(X/W)]가 노름공간을 이루기 위해서는 [math(W)]가 [math(X)]의 닫힌집합이어야 한다. [math(X)]의 부분공간 [math(W)]의 폐포 [math(\overline{W})]는 [math(X)]의 부분공간이므로 [math(W)]가 닫힌집합이 아닌 경우 그 폐포를 취하여 몫노름공간을 얻을 수 있다.

벡터공간 [math(X)] 위의 반노름 [math(\|\cdot\|)]에 대하여 [math(X)]의 닫힌 부분공간 [math(W=\{x\in X:\|x\|=0\})]의 몫공간 [math(X/M)]은 노름 [math(x+W\mapsto \|x\|)]이 부여된 노름공간이다. 이 방법은 [math(L^p)]공간을 구성할 때 활용된다.

4 . 성질[편집]

4.1 . 연산과 노름의 연속성[편집]

[math(\mathbb{K})]-노름공간 [math(X)]는 위상벡터공간으로 덧셈 [math(+:X\times X\to X )]과 스칼라곱 [math(\cdot:\mathbb{K}\times X \to X)]은 모두 연속사상이다. [math(X)]의 노름 [math(\|\cdot\|)]에 대하여 부등식 [math(\left|\|x\|-\|y\|\right|\le \|x-y\|)]가 성립하므로 노름 또한 [math(X)]의 연속사상이다.

성질 노름의 연속성
-
[math(\mathbb{K})]-노름공간 [math((X,\ \|\cdot\|))]을 유도하는 노름 [math(\|\cdot\|:X\to\mathbb{K})]는 위상공간 [math((X,\ \|\cdot\|))] 위의 연속사상이다.

증명 [math(\|x\|=\|x-y+y\|\le \|x-y\|+\|y\|)]에서 [math(\|x\|-\|y\|\le \|x-y\|)]이고 [math(\|y\|=\|x-x-y\|\le\|x-y\|+\|x\|)]에서 [math(-(\|x\|-\|y\|)\le\|x-y\|)]이므로 [math(|\|x\|-\|y\||\le \|x-y\|)]이다. 임의의 [math(\epsilon>0)]이 주어졌을 때, [math(\delta=\epsilon)]이라 하면 [math(\|x-y\|<\delta)]일 때,

}}}이므로 노름은 연속사상이다.

4.2 . 국소적 볼록공간[편집]

[math(\mathbb{K})]-노름공간 [math(X)]는 노름공간은 국소적 볼록 공간이다. 노름 [math(\|\cdot\|)]은 [math(X)]의 볼록함수다.

성질 노름공간의 국소적 볼록성
-
노름공간 [math((X,\ \|\cdot\|))]에 대하여 다음이 성립한다.
* 노름 [math(\|\cdot\|)]은 노름공간 [math(X)]의 볼록함수다.
* 노름공간 [math(X)]의 단위구 [math(B_X)]는 닫힌집합, 원점대칭, 볼록집합이다.

반대로 볼록성은 삼각부등식을 함의한다. 따라서 양의 동차성과 양의 정부호성을 만족시키는 볼록 실함수는 노름이다. 노름공간은 거리공간으로 하우스도르프 공간이므로, 노름공간은 국소적 볼록 하우스도르프 공간이다.

4.3 . 완비성[편집]

노름공간 [math(X)]의 점렬 [math((x_n))]에 대하여 [math(\sum_{n=1}^{\infty}\|x_n\|)]이 수렴하면 급수 [math(\sum_{n=1}^{\infty}x_n)]를 절대수렴하는 급수라고 한다. 절대수렴성 급수의 수렴은 노름공간의 완비성과 동치이다.

정리 바나흐 공간의 절대수렴 판정
-
노름공간 [math(X)]가 바나흐 공간일 필요충분조건은 [math(X)]의 모든 절대수렴 급수가 수렴하는 것이다.

