무차원량

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토론 합의사항

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* 분야에 따라 수용액의 밀도를 [math(\rm1\,g/mL)]로 근사하여 [math(\rm ppm)]과 [math(\rm mg/L)]를 같은 단위로 사용하고 있다는 사실과 이에 대한 구체적인 설명(수식 등)을 서술함. * 국제단위계에 의하면 [math(\rm ppm)]과 [math(\rm mg/L)]는 과학적으로 다른 단위이고 혼용할 수 없는 단위임을 서술함.(단, '일반적으로 두 단위를 혼용하는 것'이 옳고 그른지는 서술하지 않는다)

과학 연구 · 실험
Scientific Research · Experiment

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1. 개요

2. 특징

3. 예시

3.1. 수학 상수

3.2. 로가리듬(Logarithm)

3.3. 계수량(counting quantity)

3.4. 분율

3.5. 각, 입체각

3.6. 학문 분야에 따른 무차원량

3.6.1. 경제학

3.6.2. 광학

3.6.3. 물리화학

3.6.4. 생물학

3.6.5. 소립자 물리학

3.6.6. 약리학

3.6.7. 역학

3.6.8. 유체역학, 열 및 물질전달

3.6.9. 일반화학

3.6.10. 재료공학

3.6.11. 전자기학

4. 관련 문서

1 . 개요[편집]

무차원량(無次元量, dimensionless quantity)은 도량형학(metrology)에서 쓰이는 용어로, 차원 분석 시 모든 차원의 지수가 [math(0)]이 되는 물리량을 가리킨다. 수학적으로 곱셈·나눗셈의 항등원이므로 차원 기호는 [math(\sf 1)]로 나타낸다.

물리량은 수와 단위의 곱으로 이루어져있으므로 단위가 없는 수학 상수들은 [math(1)]이라는 단위가 곱해진 물리량으로 간주할 수 있어 무차원량이며, 단위는 미지수의 계수 [math(1)]을 생략해서 나타내듯이 [math(1)]이 생략된 물리량으로 간주할 수 있으므로 차원이 없는 단위 역시 무차원량이다.

기하학의 성질인 공간을 나타내는 측도로써의 차원과는 의미가 많이 다르다.

2 . 특징[편집]

어떤 물리량 [math(Q)]의 차원 [math(\dim Q)]는 7가지의 기본 차원(base dimension), 즉 길이([math(\sf L)]), 질량([math(\sf M)]), 시간([math(\sf T)]), 전류([math(\sf I)]), 온도([math(\sf\Theta)]), 물질량([math(\sf N)]), 광도([math(\sf J)])를 각각 밑으로 하는 지수의 곱으로 나타낼 수 있다. 즉

[math(\dim Q = {\sf L}^\alpha{\sf M}^\beta{\sf T}^\gamma{\sf I}^\delta{\sf\Theta}^\epsilon{\sf N}^\zeta{\sf J}^\eta)]

[math(Q)]가 2가지 이상의 물리량의 곱셈·나눗셈으로 이루어져 있을 경우 그 차원 역시 똑같은 연산의 영향을 받으므로 [math(\dim Q)]의 식에서 각 차원의 차수가 어떻게 되는지를 수학적으로 계산할 수 있다. 이를 차원분석(dimensional analysis) 또는 차원 해석이라고 하는데 계산 결과 모든 차원의 지수가 [math(0)]이면 [math(Q)]는 '무차원량'이라고 한다.

단, 이들 기본 차원으로 나타낼 수 없거나 차원 분석이 불가능한 단위들(특히 셈 측도에 해당하는 것들[1])은 통상적으로 무차원량으로 약속한다.

3 . 예시[편집]

3.1 . 수학 상수[편집]

[math(1)], 원주율 [math(\pi)], 자연로그의 밑 [math(e)]을 포함한 모든 수학 상수는 무차원량이다. 심지어 허수 단위 [math(i)]를 포함한 사원수의 다른 허수 단위 [math(j)], [math(k)]도 무차원량이며 이를 확장한 체계의 다른 단위들 역시 무차원량이다.

3.2 . 로가리듬(Logarithm)[편집]

로가리듬은 지수의 역함수, 즉 지수함수의 지수에 해당하기 때문에 항상 무차원량이다. 따라서 이들 수식을 바탕으로한 단위 역시 모두 무차원량이다. 거꾸로 지수의 결과값 역시 무차원량이기 때문에 각 로가리듬의 정의역에는 무차원량이 대입돼야 한다.

네퍼 [math(\rm Np)] - 분율에 자연로그를 취한 것의 단위.
데시벨 [math(\rm dB)] - 분율에 상용로그를 취한 것의 단위. 벨([math(\rm B)])의 [math(1/10)].
[math(\rm pH)] - 수소 이온의 활동도의 역수에 상용로그를 취한 것. 이 밖에도 [math(\rm pOH)], 산이온화상수 [math({\rm p}K_a)], 염기이온화상수 [math({\rm p}K_b)], 등전점 [math(\rm pI)] 등 로가리듬을 이용한 모든 물리량 포함.

3.3 . 계수량(counting quantity)[편집]

개수를 세는 데에 관련된 단위들은 모두 무차원량이다. 자세한 것은 셈 측도 참조.
분자생물학에서 핵산의 염기 개수를 나타내는 베이스([math(\rm b)]) 혹은 염기쌍의 개수를 나타내는 베이스페어([math(\rm bp)]).
양자역학에서의 축퇴(degeneracy).

3.4 . 분율[편집]

자세한 내용은 분율 문서를 참고하십시오.

단위가 같은 두 물리량의 율이기 때문에 분율에 속하는 모든 물리량은 무차원량이다.

% - 전체를 [math(100)]으로 놓았을 때의 비율.
‰ - 전체를 [math(1\,000)]으로 놓았을 때의 비율.
‱ - 전체를 [math(10\,000)]으로 놓았을 때의 비율.
ppm, ppb, ppt - %, ‰을 확장한 개념으로 [math(\rm1\,ppm)]은 전체를 [math(10^6 = 100)]만으로 놓았을 때의 비율을 의미하며 [math(\rm ppb)], [math(\rm ppt)]는 국가에 따라 그 의미가 다르다. milliard, billiard가 포함된 소위 long scale 체계를 쓰는 나라[2]
유럽 등
에서는 [math(\rm1\,ppb = 1/10^{12})](1조분의 1), [math(\rm1\,ppt = 1/10^{18})](100경분의 1)을 의미하지만 milliard, billiard가 없는 소위 short scale 체계를 쓰는 나라[3]
미국 등
에서는 [math(\rm1\,ppb = 1/10^9)](10억분의 1), [math(\rm1\,ppt = 1/10^{12})](1조분의 1)을 의미한다. 이 때문에 국제단위계에서는 [math(\bf ppb)], [math(\bf ppt)]의 사용을 허용하지 않는다.

단, 분야에 따라 [math(\rm ppm)]을 무차원이 아닌 밀도의 단위([math(\rm\textμg/mL = mg/L = g/m^3)] 등)로 사용하는 경우가 있다. 국제단위계의 정의에 의하면 둘은 혼용될 수 없지만, 묽은 수용액을 다루는 상황에서는 물의 밀도를 [math(\rm1\,g/mL)]로 근사할 수 있으므로 [math({\rm\textμg/mL}\approx{\rm\textμg/g} = 10^{-6} = {\rm ppm})], 즉 [math(\rm ppm)]과 [math(\rm\textμg/mL)]을 동일한 단위으로 쓰는 것이므로 데이터를 읽을 때 주의를 요한다.

할, 푼, 리 - 척관법 기반의 분율. 주로 야구에서 타율을 나타낼 때 쓰인다.

3.5 . 각, 입체각[편집]

라디안([math(\rm rad)]) - 반지름에 대한 호의 길이의 비로 나타낸 평면각의 단위.
스테라디안([math(\rm sr)]) - 반지름 제곱에 대한 구 표면의 넓이 비로 나타낸 입체각의 단위.

사실 평면각은 '회전'(turn)을 단위로 하여 나타낼 수도 있는데 회전이 무차원의 단위이기 때문에 평면각 자체가 무차원량이다. 라디안은 이를 수학적으로 더 엄밀하게 나타낸 표현에 불과하다. 입체각은 평면각의 제곱과 같으므로 입체각 역시 그 자체로 무차원량이며 이를 엄밀하게 정의한 것이 스테라디안이다.

