부피

1. 개요[편집]

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Volume · 體積

공간에서 한 물체가 차지하는 양을 뜻한다. 3차원 체계에서의 크기로 정의되며, 이는 3개의 길이(너비,높이,깊이)로 표현된다는 것을 의미한다. '~을 차지하는 부분'을 이용해 비유적인 뜻으로도 쓰인다. 어감 때문에 한자어처럼 느껴지지만, 실은 순우리말이다. 요즘엔 잘 안 쓰이긴 하지만 이 말의 형용사 버전이 '부프다'인데, 무게는 안 나가지만 부피가 크다는 뜻[1]이 있으며 대표적으로 겨울옷이 있다. 한자어로는 체적(體積)이라고 하며 중국과 일본에서는 이 표현을 쓴다. 지금도 물리학 쪽이나 베테랑 교수님들은 이 표현을 많이 쓴다.

2. 상세[편집]

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단위로는 주로 리터(L)가 사용된다. cc(세제곱센티미터)나 m³(세제곱미터 혹은 입방미터)를 단위로 쓰는 경우도 있긴 하지만 어차피 1L=1000cc=0.001m³이니 크게 다른 것은 아니다. 대부분의 부피 측정 도구들은 부피 단위로 리터를 사용하고 있고 그러다보니 밀도나 농도의 단위도 g/L나 mol/L 등 리터가 쓰인다.

미국 단위계에는 부피를 표시하는 단위도 따로 있다. 단위 자체가 SI단위와 다르니 당연한 것이지만.

건축이나 산업 현장에서는 일본식 표현에서 온 단위로 '루베'(立米, りゅーべー) 또는 '누베'를 많이 사용하기도 한다. (1루베 = 1세제곱미터)

조금 더 수학적으로 바라본다면 3차원 유클리드 공간 위의 측도라고 할 수 있다. 이것을 이용하면 우리가 사는 공간의 어지간한 대상들은 부피를 모두 정의할 수 있다 또한, 길이에 대한 측도가 열린구간을 이용해 정의하는 것처럼 이 또한 열린집합[2]을 이용하여 정의한다. 더 자세한 내용은 해당 문서 참조. 다만 부피를 수학적인 성질로 정의할 수는 없다. 길이는 노름이라는 평행이동과 회전이동에 보존적인 성질을 지닌 함수로 대체할 수 있고, 넓이 역시 비슷한 함수가 존재한다는게 알려져 있는데 부피는 이게 불가능하며 수학적으로 3차원 이상의 영역을 표현하는 초부피에서 유클리드 변환을 거치더라도 불변하는 수학적 성질을 보존하는 3차원 이상의 초부피를 표현할 함수는 존재하지 않는다는게 증명되어 있다. 이를 강한 바나흐-타르스키 역설이라고 하며, 1, 2차원에서의 유클리드 변환을 모아놓은 유클리드 군이 단순하게 평행이동과 회전이동으로 구성되어 있다면, 3차원 이상에서는 여기에 평면에 대한 반사이동을 비롯한 다양한 형태가 추가되기 때문에 유클리드 군 자체가 매우 복잡해져서 발생하는 문제다.

2.1. 과학에서[편집]

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기체의 경우는 한 기체의 분자가 활동하는 범위를 부피라 정의한다. 따라서 기체를 담는 용기의 크기나 압력에 의해 그 부피가 크게 달라진다. 압력과 기체의 부피의 관계를 다루는 것이 보일의 법칙, 온도와 기체의 부피의 관계를 다루는 것이 샤를의 법칙이다. 이상기체 상태 방정식은 이들로 부터 유도해낼 수 있는데 여기서 알 수 있다시피 두 법칙도 이상 기체임을 가정할 때 성립하며 현실에서는 분자 간 인력이나 분자 자체의 부피 등으로 다소 오차가 발생한다. 자세한 것은 각 항목 참고. 이와 같이 여러 가지 과학적 법칙을 설명하는 데 필요한 물리량이다.

부피 하면 아르키메데스의 일화도 유명하다. 물이 가득찬 용기에 물체를 집어넣으면 그 부피만큼 물이 흘러넘친다는 점을 이용해 왕관에 불순물이 섞인 것을 밝혔으니. 다소 다른 곳으로 이야기가 새긴 하지만 배의 크기를 배수량으로 표현하는 것도 이와 연관되어 있다.