증명 바나흐 공간 [math(X)]의 절대수렴 급수 [math(\sum_{n=1}^{\infty}x_n)]에 대하여 점렬 [math((S_N))]을 [math(S_N=\sum_{n=1}^{N}x_n)]으로 정의하면 [math(N,\ M\to\infty\ (N>M))]일 때,

}}}이므로 점렬 [math((S_N))]은 코시열로 수렴한다. 즉, 급수 [math(\sum_{n=1}^{\infty}x_n)]는 수렴한다. 반대로, 노름공간 [math(X)]의 모든 절대수렴 급수가 수렴한다고 가정하면 [math(X)]의 코시열 [math((x_n))]에 대하여 각 [math(k\in \mathbb{N})]가 주어졌을 때 [math(m,\ n\ge n_k)]이면 [math(\|x_m -x_n\|<2^{-k})]를 만족시키는 [math(n_k\in\mathbb{N})]가 존재한다. [math(X)]의 점렬 [math((y_k))]를 [math(y_1=x_1)], [math(y_k=x_{n_k}-x_{n_{k-1}}\ (k>1))]로 정의하자. 그러면 [math(\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\sum_{k=1}^{\infty}y_k)]이고

}}}이므로 [math((x_n))]은 수렴한다. 즉, [math(X)]는 바나흐 공간이다.

두 노름공간 [math(X,\ Y)] 사이의 연속 선형사상 공간 [math(L(X,\ Y))]의 완비성은 [math(Y)]에 의해 결정된다. 즉, [math(Y)]가 완비공간이면 [math(L(X,\ Y))]도 완비공간이다. 이에 따라, 노름공간 [math(X)]의 연속 쌍대공간 [math(X^*)]는 바나흐 공간이다. 한-바나흐 정리에 의해 노름공간 [math(X)]의 영이 아닌 각 벡터 [math(x)]에 대하여 [math(T(x)=\|x\|,\ \|T\|=1)]을 만족시키는 [math(T\in X^*)]가 존재한다. 선형범함수 [math(\widehat{x}:X^*\to\mathbb{C})]를 [math(\widehat{x}(T)=T(x))]로 정의하면 [math(\widehat{x})]는 [math(X^{**})]에 속하며, [math(x)]를 [math(\widehat{x})]로 대응시키는 사상은 [math(X)]와 [math(X^{**})]의 부분집합 사이의 등거리 변환을 이룬다. [math(X^{**}=L(X^*,\ \mathbb{K}))]는 완비공간이므로 [math(X^{**})]의 부분집합 [math(\widehat{X}=\{\widehat{x}:x\in X\})]의 폐포 [math(\overline{\widehat{X}})]는 [math(X^{**})]에 포함되며, [math(\overline{\widehat{X}})]를 [math(X)]의 완비화라고 한다. [math(X)]가 유한차원인 경우 [math(\widehat{X}=X^{**})]이지만, 이는 일반적으로 참이 아니다. [math(\widehat{X}=X^{**})]를 만족시키는 노름공간 [math(X)]를 반사적이라고 한다.

4.4 . 약한 *-위상[편집]

노름공간 [math(X)]와 [math(X)]의 연속 쌍대공간 [math(X^*)]에 대하여 [math(X^*)]로 생성된 [math(X)]의 약위상을 약한 위상이라고 한다. 반대로 [math(X^*)]에 [math(X^{**})]로 생성된 [math(X^*)]의 약한 위상을 고려할 수 있다. [math(X)]를 [math(X^{**})]의 부분공간으로 볼 때, [math(X^*)]에 [math(X)]로 생성된 약한 위상을 부여할 수 있다. 이를 [math(X^*)]의 약한 *-위상(약한 스타 위상)이라고 한다. [math(X^*)]의 약한 *-위상은 약한 위상보다 더 약하며, [math(X)]가 반사적일 경우 두 위상은 서로 같다. [math(X^*)]의 단위구는 노름위상에서 컴팩트가 아닐 수 있지만, 약한 *-위상에서는 컴팩트이다.

앨로우글루 정리(Alaoglu's Theorem)
-
노름공간 [math(X)]에 대하여 연속 쌍대공간의 닫힌 단위구 [math(\{T\in X^*:\|T\|\le1\})]은 약한 *-위상에서 컴팩트 집합이다.

단, 이는 연속 쌍대공간 [math(X^*)]가 컴팩트 공간 또는 국소 컴팩트 공간임을 보장하지 않는다.

4.5 . 함의 관계[편집]

내적이 정의되면 노름은 그 내적에서 [math(\lVert x\rVert:= \sqrt{\langle x,\ x\rangle})]에 의해 자연스럽게 정의된다. 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 노름이 있다고 해서 그에 자연스럽게 대응되는 내적이 항상 존재하는 것은 아니다. [math(p\neq2)]일 때, [math(L^p)] 노름은 내적으로 정의될 수 없다.