3.6 . 학문 분야에 따른 무차원량[편집]

자연 단위계에서 다루는 모든 물리량[4]
[math(E = m)]같은 괴악한 수식을 쓸 수 있는 것도 사실 에너지([math(E)])와 질량([math(m)])이 엄밀하게는 무차원량으로 규격화된(즉, 단위가 없는) [math(E_{\rm N})], [math(m_{\rm N})]이기 때문이다.(무엇으로 규격화됐는지는 사용하는 단위계에 따라 다르다. 자세한 것은 자연 단위계 참조) 그러나 자연 단위계를 쓰는 대부분의 학자들은 이 표기가 매우 번거롭기 때문에 규격화 표기를 생략한다.

3.6.1 . 경제학[편집]

대체탄력성 [math(\rho)]

3.6.2 . 광학[편집]

굴절률 [math(n)]

3.6.3 . 물리화학[편집]

이온화도 [math(\alpha)]
활동도 [math(a)]
활동도 계수 [math(\gamma)]
화학 반응의 모든 평형상수 [math(K)]

3.6.4 . 생물학[편집]

베버의 법칙에서 베버 상수 [math(k)]

3.6.5 . 소립자 물리학[편집]

미세구조상수 [math(\alpha)]

3.6.6 . 약리학[편집]

반수치사량 [math({\rm LD}_{50})]
치료 지수 [math(\rm TI)]

3.6.7 . 역학[편집]

반발계수 [math(e)] - 충돌 전후 상대속도의 비율.

3.6.8 . 유체역학, 열 및 물질전달[편집]

무차원 수가 넘쳐난다. 자세한 내용은 전공서적을 참고 바란다.

레이놀즈 수 [math(\rm Re)] - 유체의 관성력과 점성력의 비율. 두 물리량의 단위는 [math(\rm Pa = kg/(m{\cdot}s^2))]이다.
레일리 수 [math({\rm Ra}_x)] - 확산에 의한 열 전달 속도와 대류에 의한 열 전달 속도의 비율.
마하 수 [math(\rm Ma)] - 음속에 대한 유체 흐름의 속도 비.
프루드 수 [math(\rm Fr)] - 중력/관성력
웨버 수 [math(\rm We)]
프란틀 수 [math(\rm Pr)] - 운동량 확산률과 열확산률의 비, 유체의 특성으로 유체의 종류와 유체의 온도에 의해 달라지며 대류열전달계수를 계산하는 데 사용된다.

3.6.9 . 일반화학[편집]

원자량, 분자량 등 화학식량의 범주에 들어가는 것 모두.

3.6.10 . 재료공학[편집]

푸아송 비 [math(\nu)]

3.6.11 . 전자기학[편집]

비유전율 [math(\varepsilon_{\rm r})]
비투자율 [math(\mu_{\rm r})]
자화율 [math(\chi)]

4 . 관련 문서[편집]

이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-11-28 12:14:27에 나무위키 무차원량 문서에서 가져왔습니다.

[1] 몰 제외. 몰은 셈 측도이지만 차원이 [math(\sf N)]이다.[2] 유럽 등[3] 미국 등[4] [math(E = m)]같은 괴악한 수식을 쓸 수 있는 것도 사실 에너지([math(E)])와 질량([math(m)])이 엄밀하게는 무차원량으로 규격화된(즉, 단위가 없는) [math(E_{\rm N})], [math(m_{\rm N})]이기 때문이다.(무엇으로 규격화됐는지는 사용하는 단위계에 따라 다르다. 자세한 것은 자연 단위계 참조) 그러나 자연 단위계를 쓰는 대부분의 학자들은 이 표기가 매우 번거롭기 때문에 규격화 표기를 생략한다.

무차원량

분류

1. 개요[편집]

2. 특징[편집]

3. 예시[편집]

3.1. 수학 상수[편집]

3.2. 로가리듬(Logarithm)[편집]

3.3. 계수량(counting quantity)[편집]

3.4. 분율[편집]

3.5. 각, 입체각[편집]

3.6. 학문 분야에 따른 무차원량[편집]

3.6.1. 경제학[편집]

3.6.2. 광학[편집]

3.6.3. 물리화학[편집]

3.6.4. 생물학[편집]

3.6.5. 소립자 물리학[편집]

3.6.6. 약리학[편집]

3.6.7. 역학[편집]

3.6.8. 유체역학, 열 및 물질전달[편집]

3.6.9. 일반화학[편집]

3.6.10. 재료공학[편집]

3.6.11. 전자기학[편집]

4. 관련 문서[편집]

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