미적분학
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2002~2008년 고등학교 입학생에게 적용됐던 수학 과목에 대한 내용은 7차 교육과정/수학과/고등학교/미분과 적분 문서, 2018~2024년 고등학교 입학생에게 적용되는 수학 과목에 대한 내용은 2015 개정 교육과정/수학과/고등학교/미적분 문서
참고하십시오.1. 개요[편집]
微積分學 / Calculus
미적분학, 미분적분학은 미분과 적분에 관한 수학의 한 분야로 발전했지만, 속도나 이동거리 등의 계산적 도구로서 발명되어 다듬어져온 것이기 때문에 미적분학에 나와있는 수많은 정리들을 수리논리학, 대수학, 위상수학적 관점에서 엄밀하게 전부 다시 증명하는 것이 해석학[1]이다. 도구이니만큼 안 쓰이는 곳이 없을 정도로 광범위하게 쓰이므로 현대 문명의 근간이라 할 만하다.
2. 명칭과 어원[편집]
한자가 '-分(-분)'으로 끝나 뿌리가 같은 것으로 오해하기도 하지만, 미분(differential)과 적분(integral)의 출발선은 실로 상이했다. 일반적인 교육 순서와 다르게 '적분'의 역사가 '미분'보다 훨씬 오래되었으며 적분은 이집트, 미분은 영국 및 독일로 나온 지역도 다르다. 본격적으로 이 두 개념을 연관짓기 시작한 역사조차 그리 오래되지도 않았다. 이후 17세기, 미분적분학의 기본정리가 등장하면서 미분과 적분을 함께 다루게 되면서 복합 학문으로 거듭났다.
미분과 적분 사이의 연결고리를 발견해낸 것 하나만으로 당시대 사람들은 이를 굉장히 신기하게 여겼다. 비유하자면 20년간 남인 줄 알았던 당신의 친한 친구가 사실 친형제였다는 것이 밝혀지는 셈이다. 현대인들이 미분과 적분 사이의 유기성을 당연하게 여기는 바람에, 역으로 옛날 시대 사람들의 이러한 인식을 어색해 하기도 한다. 아마 서로를 신기해 할 것이다.
미분적분학의 영단어인 calculus는 본래 수학 또는 계산이나 셈법 그 자체를 의미하는 말이었다. 라틴어로 calculus는 small pebble 즉, 작은 조약돌들을 의미한다. 복수로는 calculi. 주판이 생기기도 이전에 주판과 같은 개념으로 조약돌을 가지고 더하고 빼고 하던 것에서 유래해서 계산을 의미했으며 같은 어원에서 나온 계산 calculation이라는 단어도 있다. 사실 미분적분학을 의미하는 modern calculus는 differential calculus와 integral calculus가 합쳐진 말이다.
대한민국에서는 통칭이 '미적분'으로 자리잡았지만 굳이 위 같은 논거 하에서 근본을 살려 표현하자면 ‘미분적분학’이 더 올바른 표현이라고 주장하며 개정 운동을 하는 사람들도 있다. 일반인과 학생들은 관심없는 논점이지만 교수들은 '미적분'이라는 표현을 달갑지 않아하는 경우가 꽤 있다.
실제로 서점 매대의 전공책
함수의 원리를 중심으로 하여, 국소적인 변화를 중점적으로 다루기 때문에 무한소 해석학으로 부르기도 한다.
3. 의의[편집]
3.1. 역사적 의의[편집]
미분적분학 이전의 수학은 플라톤의 이데아론이 말하듯 끊임없이 변화하는 현상계의 세계보다는 불변하는 관념의 세계를 다루는 경향이 있었다. 그러나 변화를 다루는 미분적분학이 만들어지자, 정적인 성격만을 가지고 있던 수학이 동적으로 변화하는 현상 세계를 다룰 수 있게 된 것이다. 수학이 현실과 동떨어진 세계에서 진짜 현실로 볼 수 있는 세계를 다룰 수 있게 되자, 서양의 과학은 폭발적으로 발전하게 된다.
3.2. 함수와 공간에 대한 의의[편집]
미분적분학의 수학, 그 자체에서의 의미를 보면, "함수와 공간의 관계를 파악한다."로 요약된다. 고등학교 과정에서 나오는 미분적분학의 기본정리는 구간 [a, b]에서의 적분을 "원시함수의 양 끝점에서의 값의 차"로 나타낼 수 있다는 것을 의미하는데, 이것의 심화버전인 발산 정리와 스토크스 정리는 각각 2차원 곡면/1차원 곡선에서 벡터함수의 적분을 해당 함수를 미분하여 3차원 공간/2차원 곡면에서 적분하는 것으로 바꿀 수 있다는 것을 의미한다. 이 때 미분한 함수의 적분 영역의 경계선/경계면이 원래 함수의 적분 영역이 된다는 것을 의미한다. 다시 말해 미분적분학의 기본정리는 넓은 의미에서 함수와 공간의 대응 관계와 경로 무관성을 보여 준다고 할 수 있다.
4. 교육과정[편집]
초중고 교육과정 상에서의 위치는 말 그대로 최종 보스.[4][5] 초급 미적분을 다루는 수학Ⅱ를 배우는 시기도 모든 공통과목 중 가장 늦은데 (기본 편제상 고2 2학기), 자연계 미적분은 초중고 12년의 마지막을 장식하는 고3 시기가 돼서야 배우는 만큼 복잡하고 어렵기 때문에 이런 인식이 붙었다. 최근 수능에서 미적분 / 기하 / 확통 3중 1택을 실시하면서 미적분을 선택하면 다른 두 과목을 공부하지 않아도(...)[6]되는 만큼 더더욱 그렇다. 미적분은 대한민국 정부 수립 이래로 항상 중등교육과정의 끝판왕이었다. 7차 교육과정 시기에는 잠깐 문과에 한하여 미적분이 제외된 적이 있었다.
