벨 수
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1. 개요[편집]
Bell number
집합을 분할하는 방법의 수로, 원소의 개수가 [math(n)]인 집합을 분할하는 방법의 수에 대하여 이를 연구한 1930년대 영국의 수학자 에릭 템플 벨의 이름을 따 [math(n)]번째 벨 수라고 하며 [math(B_n)]으로 나타낸다. 베르누이 수와 표기가 완전히 같기 때문에, 혼동을 피하기 위해 사용시에는 정의를 명확히 해줄 필요가 있다.[1]
제9항까지의 값은 다음과 같다.
2. 성질[편집]
- 제2종 스털링 수 [math(S \left(n,~k \right))]와는 다음과 같은 관계가 있다.
집합론을 이용한 제2종 스털링 수의 정의가 ‘[math(n)]개의 원소로 구성된 집합을 [math(k)]개로 분할하는 경우의 수’이므로 위의 관계는 자명하다.
- [math(B_n )]은 다음과 같은 점화식을 만족시킨다.
집합 [math(\left\{1,~2, \cdots\cdots ,~n+1 \right\})]을 분할한다고 하자. 이때 각각의 분할에서는 [math(1)]을 원소로 갖는 집합이 있을 것이다. [math(1)]을 원소로 갖는 집합의 원소의 개수가 [math(k)]가 되도록 분할하는 경우의 수는 [math(n)]개 중에서 [math(1)]을 제외한 [math((k-1))]개를 고르는 경우의 수 [math(\dbinom n{k-1})]에 나머지 [math(n-(k-1))]개의 원소를 분할하는 경우의 수 [math(B_{n-k+1})]를 곱한 값 [math(\dbinom n{k-1} B_{n-k+1})]임을 알 수 있다. [math(k)]는 [math(1)]부터 [math((n+1))]까지의 값을 취할 수 있고 [math(k)]가 다른 값을 취할 때 중복되는 경우는 없으므로 합의 법칙에 의하여
3. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-11-30 14:14:32에 나무위키 벨 수 문서에서 가져왔습니다.[1] 두 개를 같이 써야 한다면 한쪽의 글꼴을 다르게 지정하기도 한다. 가령 베르누이 수를 [math(B_n)]으로 표기한다면 벨 수를 [math({\mathscr B}_n)], [math({\frak B}_n)] 같은 모양으로 표기하는 식.[2] '공집합을 분할'한다는 개념이 와닿지 않을 수 있으나, 대수적으로도 정의되는 제2종 스털링 수와의 관계에 따라 [math(n=0)]일 때에도 정의가 된다. [math(S \left( 0,~0 \right) = 1)]이기 때문.