대수적 정수론

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1. 개요[편집]

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代數的整數論 / Algebraic number Theory

정수론을 연구하는 데에 광범위한 대수학의 방법들을 사용하는 분야이다. 정수론의 핵심 주제가 방정식의 정수해를 찾는 것이므로, 방정식의 성질을 연구하는 대수학이 끼어들 자리가 없다면 이상할 것이다. 다만 대수학이라는 것이 생각보다 골때리는 학문이니만큼,[1] 해석적 정수론에 비해 일반인이 접하기는 훨씬 힘들다.

약간 더 자세히 말하자면, 대수적 정수론은 방정식의 대수적 해를 이용한 대수적 확장(algebraic extension) 위에서의 정수의 성질을 탐구한다고 할 수 있다. 마치 고차방정식을 풀 때 복소수를 도입해서 해를 찾듯이, 정수집합에 방정식의 해들을 추가시켜 이들의 성질을 관찰하는 것. 예를 들어서, 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem, 이하 FLT) 중 지수가 3인 경우

이 식은 3차 단위근 [math( \omega = e^{2 \pi i / 3})] [2]을 동원해 다음과 같이 인수분해된다.

여기서의 [math(x, y, z)]는 모두 정수이므로, 인수 [math(x+y,\,x+\omega y,\,x+{\omega}^2 y)] 들은 모두 정수집합 Z에 [math( \omega )]를 추가한 아이젠슈타인 정수(Eisenstein Integer)라 불리는 다음 집합

의 원소이다. 따라서 정수의 성질들을 모조리 끌어와 이 아이젠슈타인 정수에서 정수론을 펼치면 FLT 중 n=3인 경우를 공략할 수 있는 것이다. 레온하르트 오일러가 이 방법을 생각해 낸 후, 사람들은 수많은 디오판토스 방정식들이 사실은 이러한 류의 집합 - 대수적 정수(algebraic integer) - 위에서의 정수론 문제라는 것을 알게 되었다.

하지만 대수적 정수들을 다루는 것은 처음 생각보다는 복잡했는데, 정수의 모든 좋은 성질이 다 옮겨오지는 않았기 때문이다. 그 대표적인 예로 소인수분해가 유일하지 않은 것이 있는데, 이는 대수적 정수 [math( \mathbb{Z}\left[ \sqrt {-5} \right] )] 위에서 [math(6 = 2 \cdot 3 = \left(1 + \sqrt{-5}\right)\left(1 - \sqrt{-5}\right) )]처럼 두 가지 서로 다른 분해가 존재하기 때문이다. 이는 많은 상황에서 예기치 못한 장애물이 되었다. 후에 수학자 라메(Gabriel Lame)가 지수가 일반적 홀수 소수일 때[3], 위의 n=3인 경우와 비슷한 논리를 펼쳐 '이겼다! FLT 끝!' 을 외쳤지만, 아쉽게도 이 문제를 생각하지 않은 바람에 오류가 났었던 것. 이것을 해결하기 위해 쿰머(Ernst Kummer)가 '배수의 일반화'라고 볼 수 있는 아이디얼(ideal)의 개념을 창안했고,[4][5][6] 이를 활용하여 소위 말하는 '정규소수'(regular prime)인 경우의 증명을 완성하긴 했지만, FLT의 해결과는 거리가 멀었다.

대수학이 제대로 정립된 힐베르트(David Hilbert) 이후 대수적 정수론은 다시 다른 국면을 맞게 된다. 현대수학자들은 대수학 외에도 대수기하학과 표현론 등 정신줄 놓는 수학들을 자유자재로 사용하여, 방정식의 정수해에 대해 모든 것을 밝혀 낼 기세로 전진했다. 예로 1983년에 팔팅스(Gerd Faltings)가 증명한 모델의 가설(Mordell's conjecture)은 '변수가 2개인 [math(F\left(x,y\right) = 0)] 꼴의 대부분의 방정식은 유한한 유리수해를 가진다'는 어마어마한 내용을 말하고 있다.[7] 20세기의 정수론은 이러한 것들과 더불어 조화해석학에서 온 모듈러 형식(modular form), 타원곡선, 해석적 정수론의 L-함수, 이 모든 것이 합쳐진 모듈러성 정리의 증명 - 즉 FLT의 증명! - 으로 정상을 찍었다고 할 수 있겠다. 물론 그 뒤에 랭글랜즈 프로그램 같은 정말이지 말도 안되는 숙제들을 남겨놓기는 했지만.

이게 대수적 정수론 얘기야 FLT 얘기야 여담으로, 위에서 보듯이 페르마의 마지막 정리가 대수적 정수론의 발전에 상당한 영향을 주었다는 것을 알 수 있다. 그건 핑계고 다른 내용들은 더 어려우니까(...) 이 얘기만 한거다 아니 그럼 얼마나 어렵다는 거야

2. 특징[편집]

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학습할 때의 느낌은 해괴망측한 개념들이 판을 친다고 얘기할 수 있다. 뭐 대수학 관련 과목들이 안 그렇겠냐만은, 사람에 따라서는 대수기하학보다 심하다는 얘기도 있다. 다만 대수학적 사고 방식에 극도로 익숙한 사람이 그런 개념들을 내면화할 수 있으면, 충분히 아름답게 느껴질 수도 있다. 옆 동네처럼 밑도 끝도 없는 적분과 부등식, 몇 겹으로 튀어나오는 자연로그 ([math(\ln\ln\ln\ln x)] 같은...) 등이 수없이 나오지 않는다는 것은 사람에 따라 장점이 될 수도.