고등학교 수학 공통 과정(통상 고등학교 2학년이 배우는 '수학Ⅱ')에서도 미분법과 적분법의 대수적인 방법론 정도는 짚어야 한다. 단, 고등학교 수준의 미분적분은 교육학적으로 접근하기 때문에 대수·기하 등을 엮어서 배운다. 실질적으로 그것들이 필연적으로 엮여야 하는 것들은 아니다(이것이 학문으로서의 미분적분학과의 큰 차이).
수학을 선행학습했다는 학생들에 대한 묘사가, 하나같이 초등학생 또는 중학생에 미적분을 배웠다는 이야기이다.
대만은 모든 대학생이 미적분학을 이수해야 졸업할 수 있다.
4.1. 고등학교[편집]
- 7차 교육과정: 수학Ⅱ, 미분과 적분
- 2007 개정 교육과정: 미적분과 통계 기본, 수학Ⅱ(2007), 적분과 통계
- 2009 개정 교육과정
- 2015 개정 교육과정
- 2022 개정 교육과정 (2025학년도 고교 입학생부터 적용)
- 미적분Ⅰ (2015 개정 교육과정 '수학Ⅱ'에서 이름만 바뀐 것)
- 함수의 극한과 연속
- 미분
- 적분
- 미적분Ⅱ (2015 개정 교육과정 '미적분'에서 이름만 바뀐 것)
- 수열의 극한
- 미분법
- 적분법
- 경제 수학 중 '미분과 경제' 부분
- 미적분Ⅰ (2015 개정 교육과정 '수학Ⅱ'에서 이름만 바뀐 것)
- Advanced Placement: AP 미적분학
4.2. 대학교[편집]
대학교에서는 공과대학, 자연과학대학에서 교양필수 교과목으로 지정되어 있다.[18] 학교에 따라 교육 과정의 편차가 있지만 주로 1학년 2개 학기에 걸쳐 배우게 되며, 이공계 대학 1학년 과정의 가장 핵심적인 교과목 중 하나를 담당하고 있다. 보통 미분적분학이라는 이름으로 개설이되지만, 대학수학, 일반수학, 기본수학 등 학교에 따라 명칭은 다를 수 있다.[19] 교양과목 특성상 이공계 소속 교수들 아무나 미적분학을 가르칠 수 있으나, 보통은 수학과 교수가 가르친다.
2학년이 되면 미적분학을 기본 지식으로 전제하고 논의를 전개하는 과목들을 배우게 되는데, 이때 배우는 수학들은 미분적분학의 연속이기는 하나, 해당 과목명 혹은 미분방정식 등의 독자적인 명칭으로 인식되는 경우가 많고, 그렇기에 각 학과별로 내용 전개가 상이하다. 수학과에서는 미적분학의 기초를 엄밀하게 따지는 해석학을 배우며 수학적 논증의 방법론을 익히게 된다. 물리학과에서는 물리학 이론에서 자주 사용되는 수학적 방법과 특수함수에 대해 다루는 수리물리학을 배우고, 공대의 경우 공학적 문제 해결을 위한 수학 지식을 빠르게 익히기 위해 공업수학을 배운다.
경제학에서는 학부과정에서도 전통적으로 미분은 반드시, 적분도 간혹 요구된다. 그러나 고등학교 7차교육과정에서 미분과 적분이 문과에게 선택으로 들어감에 따라 상과대학에서도 경제수학, 경영수학 등으로 불리는 미분적분을 중심으로 하는 기본적인 수학과목을 개설 및 필수지정하는 경우가 많다. 학교마다 교육과정은 아예 다르지만 상위권 대학에서 많이 쓰는 Chiang의 교재를 기준으로 보면, 선형대수학 기초, 초월함수 기초[20], 미분적분학 기초, 미분방정식 기초 등으로 구성되어 있으며, 최적화(경영과학/OR) 과목을 위한 선행 과정 성격으로 만들어져 있다.
4.2.1. 교재[편집]
대학교에서 미적분학을 다루는 교재로는 아래 책들이 유명하다.
- 미적분학: Stewart, Thomas[21], Larson[22], Spivak[23], Apostol[24], Salas·Hille·Etgen[25], Thompson
- 수리물리학: Boas
- 공업수학: Kreyszig, Zill
아래는 국내에서 유명한 몇몇 미분적분학 교재들에 대한 특징을 정리한 것이다.
1. 스튜어트 미분적분학 - 저자: James Stewart
- 번역판: 미분적분학(경문사), 스튜어트 미분적분학(북스힐)
- 원서: Calculus: Early Transcendentals, Calculus[26]
번역판과 원서의 구매 링크를 달아 놓은 것은 가장 최근에 나왔고 유명한 번역판과 원서를 헷갈리지 않고 구매하기 위함이다. 다만 자신의 학교에서 쓰는 미분적분학 책은 같은 스튜어트 저자지만, 제목이 다른 경우가 있으므로 꼭 확인하고 구매해야 한다.[27]
- 천조국판 수학의 정석으로 불리며, 가장 유명하고 가장 많이 사용되는 책이다. 독보적인 베스트셀러답게 매우 잘 쓰여진 책이다. 특히 실질적으로 미분적분학을 배우는 수요의 대부분을 차지하는 공대생, 그리고 자연대생들의 교육 목적에 적합하게 잘 구성되어 있다. 이 점이 이책이 베스트셀러가 된 이유 중 하나이기도 하다. 현재 우리나라 상위권 대학 이공계의 다수가 스튜어트의 책을 사용하고 있는 것으로 보인다.
- 스튜어트 책을 쓰지 않는 학교의 경우 다른 원서 교재를 쓰는 경우는 드물고 대개는 자체 교수진의 교재를 사용한다.
- 스튜어트의 미적분학은 책 두께에서 알 수 있듯이 대학교 1학년에 공부하기에 내용과 분량이 만만치 않게 방대하다. 책 분량이 두꺼운 만큼 다른 미적분학 책에 비해 다양하고 세세한 내용을 다루고 있다. 때문에 스튜어트 책으로 배우는 학교라 하더라도 여기서 어느정도 내용을 덜어내서 배우는 경우도 많다. 스튜어트 역시 교육 현장의 이런 니즈와 요구를 많이 들어서인지, Essential Calculus, Calculus - Concepts and Contexts 등 내용과 난이도를 줄인 여러 가지 버전을 내놓았고, 이 교재들 또한 우리나라를 포함하여 세계적으로 많이 사용되고 있다. 이 책들도 원래 교재에서 어려운 부분을 덜어낸 것인데, 국내 번역본들 중에서는 여기서 내용을 더 빼고 축약해서 낸 버전들도 있다.
- 고등학교 과정에 있는 내용도 들어있지만, 이 부분은 다 배우고 왔다는 전제 하에 대부분의 교수들이 개념설명만 하고 바로 다음 챕터로 넘어간다.
- 저자는 홍성대처럼 죽기 전 이 책으로 벌어들인 돈으로 호화로운 집과 기념 빌딩을 지었다.
- 스튜어트 미분적분학 한국어 번역판의 경우 극곡선 개형 설명 중에 빠진 내용이 너무 많다. 어려운 문체는 없으니 International 버전의 영어 원서로 읽는 것이 편하며, 국내에서도 워낙 쓰이는 빈도가 높아 중고 원서책이 한국내에 많이 돌아다니므로 싸게 구할 수 있다.
- 스튜어트 미분적분학 번역판들 대부분은 원서의 각 챕터 마지막에 위치한 Problems Plus가 없다. 한국 대학의 특성상 각 절마다 있는 연습문제도 다 풀지 않는 경우가 대부분이므로 번역에서 제외된 듯하다.
- 연세대학교의 경우 'Stewart Calculus: Early Transcendentals Yonsei ver.'이라고 하여, 기본 베이스는 Stewart 교재의 공대특화 버전인 Early Transcendentals와 거의 비슷하지만 구성이 좀 다른 교재를 사용한다. 학교 내에서 판매하며 물론 외부인도 구매할 수 있다. 이과대+생명대+의과대 등의 1학년들이 수강하는 '미분적분학과벡터해석 1, 2'와 공대 1학년 학생들이 수강하는 '공학수학 1, 2'의 교재로 사용된다.[28] 두 과목의 이름은 다르나 배우는 내용은 같다. 그리고 이과대에서는 2학년 전공 공통과목으로 수학과에서 개설하는 고등미적분학이라는 과목을 배운다.
- 성균관대학교도 Stewart의 Calculus 8판을 자체적으로 커스텀한 Calculus: Early Transcendentals for Scientists and Engineers, Metric Version를 사용하고 있다.
- 건국대학교 또한 상기한 성균관대학교의 경우와 비슷하게 8판 커스텀을 교내 서점에서 판매한다. 다만 수업을 듣는 데에는 다른 버전도 무리가 없는 편.
2. 토마스 미분적분학 - 저자: Thomas, Hass, Heil, Weir
번역판: Thomas 미분적분학[29]
원서: Thomas' Calculus, Early Transcendentals, Thomas' Calculus
- 몇 년 전만 해도 Stewart와 양대산맥 정도의 위상을 가지고 있었지만, 최근에는 Stewart에 밀려 예전보다 인지도가 많이 떨어졌다.
- Stewart보다 수학적으로 엄밀하다는 평이 많다. Stewart에 없는 토픽이나 증명이 있는 경우가 꽤 있어 수학과에게 자주 추천되는 책이다.
- Stewart의 번역판 대부분은 원서에 있는 Problems Plus가 짤렸지만, 이 번역판은 원서의 Additional and Advanced Exercises가 짤리지 않고 그대로 번역되었다.
- 13판까지 계산 스킬이 많이 소개되어 있었다. 부분적분을 계산할 때 표를 이용하는 방법이라던지 분수꼴 적분을 계산할 때 헤비사이드 은닉법을 사용하는 방법, 바이어슈트라스 치환적분, 역함수 적분 등등 계산할 때 편리하게 사용할 수 있는 방법들이 많이 소개되어있었다. 하지만 14판으로 개정이 되면서 부분적분시 표를 이용한 방법과 헤비사이드 은닉법이 빠졌으며 점점 스튜어트화 되어가고 있다.
- 13판 번역판까지는 Early Transcendentals를 번역했지만 14판부터는 일반판을 번역했다. Early Transcendentals 버전은 타과에 도움이 되고 오리지널판은 수학과에 더 좋다. 하지만 오리지널판의 번역판인 14판은 원서에 비해 많이 칼질 당했다.
- KAIST에서 이 교재를 1학년 미분적분학 교재로 다룬다. 단 실질적인 커리큘럼은 Chapter 7. Transcendental Functions부터 시작된다.
- 이 교재의 Chapter 7. Transcendental Functions 단원의 Additional and Advanced Exercises에는 17학년도 사관학교 수학 가형 21번 문제와 완전히 동일한 문제가 실려있다. 책의 출판연도를 고려하면 당연히 이 교재가 먼저 나왔기 때문에 사관학교는 이 문제를 완전히 똑같이 베낀 것 말고는 설명이 되지 않는다. 정말 똑같이 베꼈으며 구하고자 하는 것도 완전히 똑같다.
3. 미적분학 1+, 2+ - 저자: 김홍종
- 한국어판: 미적분학 1+, 미적분학 2+
- 영어판: Calculus 1, Calculus 2
- 풀이집: 서울대 수리과학부 졸업생이 직접 만든 풀이집
- 서울대학교 자연계열 1학년 학생들이 모두 이수해야 하는 교양과목인 ‘수학 및 연습’의 교재로 쓰인다.
- 고등학교 수학을 완벽히 안다는 전제 하에 이들 내용이 상당수 빠지고[30] 급수부터 시작하며, 행렬을 강화시켜 선형대수 수준으로 만들어 놨고[31] 곡선 및 벡터해석 파트가 강화되어 있다.
- 고등학교 교육과정에 없는 엡실론-델타 논법을 이미 알고 있다고 가정하고 설명을 한다.
- 1권은 급수부터 시작하며 테일러급수, 벡터와 행렬, 곡선 순서로 전개된다. 2권은 다변수함수, 다변수함수의 미적분, 벡터미적분 순서로 전개된다. 즉, 1권이 1학기 내용이며 2권이 2학기 내용이다.
- 가격이 다른 미분적분학 책에 비해 착한 편이다. 한국어판은 각각 18000원, 영어판은 각각 19000원이다. 다른 미분적분학 책이 4만원 중후반대인 것과 학기별로 분철이 안된 것을 고려하면 괜찮은 가격이다.
- 한국어판은 쇄를 거듭하며 계속해서 수정과 내용의 첨가가 이루어지고 있지만 영어판은 꽤 오래전부터 수정판이 나오지 않는 상황이다. 그래서 한국어판에는 있지만 영어판에는 없는 내용이 종종 있다.
- 자연로그를 ln x가 아닌 log x로 표기한다.
- 다른 미분적분학 책과 다르게 적분 테크닉 부분이 없다. 삼각치환, 삼각함수 곱꼴의 적분, 분수꼴 적분, 적분 근사가 없으며 이상적분은 적분판정법 부분에서 살짝 언급한다. 이외에도 부피를 구하는 다양한 방법도 없으며 회전체의 겉넓이에 대한 내용도 없다.
- 수학을 좋아하는 사람이라면 좋아할 만한 토픽들과 여러 정리의 증명을 상세하게 실어놓았다.
- 부록에는 수학사전이 있는데 본문에서 소개하지 못한 내용들을 설명한다. 복소수, 초등함수, 로그함수, 원주율 등등 읽어보면 재밌는 토픽들이 많다.
- 아무리 서울대학교 학생이라도 대학교 1학년 학생들이 이 책을 완벽히 이해하기에는 힘든 편이다.
- 이러한 특징들 때문에 서울대생 이외에 타대생이 미적분학을 공부하는 것이 단순히 다른 분야에 응용하기 위한 테크닉을 배우기 위함이라면, 이 책 대신 위의 스튜어트 미분적분학을 보는 것이 낫다. 실용적인 계산 문제와 중요한 공식들을 알아보기 쉽게 정의하고 제시하는 건 스튜어트가 훨씬 더 나은 편이다.
- 한국인 교수의 미분적분학 교과서 중에서는 좋은 평가를 받고 있어 서울대생이 아니더라도 참고용으로 볼 만한 책으로 추천된다.
자체교재를 쓰는 학교로는 서울대학교 이외에도 이화여자대학교, 인하대학교, 단국대학교, 충남대학교, 충북대학교, 부산대학교, 한국교통대 등이 있다. 자체교제의 경우 서울대를 제외하면 스튜어트 책보다 내용이 많이 가벼워진 경우가 많다. 원래는 더 많은 학교에서 자체 교재를 냈었지만 스튜어트 교재를 채택하며 사라진 경우가 많다.
단국대학교 미분적분학 교재의 경우는 고등학교에서 배운 내용부터 시작하며, 미분적분학 전체에서 일부가 빠져 있다. 그리고 그린 정리 이후의 벡터해석의 내용이 빠져 있다. 자연과학대는 Stewart를 사용한다.
인하대학교 미적분학 교재는 수학과 교수들이 공동 집필한 교재를 사용하며, Stewart 등 다른 책에 비하여 책의 설명과 예제가 많이 간소화되어 있는 편이다.
부산대학교 미분적분학 교재는 공과대학과 자연과학대학에서 수학과 교수들이 공동으로 집필[32]한 교재를 사용한다.
숭실대학교는 자연과학대학 수학과에서 세 교수가 공동 집필한 교재를 사용한다. 자연과학대학은 '미적분학', 공과대학 및 IT대학은 '기초공학수학'이라는 이름으로 해당 강의가 개설되어 있다. 미적분학 교재들 중에서는 배우는 범위가 매우 좁은 편으로, 라그랑주 승수 및 자코비안, 선적분과 그린정리를 포함한 벡터해석학 전체가 빠져있다. 입실론-델타 논법은 가르치지만 시험에 출제하지는 않는다. 연습문제는 전반적으로 쉬우며 상당수가 계산문제에 치중되어 있다.
충남대학교는 강동오 교수를 비롯한 수학과 교수들이 집필한 자체 교재를 사용한다.
상기 교재 대부분이 외국 학자들이 쓴 책이라 어떤 교재에는 한국 고교 교과과정에서 다루고 있는 내용이 포함되어 있기도 하다. 예를 들어 Thomas, Stewart는, 현 교육과정으로는 수학Ⅱ+미적분+기하의 내용이 들어가 있다. 그렇다고 해서 이 책들로 바로 공부하는 것은 추천하지 않고, 초반부터 모든 내용이 고교 내용 전부를 배웠다는 전제 하에 전개되기 때문에 이 책으로 공부하고 싶은 고교생은 그냥 참고서(보강용)로 쓰는 게 낫다.
이하는 대학에서 배우는 (이공계) 미분적분의 주요 내용이다. 아래 중 벡터미분적분은 공업수학 내용을 다수 포함한다.
- 일변수 함수의 미분적분
- 극한과 극한의 엄밀한 정의[33]를 비롯한 해석학 기초 내용, 평균값의 정리(MVT), 미분적분학의 기본정리(FTC)Ⅰ/Ⅱ[34]
- 급수: 여러 가지 급수의 수렴판정법, 멱급수(power series)의 정의와 수렴반경, 여러 가지 함수의 멱급수, 로피탈의 정리, 근사다항식, 테일러 급수를 포함한 테일러 정리
- 해석기하학: 곡선, 매개화된 곡선의 속도/가속도 벡터, 접촉평면(osculating plane), 재매개화, 극좌표 곡선의 미분적분, 선적분(line integral)[35], 곡률(curvature), 매끄러움(smoothness), 이차곡선의 일반형과 이심률
- 다변수함수의 미분적분
- 다변수함수의 극한과 연속, 방향도함수와 그레이디언트(grad, 기울기벡터), 편미분(partial derivative)과 전미분(total derivative), 테일러 급수, 임계점 정리, 이계편도함수 판정법(헤세 판정법), 라그랑주 승수법(Lagrange multiplier method)
- 중적분: 중적분의 정의, 푸비니 정리, 중적분의 변수변환(야코비안)
- 벡터미분적분학(vector calculus)[36][37]: 극좌표계, 원통좌표계, 구좌표계, 다변수 벡터함수와 야코비 행렬, 벡터장과 선적분, 퍼텐셜함수, 전미분과 미분형식(differential form), 벡터장의 발산(div), 그린 정리[38], 곡면과 면적분·발산 정리, 벡터장의 회전(curl)·스토크스 정리
한편 경제학과나 경영학과 등에서도 경제수학/경영수학 강의 등에서 미분적분을 가르친다. 그 경우에는 주로 Chiang저나 Simon저의 경제수학 교과서를 주로 사용한다. 경제학과나 경영학과는 이공계 미분적분학(Calculus) 범위 중에서 일부[39]만 배운다.
4.2.2. 수학과에서의 애매한 포지션[편집]
현대수학은 놀랄 만큼 빠르게 성장하여 한 명의 수학자가 모든 분야를 연구하는 것은 이미 오래전 불가능해졌으며 미래의 수학은 더욱 빠른 속도로 성장할 것이 예상된다. 한편 수학의 영향력은 점차 확대되어 가고 있는데, 컴퓨터과학, 양자정보학, 금융투자, 인공지능에 이르기까지 더욱더 많은 사람들이 수학의 힘을 깨달아서 이제는 수학의 유용성에 대해서 대중에게 설명할 필요가 없어진지 오래다. 이러한 눈부신 변화는 역설적으로 수학을 배우는 학생들을 곤란하게 만드는데, 대학에서 4년을 배우고도 수학 전체의 내용을 조망하는 것이 힘들고 박사과정까지 마쳐야 겨우 자신의 연구주제에 대해 전문성을 확보할 수 있을 뿐이다. 수학 전체에 대한 시야를 확보하고, 향후 수학이 어떻게 발전할지 가늠하는 것은 수십 년에 걸쳐 꾸준히 연구해온 수학자들에게도 어려운 일이 되었다. 물리학에 관심 있는 사람들은 물리학개론, 화학은 화학개론, 생물학은 생물학개론을 읽으면 대학 신입생들도 아주 전문적인 내용은 말고라도 대체적인 흐름을 파악하는데 문제가 없고 각 학문의 현주소와 방향성을 확인할 수 있다. 수학을 제외한 이런 학문들에는 자연이 제공하는 뚜렷한 목표와 한계가 존재하며 새로운 이론은 기존의 이론을 대체하지만, 현실의 제약으로부터 자유롭고 무모순인한 계속 지식을 늘려가는 수학은 인류가 발견해낸 가장 방대하고 심오한 학문이 되어 수천 쪽의 분량으로도 그러한 시도 자체가 무의미하다.
- 김명환, 김홍종, 김영훈 著 <현대수학입문: 힐베르트 문제를 중심으로> 개정판 머리글 중
미적분학을 낭만화하는 아래의 주요 어록과 달리, 수학과의 커리큘럼에서는 다소 애매한 취급을 받는 학문이기도 하다. 경제학은 경제학원론, 회계학은 회계원리, 심리학은 심리학개론, 물화생에는 일반물리학, 화학, 생물학 커리큘럼에 의해 교양과목 수준에서도 제법 큰 숲을 바라보며 학문을 골고루 소개하는 '총론'을 가르칠 수 있지만, 일반수학의 포지션이라 할 수 있는 미적분학에서 다루는 주제는 수학의 총론이라 하기엔 너무도 협소하며 그 내용도 정의, 정리, 증명보다는 (과목 이름처럼) 계산 연습에 치중되어 있다.
수학의 '총론'을 공부할 수 있는 시기는 다비트 힐베르트가 살아있던 시절에 끝났으며, 오늘날 수학을 깊이있게 배우는 과정은 대개 총론에서 각론으로 '다듬는' 과정이라기보다는 특수하고 지나치게 좋은 조건에서 열악하지만 일반적인 조건으로의 '확장'에 가깝다. 수학과생들이 선행학습이나 독학을 제외하면 미적분학을 따로 배우지 않고 1학년부터 다짜고짜 집합론[40], 해석학개론, 선형대수학으로 머리를 두들겨맞는 3년제 유럽 대학교육도 큰 문제없이 운영[41]되는 것을 보면, 미적분학이 수학과의 전공 커리큘럼에 꼭 필요하냐에 대해 의문을 품을 수도 있다.
하지만 1학년 신입생을 자연과학대학 및 이공계열 등의 모집단위에서 세부전공을 지정하지 않은채 받는 학교도 있고 복수전공을
대개의 전공자들도 자신의 공부에서 미적분학이 '불필요'했다고까지 체감하는 사람은 극히 일부에 불과하며, 그나마도 미적분학 수강이 정말로 불필요했다기보다는 해석학이나 선형대수학 같은 전공기초 과목을 수강하려면 미적분이 선행되어야 한다는 말만 듣고 1학년이 아니라 2학년에나 주요 과목 수강을 시작하느라 2학년 때부터 일찌감치 영양가 높은 다채로운 과목을 수강할 시간을 날린 것을 후회하는 것에 가까운데[43], 이 역시 실제 저학년의 입장에서는 해석학 및 선형대수학의 커리큘럼 난이도와 별개로 군복무 등의 학업 외적인 이슈가 많이 겹치기 때문에 현실적이지는 않다.
5. 뉴턴과 라이프니츠 간의 창시자 논쟁[편집]
영국의 뉴턴과 독일의 라이프니츠는 미분적분학을 누가 먼저 창시했는지를 놓고 수십 년간 치열한 표절 공방을 벌였다. 사건은 런던의 출판업자 존 콜린스가 뉴턴의 미출간 자료 일부를 라이프니츠에게 보내준 데서 시작되었다. 뉴턴은 콜린스의 ‘배신행위’로 자신의 미분적분의 아이디어가 누출됐다고 주장했다.
뉴턴이 “라이프니츠가 내가 이미 발견한 미분적분을 도둑질했다”고 비난한 것에 반해, 라이프니츠는 “비슷한 시기에 독자적으로 발견했을 뿐”이라고 대응했다고 한다. 한편 뉴턴과 라이프니츠 외에도 영국과 대륙의 수학자들까지 가세해 서로 편을 갈라 두 사람을 응원하며 한동안 교류를 중단했을 정도였다. 다만 뉴턴의 방식보다는 여러모로 라이프니츠의 방법이 더 직관적이고 편리했기 때문에 뉴턴 방식을 애용하던 영국의 수학자들은 꽤나 고생하게 된다. 그 이유는 뉴턴의 미분 기호는 프라임을 쓰지만 라이프니츠는 [math(dx)] 기호를 썼는데 프라임 기호는 매개변수의 미분 같은 데선 사용이 어렵기 때문이다.
현재 수학계에서는 '시간 순서상 먼저 미분적분학의 개념을 발견(또는 발명)한 것은 뉴턴이고, 콜린스가 넘겨준 미분적분 자료를 보기 전에 라이프니츠도 미분적분을 독자적으로 발견했다'는 견해를 받아들이고 있다. 즉, 각자의 독자적 창시를 인정한다.[44]
6. 어록[편집]
미분적분학 발명은 바퀴나 활자 인쇄의 발명만큼 극적이고 혁명적인 효과를 가져왔으며 그야말로 중력 등 보이지 않는 것을 볼 수 있게 한 것이다. - "수학의 언어" 中
미분적분이야말로 자연을 읽는 언어이다. - 케임브리지 대학교 피터 헤인즈 교수
우주는 '미분'으로 쓰여있고, 거기서부터 우리가 필요로 하는 위치를 추출해 내는 과정을 '적분'이라 부릅니다. - 경희대학교 물리학과 김상욱 교수
7. 기타[편집]
무인 단속 카메라, 혈액의 속도, 전하와 전류, 한계비용, 컴퓨터 음악 등 다양한 현실 세계 문제를 해석하기 위한 활용이 가능하다고 하는데, 사실 어떤 기초과목이 그렇듯이 현실 세계의 문제를 2차식, 지수 로그 함수 등으로 지나치게 단순화한 문제 정도에만 의미가 있고 지금은 과학, 공학 기술이 너무 발전해 저것보다 훨씬 고도화된 수학적 모델을 가지고 있고 컴퓨터로도 어렵게 돌려야 풀 수 있는 문제만이 여러분이 직장에서 써먹을 정도로 가치가 있다. 그 전에는 과제, 시험 정도로 학습자를 귀찮게 하기만 하기 때문에 관련 전공책이나 논문, 기술 서적을 직접 읽어 수학 모델을 해석할 필요성을 느낄 정도로 성장한 후에야 진정한 가치를 깨달을 수 있을 것이다.
8. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2024-06-19 11:42:54에 나무위키 미적분학 문서에서 가져왔습니다.[1] 수학과 전공과목이다.[2] EBS 컬렉션 - 사이언스[3] 3Blue1Brown의 영상으로 시리즈로 있다.[4] 학교 내신에서 배우는 시기도 거의 마지막이며 학생들은 수능에서도 중요 과목인 수학에서 수학II를 포함한 미적분 문제를 30문제 중 최소 11문제, 과목 선택에 따라 19문제까지도 풀기 때문. 자연계열 학생들이 배우는 과목에서 비교하면 난이도가 과학탐구 II 과목 > 수학 > 과학탐구 I 과목 정도로 최상위는 아니지만 문과생들에게는 아마 미적분의 기초를 배우는 수학II가 가장 어렵게 느껴지는 과목일 것이다.[5] 실제로는 학부 이상으로 가면 대수학이 가장 어렵다는 평을 받는다. 고도의 추상화로 인해 논리력과 상상력을 극도로 요구하기 때문이다. 반면에 미적분학은 고급 과정에서도 추상화가 그렇게까지 심한 편은 아니다. 노가다가 심할 뿐[6] 단, 내신이라면 이과생에게 셋 중 최소 2과목씩은 시키기 때문에 그러면 안 된다. 문과생이라면 1과목만 공부한다.[7] 2009 교육과정부터는 그냥 '급수'라고 되어 있다.[8] 원래 이과 학생들만 배웠던 롤의 정리와 평균값의 정리가 미적분Ⅰ에 추가되면서 문과 학생들도 배우게 되었다.[9] 2014학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 문/이과 공통으로 배운다.[10] 삼각함수의 뜻과 그래프는 구 고등수학.[11] 2014학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 이과만 배운다.[12] 2015 개정 교육과정에서는 미적분에서 배운다.[13] 2015 개정 교육과정에서는 미적분에서 배운다.[14] 2014학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 이과만 배운다.[15] 위의 함수의 미분과 마찬가지로 '다항 함수'만을 다룬다. 삼각함수, 지수함수 및 기타 응용에 관한 이론은 미적분에서 배운다.[16] 2018학년도 고등학교 입학생부터 적용된다. (고1)수학을 배운 모든 학생들이 선택할 수 있는 선택과목이지만, 수능 수학 영역 필수 출제 범위인 관계로 사실상 모든 고등학생들이 배운다.[17] 2018학년도 고등학교 입학생부터 적용된다. 수학Ⅱ를 이수한 학생들이 선택할 수 있는 선택과목으로 개설되었다. 이전과 달리 한 반에 떡하니 시간표에 배치되어 있는 게 아니라 대학교 방식처럼 선택 및 학급 이동으로 이수하는 것이 도입되었는데, 학교에 따라 한 반으로 수업할 수도 있고, 이동 수업을 할 수도 있다. 15개정 이후로 문과반/이과반을 나누지 않기 때문.[18] 공과대학, 자연과학대학 대부분 학과에서 필수로 지정하는 또 다른 과목으로 일반물리학, 일반화학도 있다. 다만 일반물리학, 일반화학은 학과에 따라 필수가 아닌 경우(보통 수학과나 통계학과는 물리나 화학은 고등학교를 졸업하고 나면 배우지 않는다.)도 있으나, 미적분학은 학과 불문하고 모두 필수이다. 교양과목이므로 교양학점에 들어가지만, 실질적으로는 전공기초나 다름없다.[19] 대학마다 조금씩 달라서 어느 대학교의 공대에서는 미적분학을 따로 안 배우고 그냥 공업수학으로 퉁치는 경우도 있다. 물론 과목 이름이 미적분학인걸 배우지 않는 것뿐이지 공업수학에도 미적분학의 핵심 내용인 미분방정식 등이 들어가기에 사실상 안 배우는 곳은 없다.[20] 고등학교 이과에서 다루는 초월 함수 관련 내용[21] 전자(스튜어트)는 이공계열에서 유용하고, 후자(토마스)는 수학계열에 유용하다. 2018년 현재 두 저자 모두 세상을 떠났는데, 아직도 개정판이 나오고 있다.[22] 한국에서는 인지도가 높지 않으나, 미국에서든 스튜어트와 토마스와 함께 3대장으로 꼽히는 미적분 책이다. 스튜어트보단 더 쉽고 초심자를 위해 설명이 되어있으며, 응용에 초점을 맞췄다는 평이 있다. 학생용 문제풀이집이 무료로 제공된다는 특징도 있다. 또한 공동저자가 직접 사이트에 이론의 증명과정과 문제풀이과정을 업로드 한다는 것도 특징이다. 이와 같이 공식 사이트에서 대놓고 스튜어트와 비교할 정도.[23] 미분적분을 좀더 이론적으로 접근하는 책. 다변수 내용이 없으며 그냥 쉬운 해석학 책이라 보면 된다. 수학 전공자들이 "이론적"이라느니 "체계적"이라느니 하며 극찬하는 책중 하나다.[24] Calculus라는 이름과 다르게 미분적분뿐만 아니라 선형대수학, 미분방정식, 수치해석, 확률론이 모두 합쳐져 있는 무시무시한 책. 공대생들을 위한 책으로 추정되며, 문제 수준은 광범위한 내용에 비례하여 심히 무시무시하다.[25] 세 명 공저. 미분적분학 책 중 가장 난이도가 낮기로 유명하다. 보통 미분적분학에서 이 책을 쓰면 일변수 함수쪽을 주로 다루고, 수학과에서 전공과목으로 다변수함수론을 개설하여 뒷부분을 다룬다. 즉, 3학기 과목인 책이다.[26] Early Transcendentals와 그냥 Calculus의 차이는 초월함수를 안다고 가정하고 설명하면 Early Transcendentals, 아니면 그냥 Calculus이다. 