부피와 관련된 과학 용어들을 소개하자면 다음과 같다.

• 공극 부피(pore volume) : 토양 등 다공성 물질의 구성 고체 입자 사이의 공간의 부피
• 머무른 부피(retention volume, retentionsvolumen) : (용리액 또는 캐리어 가스가 머무른 시간)×(그 유속)
• 부피 밀도(bulk density) : 토양 등의 무게를 공극을 포함한 부피로 나눈 값
• 부피 비중(volumetric/bulk specific gravity) : 내화물의 무게를 부피로 나눈 값
• 부피 생장 : 식물이 옆으로 자라는 생장
• 부피 유동(volume flow) : 물체가 외력에 의한 부피 변화에 대하여 소성 변형되는 현상
• 부피 탄성률(bulk modulus, volumenmodul) : 부피 탄성(부피 변화에 따른 물체의 응력)의 정도를 나타내는 값으로, 압축률의 역수와 같음.
• 부피 팽창(volume expansion) : 온도 변화에 따라 물체의 부피 등이 변하는 열팽창 현상
• 부피 팽창계(volume dilatometer, volumendilatometer) : 유리 온도계와 같은 원리의, 열에 의한 부피 팽창을 측정하는 장치
• 분자 부피(molecular volume) : 분자 1몰이 차지하는 부피
• 원자 부피(atomic volume) : 원자 1몰이 차지하는 부피
• 유효 부피(sensitive volume) : 계수관에서 방사선에 감응하는 부분의 부피
• 임계 부피(critical volume) : 임계점에서 물질 1몰이 차지하는 부피
• 자유 부피(free volume) : 액체의 점성을 설명하기 위한 개념으로, 각 분자 주변의 빈 공간의 부피
• 침강 부피(sedimentation volume, sedimentvolum) : 물질이 액체에 침적될 때의 겉보기 부피
• 침전 부피법(sedimentometric analysis) : 반응 결과 생성되는 침전물의 부피를 측정하여 성분을 정량적으로 분석하는 방법

2.2. 수학 교육과정에서[편집]

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교육부가 발행한 초등 3학년 교과서에서 부피를 '들이'라고 배운다. 그러나 들이는 부피와 같은 말은 아니고, 통이나 그릇에 담을 수 있는 부피의 최댓값을 뜻한다. 참고로 7차 교육과정의 경우에는 그릇 모양의 물체를 주고 들이를 구하라고 하는 부분이 있었다. 중학교 과정에서는 각뿔, 구, 원뿔 등의 부피에 대해 배운다. 이게 여기서 끝나지 않고 고등학교 때까지 가게 된다. 정적분을 이용해서 그릇에 담긴 물의 부피를 구하거나 물이 빠져나갈 때 수위의 순간 변화량을 구하라는 식의 문제가 나온다.

그러다보니 고등학생들의 최종관문인 대학수학능력시험에서도 미적분 2에서 적분을 이용하여 도형의 부피를 구하는 문제가 출제될 수 있다. 2017학년도 대학수학능력시험에는 단면을 정사각형으로 주고 부피를 구하라고 하는 문제가 수학 가형에 등장했다. 그렇게 어려운 유형은 아니라 3점으로 나왔었다.

3. 입체도형의 부피[편집]

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평면도형의 경우 깊이(꼬인 위치의 길이)라는 개념 자체가 없기 때문에 '부피'라는 개념은 입체도형에만 적용된다.

3.1. 기본 성질[편집]

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• 한 입체도형과 다른 입체도형을 접한 형태의 도형의 부피는 각각의 도형의 부피를 합한 것과 같다. 이는 3개 이상의 입체도형을 접한 형태에서도 성립한다.
• 한 입체도형 n개를 붙여 만든 도형의 부피는 원래 도형의 부피의 n배와 같다.
• 한 입체도형 A에서 다른 입체도형 B의 형태에 해당하는 부분을 제거한 도형의 부피는 (A의 부피)-(B의 부피)와 같다.
• 한 입체도형의 가로, 세로, 높이를 각각 a, b, c배 하면 부피는 원래의 abc배가 된다. 특히 모두 a배 하면 부피는 a³배가 된다.

3.2. 기본적인 입체도형의 부피[편집]

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한 변의 길이가 a인 정다면체의 부피는 다음과 같다.

• 정사면체: [math(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12} a^3)]
• 정육면체: [math(\displaystyle a^3)]
• 정팔면체: [math(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3} a^3)]
• 정십이면체: [math(\displaystyle \frac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3)]
• 정이십면체: [math(\displaystyle \frac{5}{12}({3+\sqrt{5}})a^3=\frac{5\varphi^2}{6}a^3)][3]
  [math(\varphi)]는 황금비이다.

곡면이 있는 도형의 경우, 반지름의 길이가 r, 높이가 h라면 다음과 같다. 단, 이를 증명하기 위해서는 중적분이 필요하다.[4] (참고로 [math(\tau)]는 새원주율로 기존 원주율을 2배한 값이다.)

• 구: [math(\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\tau r^3)]
• 원기둥: [math(\displaystyle \pi r^2h = \frac{1}{2} \tau r^2h)]
• 원뿔: [math(\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{6}\tau r^2h)]
• 토러스: [math(\dfrac{\pi^2}{4}(p+q)(p-q)^2)][5]
  [math(p, q)]는 각각 정사영한 토러스의 바깥 반지름, 안쪽 반지름

3.2.1. 4차원 도형에서의 겉부피[편집]

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4차원의 정의를 보면 알듯이 입체도형을 경계로 삼는 도형이므로, 입체도형에 겉넓이가 있듯 해당 초입체도형의 겉부피를 구할 수 있다. 가령 정팔포체의 경우, 8개의 정육면체로 이루어지므로 한 변의 길이가 a인 정팔포체의 겉부피는 8a³이 된다. 한편 겉부피가 아닌 해당 도형 자체의 크기도 구할 수 있는데 부피의 범주를 뛰어넘는다는 의미로 초부피라고 한다. 초부피는 적당한 좌표공간을 만들어서 '밑입체'를 설정한 다음 4차원 축의 값을 f(x, y, z)로 표현하여 삼중적분을 이용하여 구할 수 있다.

5차원으로 가면 4차원 초부피가 겉부피가 된다.

3.3. 높이가 일정한 도형의 부피[편집]

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각기둥 같은 도형은 높이가 일정하다고 할 수 있는데, 이런 도형의 부피는 (밑면의 넓이)×(높이)의 식으로 구할 수 있다. 예를 들어 밑면이 한 변의 길이가 4인 직각이등변삼각형이고 높이가 5라면, 밑면의 넓이는 [math(\displaystyle \frac{1}{2}\times 4\times 4=8)]이므로 부피는 8×5=40이다. 원기둥의 경우에도 마찬가지로 생각할 수 있는데, 높이가 h라고 할 때 밑면인 원의 넓이가 [math(\displaystyle \pi r^2)]이므로 상술한 공식이 성립하는 것이다.

3.4. 각뿔과 원뿔의 부피[편집]

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각뿔이나 원뿔의 경우 밑면과 높이가 같은 각기둥의 부피의 1/3이다. 이는 적분을 통해 구할 수 있는데, 높이에 해당하는 축을 x축으로 놓고 높이를 h로 가정한 후 x축에 대하여 적분하면 된다. 그러면 축과 수직인 단면의 넓이를 f(x)라 할 수 있는데, 각뿔이나 원뿔에서는 f(x)의 값이 꼭짓점에서 밑면으로 갈수록 이차함수 꼴로 증가하므로 f(x)=ax²(a는 상수, 0≤x≤h)라고 할 수 있다. 각기둥이나 원기둥의 경우 밑면의 넓이는 ah²이고 높이는 h이므로 부피는 ah³이라고 할 수 있다. 각뿔이나 원뿔의 경우에는 밑면의 넓이가 각기둥과 같은 ah²이지만, 밑면이 아닌 단면의 경우는 그렇지 않으며 f(x)를 0부터 h까지 적분하면 [math(\displaystyle \frac{1}{3})]ah³이라는 결과를 얻을 수 있다. 따라서 부피의 비가 1:3이 된다.

이 방법으로 상술한 한 변의 길이가 a인 정사면체의 부피를 구하면 밑면인 정삼각형의 넓이는 [math(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}a^2)]이고 높이는 [math(\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}a)]이므로 부피는 [math(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\times\frac{\sqrt{6}}{3}a\times\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3)]가 되는 것이다.

3.5. 회전체의 부피[편집]

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회전체의 부피를 구하는 대표적인 방법으로 'Disc Method'와 'Shell Method'가 있다.

3.5.1. Shell Method[편집]

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Shell Method는 회전축을 중심으로 하는 동축 원통들로 분할하여 부피를 구하는 방법이다. 이는 a에서 b까지[6] 2πxf(x)dx를 적분한 것과 같다.[7]

3.5.2. Disc Method [편집]

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고교 과정에서 회전체의 부피를 구하는 일반적인 방법이다.
회전축을 중심으로 어떤 평면도형을 1회전시킨 도형을 회전체라고 하는데, 회전체의 부피는 적분을 통해 구할 수 있는데, x축을 회전축으로 놓고 x축에 대하여 적분하면 된다. 이때 x축에 수직으로 해당 도형을 자른 단면은 원이 되는데, 이 원의 넓이를 x축에 대하여 적분하는 것이다. y=f(x)(a≤x≤b)의 그래프를 x축에 대하여 1회전시킨 회전체의 부피는 단면의 넓이가 [math(\displaystyle \pi \{f(x)\}^2)]이므로, 회전체의 부피를 구하는 공식은 다음과 같다.
예를 들어, 상술한 구의 부피를 이 방법으로 구해 보자. 구는 원의 위쪽 절반을 1회전시킨 회전체라고 할 수 있다. 구의 중심을 원점에 놓고 반지름을 r라 하면 원을 y=f(x)의 그래프라고 할 때 함수 f(x)의 정의역은 -r≤x≤r이 되고, 원의 위쪽 절반을 식으로 표현하면 x²+y²=r²(y≥0)이고, 이를 y에 대해서 표현하면 [math(\displaystyle y=\sqrt{r^2-x^2})]이다. 이것을 위 식에 대입하여 다음과 같이 부피를 구할 수 있다.
단, 단면이 도넛 모양과 같이 '구멍이 뚫려 있는' 형태인 경우 주의해야 하는데, 이때는 겉부분의 부피에서 구멍 부분의 부피를 빼 주면 된다. 구멍 부분이 겉부분과 회전축상의 동일한 범위에 있다고 할 때, 겉부분과 구멍 부분을 회전시키기 전의 평면도형의 식을 각각 f(x), g(x)라고 하면 부피를 구하는 식은 다음과 같다.

주의할 점은, f^2-g^2 인데 (f-g)^2 로 계산하는 경우가 꽤 많다는 사실이다. 뻔한 실수같지만 자주 나오는 실수이니 대단히 주의해야 한다.

3.6. 구분구적법을 이용한 부피 구하기[편집]

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구분구적법을 이용하여 부피를 구하려면 입체도형을 일정한 높이 간격[8]으로 '잘라야' 한다. 잘린 각 도형의 밑면의 넓이와 높이, 그리고 그 개수를 식으로 나타낸 후 이들과 함께 수열의 합 공식을 적절히 이용하면 대략적인 부피의 값이 나오는데, 도형의 개수가 한없이 커진다고 가정하고 이 값의 극한을 구하는 것이다. 유한한 개수의 직육면체로 표현할 수 없는 도형의 부피를 구하는 데 이용된다고 할 수 있다.

이 방법으로 한 변의 길이가 d이고 높이가 h인 정사각뿔의 부피를 구해 보면 다음과 같다.