노름공간은 거리공간이며, 노름을 이용해 위와 같은 '자연스러운' 거리함수(the norm-induced metric) 뿐만 아니라 다른 거리함수도 만들 수 있다. [math(d(x,\ y):= \lVert x\rVert + \lVert y \rVert)] 라 정의하고, 단 [math(x=y)]일 때 [math(d(x,\ y)= 0)]라 하면, 이것도 거리함수의 공리를 만족하며, 흔히 우체국 거리(post office metric)라고 불린다. [math(d(\bold{x}, \bold{y}))]를 [math(\bold{x})]에서 [math(\bold{y})]로 편지를 보낼 때 원점의 우체국을 거쳐 편지가 이동하는 거리로 파악할 수 있기 때문이다.

그러나 거리공간은 노름공간이 아닐 수 있다. 즉, 거리함수가 있다고 해서 그에 자연스럽게 대응하는 노름이 항상 존재하는 것은 아니다.

이상을 종합하면 다음과 같다.

[math(\mathbb{K})]-내적공간[math(\Longrightarrow\mathbb{K})]-노름공간[math(\Longrightarrow)]거리공간

5 . 예시[편집]

유한차원 노름공간

유한차원 벡터공간의 모든 노름은 동치다.

[증명]: 유한차원 [math(\mathbb{K})]-벡터공간 [math(V)]의 벡터 [math(a\in V)]와 기저 [math(\{e_1,\ldots,\ e_n\})]에 대하여 [math(a=\sum_{k=1}^n a_ke_k~(a_1,\ \ldots\ a_n\in\mathbb{K}))] 라고 하면 [math(\|a\|_1=\|\sum_{k=1}^n a_ke_k\|_1=\sum_{k=1}^n |a_k|)]는 [math(V)]의 노름이다. 벡터공간 [math(V)]의 노름 [math(\|\cdot\|)]에 대하여 [math(N=\max\{\|e_1\|,\ \ldots\ ,\ \|e_n\|\})]이라 하자. 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여 [math(\|x-a\|_1<\epsilon/N)]일 때

[math(\displaystyle\begin{aligned}|\|x\|-\|a\||&\le\left\|\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)e_k\right\|\\
&\le\sum_{k=1}^n|x_k-a_k|\|e_k\|\\
&\le \|x-a\|_1 \cdot N<\epsilon\end{aligned})]

이므로 노름 [math(\|\cdot\|)]은 위상공간 [math((V,\ \|\cdot\|_1))]의 연속사상이다. 유클리드 공간 [math(\mathbb{K}^n)]에서 노름공간 [math((V,\ \|\cdot\|_1))]로의 사상 [math((a_1,\ \ldots\ ,\ a_n)\mapsto \sum_{k=1}^n a_ke_k)]을 [math(T)]라고 하자. 각 [math(A=(a_1,\ \ldots\ ,\ a_n)\in \mathbb{K}^n)]에 대하여 임의의 [math(\epsilon>0)]이 주어졌을 때 [math(\delta=\epsilon/n)]이라 하면 [math(\|X-A\|<\delta)]일 때 각 [math(k(1\le k \le n))]에 대하여 [math(|x_k-a_k|<\delta=\epsilon/n)]이다. 따라서

[math(\displaystyle\begin{aligned}\|T(X)-T(A)\|_1&=\left\|\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)e_k\right\|_1\\
&=\sum_{k=1}^n|x_k-a_k|\\
&<n\cdot \frac{\epsilon}{n}=\epsilon\end{aligned})]

으로, [math(T)]는 연속사상이다. 집합 [math(D=\{(a_1,\ \ldots \ ,\ a_n)\in\mathbb{K}^n:\sum_{k=1}^n|a_k|\})]는 [math(\mathbb{K}^n)]의 유계 닫힌집합으로, 컴팩트 집합이다. 따라서 [math(T(D)=\{x\in X:\|x\|_1=1\})]는 [math((X,\ \|\cdot\|_1))]의 컴팩트 집합이다. 노름 [math(\|\cdot\|)]은 위상공간 [math((V,\ \|\cdot\|_1))]의 연속사상이므로 [math(\|T(D)\|)]의 최댓값 [math(M)]과 최솟값 [math(m)]이 존재한다. 따라서 임의의 [math(x(\ne0)\in V)]에 대하여 [math(m\le \|x/\|x\|_1\|\le M)]으로, [math(m\|x\|_1\le\|x\|\le M\|x\|_1)]이다. 즉, 노름 [math(\|\cdot\|)]와 [math(\|\cdot\|_1)]은 동치다.