실제로 두 권을 서로 비교해보면 설명하는 순서나 구조에 있어 차이가 꽤 있는 편이다.[27] 실제로 원서는 종류가 상대적으로 많지 않지만, 번역판은 링크를 달아둔 2개 이외에도 핵심 미분적분학, 미분적분학 바이블, 미분적분학 에센스 등등 모두 저자는 스튜어트지만 내용은 조금씩 차이가 있다.[28] 타 대학 공대가 2학년 즈음 배우는 공학수학 1, 2는 연세대에서 공학수학 3, 4로 분류되어 있다.(1차 및 2차 미분방정식, 라플라스 변환, 푸리에 급수 등)[29] 일반판인 Thomas' Calculus를 번역한 것이다. [30] 이렇게 되면 문과생 중 경제학과 지망생에게 문제가 될 수 있다. 문과는 현재 교육과정 상 초월함수의 미분적분을 배우지 않기 때문. 이 때문에 서울대에는 문과용 교양 수학 강의(인문사회계를 위한 수학)가 따로 개설되어 있다. 내용은 대체로 고교 이과 수학+α. 대체로 문과생들은 이 강의를 듣고 난 다음에 미분적분학 강의를 듣는다. 간혹 바로 선형대수학이나 해석 개론 등의 수학과 전공 과목으로 넘어가는 경우도 있다.[31] 심지어 행렬식을 정의할 때 수치적으로 계산하기 편한 여인수 전개가 아니라 수학과 3학년 현대대수학에서 나오는 치환을 이용하여 정의한다. 게다가 정기고사에서도 선형대수 교재에 있는 수준 높은 문제를 꼬아내고 영어로 번역까지 해서 내기도 한다.[32] 수학교재편찬위원회[33] 극한의 엄밀한 정의는 학과에 따라 패스하는 경우도 있다. 수학과라면 절대 피할 수 없지만, 공과대학이라면 이 정의가 딱히 필요하진 않기 때문.[34] 고등학교 시절과 달리, 대부분을 증명하고 넘어간다![35] 벡터미적분학 파트와도 연관된다.[36] David K. Cheng 교수가 썼으며 공대에서 스테디셀러로 읽히는 전자기학 교재에서는 2장을 통째로 벡터미적분학에 할애한다. 그리고 이는 이어지는 전기장·자기장 분석 과정에서 필요한 수학적 스킬을 연마시켜주는 고마운 파트다. 따라서 전기전자공학과 학생이라면 이 파트를 결코 소홀히 해서는 안 된다. 대충 건성으로 수박 겉 핥듯이 넘기면 언젠가 반드시 피를 보게 되어 있다![37] 벡터 미적분학을 다루려면 벡터란 무엇인가에 대해 먼저 다룰 필요가 있기 때문에 보통 선형대수학에서 배우는 기본적인 내용을 약간 가져와 먼저 배운 뒤 본격적으로 벡터 미적분학으로 들어가는 경우가 많다. 어느 정도까지 당겨와서 가르치느냐는 학교나 학과별로 편차가 있다. 위의 예에서 서울대나 연세대의 교과목명이 단순히 미분적분학이 아닌 까닭 중 하나도 여기에 있다. 연대 이과대의 경우 아예 벡터해석이라는 걸 교과목명에 붙여넣기도 했고.[38] 스토크스 정리를 2차원으로 사영시킨 버전이다.[39] 예를 들면 선형근사화, 편미분, 임계점, 라그랑주 승수법 등[40] 전공수학의 입장에서는 미적분학이 아니라 이 과목이야말로 진정한 수학개론이라 주장하는 사람들도 있다. 실제로 영미권의 일부 수학 교과서 중에는 저학년 집합론 수업을 위한 교재가 '추상수학입문' 같은 제목을 달고 있는 사례도 있다.[41] 단, 이런 나라에서는 고등학교에서 매클로린 및 테일러 급수나 로피탈의 정리를 배우고 경우에 따라서는 벡터미적분과 간단한 미분방정식까지도 다루는 등 중등교육 수학교과의 범위가 상당히 넓다. 이런 나라에서는 사실상 고등학교 때 미적분학을 배우고 대학에 오는 것으로 볼 수도 있다.[42] 사실 판서에 필요한만큼만 쭉 외워둔 경우가 대부분이라, 역쌍곡선함수 계산 같은 지엽적인 계산에서 실수가 나면 올바른 계산법 및 공식은 스마트폰이나 컴퓨터로 '검색'해서 찾아낸다. 하지만 그 필요한만큼만 암기해둔 것조차도 노가다급의 분량이다.[43] 수학과의 4학년 커리큘럼은 대개 3학년 때 못 들은 코어 과목을 듣거나 대학원 진도의 개론으로서 대학원생들과도 함께 듣는 커리큘럼에 가깝지만, 전공필수 코어 과목들을 일찍부터 수강한 학생들은 그래프 이론, 푸리에 해석, 프로그래밍, 수치해석, 암호학, 부호이론, 수리논리학과 철학 등 꼭 들어야 하는 코어 과목은 아니지만 나름대로 매력이 넘치고 쓸모가 있는 매니악한 주제의 강의로 학점을 채울 수도 있다. 이런 독특한 주제의 과목들을 안 들었다가 대학원에서 연구를 진행하다 난데없이 생소한 아이디어가 필요해져서 뒤늦게 공부를 하는 일이 많다. 심지어 학부생이 보기엔 대수학과는 전혀 관계가 없을 것 같은 수리통계학조차도 연구 방향에 따라 대수통계학이라는 심화학문으로 접목될 수 있고, 대수기하학과 조합론을 접목한 연구로 필즈상을 받는 허준이 같은 사례도 있을 정도라서 언제 어느 희한한 아이디어가 필요해질지는 누구도 알 수 없다. 그래서 저학년생으로서 고학년생들과 함께 수업을 듣느라 평점은 높이 못 받더라도 일찍부터 다양한 과목을 들어둬야 했다는 늙은 연구자들의 후회가 흔하다. [44] 뉴턴은 라이프니츠가 나중에 개념을 깨달았지만 먼저 발표했다고 생각해서 분노한 것이 아니라, 자신의 자료를 읽고서 깨달아놓고 마치 자신이 스스로 깨달은 것마냥 발표했다고 생각해서 분노한 것이다. 지금이야 오해라는 게 학계의 정설이지만, 당시 뉴턴 입장에서는 정말 독자적으로 깨달아낸 것인지 알 수 없었기 때문.[45] 별명이 적분이형, 미적분의 사나이이다. 미분적분은 잘해도 사칙연산은 못한다(어려운 수비는 잘하면서 쉬운 수비는 못한다)는 발언 때문에 생긴 별명.