• 정사각뿔을 높이가 h/n인 입체도형 n개로 자른다고 가정한다.
• 각 입체도형의 밑면의 넓이를 구하기 위해서는 한 변의 길이부터 구하는 것이 편리한데, 한 변의 길이는 맨 위쪽 도형부터 d/n, 2d/n, 3d/n, ..., (n-1)d/n, d이므로 밑면의 넓이는 위쪽부터 (d/n)², (2d/n)², (3d/n)², ..., {(n-1)d/n}², d²이다. 이것을 일반식으로 표현하면 위쪽에서 k번째 도형의 밑면의 넓이는 (kd/n)²(1≤k≤n)이다.
• 각 입체도형의 높이가 h/n이므로 입체도형의 부피는 대략적으로 (kd/n)²×(h/n)=k²d²h/n³(1≤k≤n)이다. n이 커질수록 오차가 작아지고 무한히 커진다고 가정하므로 오차는 없는 것이나 다름없다.
• 입체도형의 부피를 k에 대한 식으로 보고, k에 1부터 n까지를 대입한 식을 계산한다. k²d²h/n³을 k에 대하여 정리하면 k²×(d²h/n³)이 되는데, k를 제외한 나머지는 상수로 볼 수 있으므로 k² 부분만 따로 떼어내서 1부터 n까지 계산하면 n(n+1)(2n+1)/6이 되고, 따라서 최종 결과는 n(n+1)(2n+1)/6×(d²h/n³)=(n+1)(2n+1)d²h/6n²이다.
• n이 무한히 커진다고 가정하므로 극한을 이용하면 최종 결과는 [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(2n+1)d^2h}{6n^2}=\frac{d^2h}{3})]이다.

적당히 좌표공간을 설정하여 도형의 높이가 f(x, y) 꼴로 표현되는 경우, 이 도형을 xy평면으로 정사영시킨 도형에 외접하고 각 변이 x축 또는 y축과 평행하거나 일치하는 직사각형을 설정하고 이것을 가로, 세로 각각 n등분하여 직사각형 모양으로 나누어서 각 부분의 대략적인 높이(각 부분의 중심 또는 꼭짓점 부분)를 이용하여 n이 무한히 커진다고 가정했을 때의 극한을 이용하여 부피를 구할 수도 있는데, 이것도 구분구적법의 응용이라고 할 수 있다.

예를 들어 좌표공간상에서 원점, (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)을 꼭짓점으로 하는 사면체의 부피를 구해 보자.

• 사면체를 xy평면으로 정사영시킨 도형은 원점과 (1, 0, 0), (0, 1, 0)을 지나는 직각이등변삼각형이므로, 이 도형에 외접하는 직사각형은 원점과 (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0)을 꼭짓점으로 하는 정사각형이다.
• 각 부분의 높이를 구하기 위해 높이를 나타내는 함수 f(x, y)를 정하면 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)을 지나는 평면은 x+y+z=1이므로 z=1-x-y라고 할 수 있다. 즉 f(x, y)=1-x-y이다.(단, x+y>1인 부분에는 도형이 존재하지 않으므로 높이는 0으로 한다.)
• 가로, 세로 각각 n등분하여 n²개의 직사각형으로 나누면, 한 직사각형의 가로, 세로 길이는 모두 1/n이다.
• 여기서는 각 부분에서 x, y좌표 값이 가장 큰 부분을 이용하자. x축 방향으로 가면 x좌표는 1/n, 2/n, 3/n, ..., 1 순이며, 마찬가지로 y축 방향으로 가면 y좌표는 1/n, 2/n, 3/n, ..., 1 순이다.
• f(1/n, 1/n), f(2/n, 1/n), f(3/n, 1/n), ..., f(1, 1/n), f(1/n, 2/n), ..., f(1, 2/n), ..., f(1, 1) 각각의 함숫값을 구하고 이들을 합한다. 단, 이 함숫값이 음수가 되는 경우는 0으로 한다. 여기서는 {(n-2)/n+(n-3)/n+(n-4)/n+...+1/n+0+0}+{(n-3)/n+(n-4)/n+(n-5)/n+...+1/n+0+0+0}+...+{1/n+0+...+0}+{0+...+0}+{0+...+0}이 되고, 대괄호 친 각각의 부분을 수열 공식을 이용하여 n에 대한 일반적인 식으로 바꾸면 1+2+...+n=n(n+1)/2이므로 {(n-2)(n-1)/2n}+{(n-3)(n-2)/2n}+...+2/2n={(n-2)(n-1)+(n-3)(n-2)+...+2}/2n이다. 여기서 (n-2)(n-1)+(n-3)(n-2)+...+2는 (n-2)(n-1)=n²-3n+2에 1부터 n까지 대입한 결과와 같으므로 수열의 합 공식을 이용하면 n(n+1)(2n+1)/6-3n(n+1)/2+2n=n³/3-n²+2n/3이다. 이 값을 2n으로 나누면 n²/6-n/2+1/3이 되므로 함숫값들의 합은 n²/6-n/2+1/3이다.
• 각 부분은 가로 1/n, 세로 1/n인 정사각형이므로 넓이는 1/n²이다. 함숫값과 이것을 곱하면 1/6-1/2n+1/3n²이고 여기서 n이 무한히 커진다고 가정하면 극한값은 1/6이다.

따라서 구하는 사면체의 부피는 1/6이다.

3.7. 이중적분을 이용한 부피 구하기[편집]

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위의 모든 방법을 사용했는데도 부피를 구하기 어렵거나, 조건이 맞지 않아 사용할 수 없을 때는 이중적분을 이용하여 부피를 구할 수 있다. 방법은 다음과 같다.

• 밑면과 평행하거나 일치하게 xy평면을 설정한 후 높이 z를 x, y의 함수로 나타낸다. 즉 z=f(x, y)로 하여 하나의 좌표공간을 설정한다.
• 도형이 위치한 x, y좌표의 범위를 확인한다. 이때 밑면 또는 xy평면상의 z좌표는 도형의 내부가 아니지만 밑면과 평행한 다른 평면상의 해당 z좌표는 도형의 내부가 될 수 있음에 주의하자.
• 이 범위를 식으로 나타낸다. a≤x≤b, f(x)≤y≤g(x)와 c≤y≤d, f(y)≤x≤g(y) (a, b, c, d는 모두 상수)의 2가지 꼴 중에 편리한 것을 선택하자.
• f(x, y)를 이중적분하여 부피를 구한다.

단, x, y좌표의 범위가 원이나 부채꼴 모양일 때는 극좌표로 변환하여 r(중심과의 거리), θ(x축의 양의 방향과 이루는 각)에 대한 식으로 나타내야 한다. 이때는 z=f(x, y)에서 x를 rcosθ, y를 rsinθ로 바꿔서 z=f(rcosθ, rsinθ) 꼴로 표현해야 하고, r과 θ에 대하여 적분해야 한다. 단 이때는 f(rcosθ, rsinθ)가 아니라 여기에 야코비안 r을 곱한 f(rcosθ, rsinθ)×r을 구한 범위에서 적분해야 한다.

예를 들어 다음을 해결해 보자.

직선 y=x+1과 x=1, 그리고 x축과 y축으로 둘러싸인 부분에서 높이가 x+y인 도형의 부피를 구하시오.

이 경우는 회전체도 아니고, 높이가 일정하지도 않다. 구분구적법을 이용하면 되지만 그 과정이 복잡하므로 이중적분을 이용하는 것이 좋다.

• 밑면과 일치하게 xy평면을 설정한다. 높이 z는 z=x+y로 이미 주어진 상태이다.
• 도형이 위치한 x, y좌표의 범위는 0≤x≤1, 0≤y≤x+1이다.
• 이중적분을 하면 다음과 같이 부피를 구할 수 있다.

[math(\displaystyle \iint_D {f(x, y)}dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x+1}(x+y)dydx=\int_{0}^{1}\left[\left(xy+\frac{1}{2}y^2\right)\right]_{y=0}^{y=x+1}dx=\int_{0}^{1}\left(x(x+1)+\frac{1}{2}(x+1)^2\right)dx=\int_{0}^{1}\left(\frac{3}{2}x^2+2x+\frac{1}{2}\right)dx=2)]

다음을 해결해 보자.

중심이 원점이고 반지름이 1인 원의 제1사분면과 제2사분면 부분에서 높이가 x²+y²인 도형의 부피를 구하시오.

이 경우는 x, y좌표의 범위가 반원이므로 극좌표로 변환하여 부피를 구해야 한다.

• 반지름 r은 0≤r≤1, x축의 양의 방향과 이루는 각 θ의 크기는 0≤θ≤π이다.
• 높이 x²+y²는 x=rcosθ, y=rsinθ이므로 (rcosθ)²+(rsinθ)²=r²(cos²θ+sin²θ)=r²이다.
• 이중적분을 하면 다음과 같이 부피를 구할 수 있다.

[math(\displaystyle \iint_D {f(x, y)}dA=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}(r^2)rdrd\theta=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}(r^3)drd\theta=\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4}d\theta=\frac{\pi}{4})]

4. 관련 문서[편집]

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• 길이
• 넓이
• 들이
• 적분