유클리드 공간의 노름

유클리드 공간 [math(\mathbb{R}^n)]에 부여된 다음 노름은 모두 동치인 노름으로, 유클리드 위상을 유도한다.

유클리드 노름([math(L^2)])

n차원 유클리드 공간에서의 노름은 유클리드 노름(Euclidean norm)이라고 부르고 다음과 같이 정의한다.

유클리드 노름은 평행선 법칙을 만족시켜, 내적으로부터 유도된 노름이다.

택시 노름([math(L^1)])

[math(L^p)] 노름에서 [math(p=1)]인 경우 택시 노름(맨해튼 노름, Taxicab norm, Manhattan norm)이라고 한다.

유클리드 평만 위의 두 점 사이의 최단거리는 유클리드 노름으로 계산하지만, 만약에 그 사이에 밑면의 한 변의 크기가 1인 정사각형 모양의 빌딩이 있고 田자 모양의 도로망이 있을 때에는 ㄱ자 형태로 가로 1, 세로 1만큼, 총 2의 거리를 가야 한다. 이 거리를 계산하는 방법이 택시 노름이다. 맨해튼의 도로 구조가 위와 같이 격자 모양에 가까워 다른 이름이 맨해튼 노름인 것. 당연히 여기서 유도되는 거리함수 이름은 택시 거리 함수(Taxicab metric) / 맨해튼 거리 함수(Manhattan metric)이다. 머신러닝이나 통계학을 전공한다면 L₁ 정규화(L₁ regularization)라는 개념으로 자주 마주치게 될 것이다. 택시 기하학 문서 참고

상한 노름([math(L^\infty)])

[math(L^p)] 노름에서 [math(p)]를 무한대로 보내면 얻는 노름이다.

주어진 성분 중 최댓값을 노름으로 삼는 방식이다. 상한 거리 함수, 혹은 최대 거리 함수(max metric)가 이 노름에서 정의된다. 하한은 반노름을 이룬다.

[math(L^p)] 공간

측도공간 [math((X,\ \mathcal{M},\ \mu))]의 가측함수 [math(f)]와 실수 [math(p\in [0,\ \infty))]에 대하여

는 함수공간 [math(\mathcal{L}^p(X,\ \mathcal{M},\ \mu)=\{f:X\to\mathbb{C}:f\text{ is measurable and }\|f\|_p<\infty\})]의 반노름이다. 따라서 함수공간 [math(\mathcal{L}^p)]의 부분집합

에 대한 상공간 [math(L^p=\mathcal{L^p}/W)]은 노름공간이다. 특히 르베그 적분은 함수열의 수렴성을 보존하므로 [math(L^p)]는 바나흐 공간이다. [math(p=2)]인 경우, [math(L^2)]노름은 내적으로부터 유도된 노름으로 [math(L^2)]는 힐베르트 공간이다. [math(0

복소측도 공간

가측공간 [math((X,\ \mathcal{M}))] 위의 복소측도의 공간을 [math(M(X))]에 노름 [math(\|\mu\|=|\mu|(X))]을 부여하면 [math(M(X))]는 바나흐 공간이다.

6 . 둘러보기 틀[편집]

해석학·미적분학

Analysis · Calculus

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내적공간		그람-슈미트 과정 · 수반 연산자(에르미트 내적)
다중선형대수		텐서 · 텐서곱 · 레비치비타 기호

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노름공간

분류

1. 개요[편집]

2. 정의[편집]

2.1. 노름[편집]

2.2. 노름공간[편집]

2.3. 연속 쌍대공간[편집]

3. 연산[편집]

3.1. 곱노름공간[편집]

3.2. 몫노름공간[편집]

4. 성질[편집]

4.1. 연산과 노름의 연속성[편집]

4.2. 국소적 볼록공간[편집]

4.3. 완비성[편집]

4.4. 약한 *-위상[편집]

4.5. 함의 관계[편집]

5. 예시[편집]

6. 둘러보기 틀[편집]

관련 문서