대수적 정수론은 초등정수론에서 배운 여러가지 대수적인 내용을 훨씬 더 일반화시킨다. 르장드르 기호는 아틴 사상이 되고, 페르마의 [math(4n+1)] 정리는 [math(\mathbb{Q}\left(i\right))]라는 체 위에서 어떤 소수가 split한지 inert한지의 문제로 바뀐다. 이렇게 초등정수론하고 연관성을 찾아가면서 공부한다면 대수적 정수론을 공부하는 데 도움이 될 수 있다.

대수적 정수론에서 해석적 정수론적 방법론을 쓸 때가 있다. 데데킨드 제타함수나 아틴 L- 관련 내용인데, 여기에서 나오는 Chebotarev's density theorem은 대수적 정수론 전체에서 매우 중요한 정리로 쓰인다. 그리고 analytic continuation이란 문제는 Tate thesis같은 여러가지 매우 중요한 결과를 낳았고, 이는 랑글랜드 프로그램으로 발전한다. 따라서 대수적 정수론 안에서 해석적 방법은 상당히 중요한 위치를 차지한다.

대수적 정수론에 대해서 더 알고 싶은 사람은 대수적 정수론/심화 참조.

3. 교재들[편집]

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3.1. 기초 교재[편집]

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• S. Alaca. Introductory Algebraic Number Theory

책 전반부에서 필요한 대수학을 전부 설명하고, 갈루아 이론을 사용하지 않는다. 그렇기에 배경지식 없이도 내용을 이해하기 쉽지만, 그만큼 책에서 설명하는 내용도 적다.

• D. Marcus. Number Fields

가장 표준적인 기초 대수적 정수론 교재이다.

• J. S. Milne. Algebraic number theory

Milne의 강의노트는 저자의 홈페이지에서 무료로 다운로드받을 수 있다.

• J. P. Serre. A Course in Arithmetic

일반적인 기초수준 대수적 정수론 교재에 나오는 number field 관련 내용은 하나도 없고, 대신 전반부는 p-adic number, quadratic form 관련 내용을 다루고 후반부는 modular form 관련 내용을 담고 있다. 정수론을 더 공부할 때 중요하게 나올 개념들이라서 고급과정을 위한 필독도서로 꼽힌다.

3.2. 심화 교재[편집]

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다른 분야도 마찬가지지만 대수적 정수론에선 같은 이론에 접근하는 다른 관점들을 익혀두는 것이 더욱 더 도움이 되므로, 하나를 배울 때마다 여러 교재들과 문헌들을 같이 보는 게 보통이다. 그래도 바이블을 하나 꼽아보자면 1965년 열렸던 학생들을 대상으로 이 분야를 가르치기 위한 컨퍼런스의 강의록을 Cassels&Frolich[C&F]가 편집한 간행물이 있겠는데, Serre나 Tate 등 전설적인 대가들이 당시 펼친 강의록들로 구성되어 있다.

여튼 방금 전에 말한 조언의 예를 들자면 대수적 정수론을 처음 배울 때 Neukirch 교재[NKH1]의 제타함수 서술은 Hecke의 방법을 따르고 있어서 Lang[LANG1]의 것이나 Cassels&Frolich[C&F]의 것에 나온 Tate's Thesis 내용을 보완할 수 있으며, Weil[WEIL], Lang[LANG1], Taibleson[TBSN], Ramakrishnan의 것[RMKN]에선 수체(Number Field)의 해석적(조화해석)적인 접근을 구경할 수 있다.

또한 문제를 풀어가는 식으로 개념을 체득하는데 도움을 주고싶으면 Murty와 Jody가 쓴 Problems in Algebraic Number Theory라는 문제집[M&J]이 있다. 한번 살펴보자.

이 분야가 역시 대수다 보니 나름 딱딱한 쪽에 속하는 만큼 바로 이론을 공부하기보다는 완충제와 함께 분야의 맛보기와 배경설명을 겸한 책으로 시작하는 것도 좋을 것이다. 예를 들어 Edwards나 Tall이 쓴 페르마의 대정리를 배경으로 한 소개록[H.M.Ed][TALL]이라던지 Swinnerton-Dyer가 쓴 총론[H.P.F]이 있겠다.

• J.P. Serre:

• A. Weil-Basic Number Theory[WEIL]

• S. Lang:

• G. Shimura:

• J. Milne:

• H.P.F. Swinnerton-Dyer-A Brief Guide to Algebraic Number Theory[H.P.F]

• J.W.S. Cassels-Local Fields

• A. Frolich-Algebraic Number Theory(with M.J. Taylor)

• M.H. Taibleson-Fourier Analysis on Local Fields[TBSN]

• J. Neukirch:

• D. Ramakrishnan-Fourier Analysis on Number Fields(with R.J. Valenza)[RMKN]

• J.H. Sliverman:

• F. Diamond-A First Course in Modular Forms(with M. Shurman)

• H.M. Edwards-Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory[H.M.Ed]

• D. Tall-Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem(with I. Stewart)[TALL]

• M.R. Murty-Problems in Algebraic Number Theory(with J. Esmonde)[M&J]

• 세미나: