베른하르트 리만

우크라이나의 도시에 대한 내용은 리만(도시) 문서 참고하십시오.

1. 개요[편집]

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독일의 수학자로, 카를 프리드리히 가우스와 함께 19세기 천재 수학자로 일컬어진다.

2. 생애[편집]

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10년이라는 짧은 기간 동안 수많은 수학적 업적을 남긴 인물이지만, 생전에는 꽤나 소심했다고 한다. 사람들 앞에서 잘 나서지 못할 정도였다고. 또한 만성적인 우울증도 달고 살았다. 아버지 프리드리히 베른하르트 리만(Friedrich Bernhard Riemann)은 가난한 루터교 신부였으며 어머니 샬롯 에벨(Charlotte Ebell)은 일찍 사망하여 아버지 손에 자랐다. 리만은 6남매 중 둘째.

중학 시기 이후 할머니에게 보육되다가 신부가 되기 위해 괴팅겐 대학교에 입학하였다. 그러나 자연히 어렸을 때부터 상당한 소질을 보이던 수학에 더 흥미를 가지게 되었고 스승 가우스는 아예 그가 신학적 연구를 그만두고 수학에 전념키를 권고했다. 아버지의 승인을 얻은 후, 리만은 1847년에 베를린 대학교로 옮겨 수학을 공부하기 시작했다.

수학계의 악명 높은 난제인 리만 가설을 만든 사람이기도 하다. 간결히 말하자면 소수에 규칙성이 있는가 관한 문제이다. 자세한 내용은 문서 참고. 리만이 이 가설을 증명하지 않은 이유는 논문에 나와 있다시피[1] '전체적인 논문 내용에서 별로 중요하지 않은 내용'[2] 해당이기 때문. 그러니까 수학자들은 어떻게 보면 별로 중요하지 않은 문제 때문에 수백 년 이상을 고통받고 있는 셈이다.

논문을 발표하기 전에 수없이 많은 수정과 검토를 거치는 타입이라 평생 발표한 논문이 10편도 안 된다. 대신 각 논문은 가히 최고의 논문이다. 사후 가정부가 집을 정리하다 미완성 논문들을 태워 버렸다는 사실이 여러 사람들을 안타깝게 했다.
스승인 카를 프리드리히 가우스 따라 얼마나 완벽주의자였던지, 남아 있는 리만의 자료 중 이런 계산 노가다를 한 깜지도 있었다.

겨우 마흔 살에 이탈리아 여행 중 폐결핵으로 사망했고, 독실한 크리스천이었던 리만은 부인과 주기도문을 함께 암송하고 임종했다고 한다.

3. 업적[편집]

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• 리만 기하학: 유클리드가 세운 평면 기하학의 안티테제로, 굽은 공간(곡면)에서의 도형을 연구하는 학문이다. 예를 들면, 평면에서 삼각형의 내각의 합은 180˚가 되는데, 곡면에서는 180˚가 나오지 않는다.[3]
  당장 지구본에서 북극점과 경도 0도, 경도 90도의 임의의 점을 연결하면, 삼각형은 되지만 내각의 합이 180˚를 넘음을 알 수 있다.
  일반 상대성 이론의 기술에도 사용된다.
• 위상수학의 연결성에 대한 연구를 처음 시작하였다.
• 리만 적분, 리만 합: 적분 관련 용어다. 흔히 [math(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\ dx)]를 [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f \left(a+k\frac{b-a}{n}\right) \frac{b-a}{n})]라고 표현하는게 바로 이 리만 합이다.[4]
  이 표현법은 구간내 함수값을 오른쪽 끝값으로 택할 경우다. 일반적인 연속함수에서는 왼쪽 끝값, 오른쪽 끝값, 구간내 임의의 점을 택해도 수렴값이 일치하기 때문에 편의성을 높여서 이렇게 표현하는 것.
  [5]
  보다 일반적인 리만합은 [math(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\ dx = \lim_{max(\Delta x \to 0)}\sum_{k=1}^{n}f(x_{k}^{*}) \Delta x_{k})]로 정의된다. 참고로 [math(\Delta x_{k})]의 최대값이 0이 되도록 하기 위해서는 자연스럽게 [math(n \to \infty)]가 전제되므로 해당 극한을 취해야 한다는 점은 굳이 기재하지 않는다.
  
  ([math(x_{n}^{*})]은 [math(a)]를 시작점으로 하고 [math(b)]를 끝점으로 하는 [math(x_{n} \in (a,b))]에 속하는 임의의 분할 구간 내부[6]
  즉, [math(x_{n}^{*}\in [a_{n}, a_{n+1}])]에 속하는 특정 값. 이 값을 표본점(sample point)라 부른다.)단 [math({\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}}[a_{n}, a_{n+1}]=[a,b], n\ne m \to (a_{n}, a_{n+1})\cap(a_{m}, a_{m+1})=\emptyset)]
• 코시-리만 방정식: 편미분방정식의 일종. 평면상의 정칙함수에서 정의되는 특수한 방정식이다. [math(z=x+yi)]일 때, [math(f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y))]로 [math(f(z))]의 실수부와 허수부를 각각 x, y에 대한 실함수 형태로 분리할 수 있을 경우, 각 편미분은 다음 형태로 정의된다.
  [math(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y})]
  [math(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x})]
  즉, 야코비안 형식으로 정리하면, 이 편미분은 [math({\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}}(a=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, b=\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}))]이 된다. 증명과정은 문서 참조.
• 리만 제타 함수: 제타 함수의 정의역을 확장하여 재정의한 함수로,
  [math({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}}n^{-s})]
  와 같은 형태이다. 이 함수에서 리만 가설이 제기되었다.
• 리만 사상 정리(Riemann mapping theorem) : 복소평면상의 열린 연결 집합 중에서 공집합이나 전체집합이 아니라면 단위 원판으로의 미분가능한 전단사 함수가 존재한다는 정리. 즉, 복소평면상의 열린 연결 집합 중에서 공집합이나 전체집합이 아닌 모든 집합은 서로 동등하다는 뜻이다.
• 리만 곡면: 복소평면상의 다가 함수의 모든 그래프를 아래와 같이 '하나의 곡면'으로 이어붙인 것을 말한다.

4. 여담[편집]

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• 당장 이 항목도 그렇지만 그가 남긴 리만 가설이 본인보다 더 유명해서 정작 리만 본인의 이야기에 대해선 그렇게 알려진 이야기가 없다.