상대론적 전자기학
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1. 개요[편집]
이 문서는 상대론적 전자기학을 초급적으로 요약한 것이다.
이 문서에서는 계량 텐서 [math(\eta_{00}=1)], [math(\eta_{11}=\eta_{22}=\eta_{33}=-1)]을 사용한다.
2. 심화 내용[편집]
자세한 내용은 상대론적 전자기학/심화 문서를 참고하십시오. 3. 로런츠 변환[편집]
자세한 내용은 로런츠 변환 문서를 참고하십시오. 4. 연속 방정식[편집]
우선 전하에 대한 연속 방정식부터 시작하고자 한다.
상대론에서는 로런츠 변환에 따라 변환되는 4-벡터를 사용하게 된다. 전류 밀도에 대한 4-벡터를 다음과 같이 정의한다.
이렇게 정의하고, 4-벡터로 나타낸 전하에 대한 연속 방정식은 아래와 같다.
5. 퍼텐셜[편집]
퍼텐셜 또한 4-벡터로 나타내게 된다.
여기서 [math(\Phi)]는 스칼라 퍼텐셜, [math(\mathbf{A})]는 벡터 퍼텐셜이다. 한편, 퍼텐셜 방정식
다음을 증명할 수 있다.
여기서 [math(\partial^{\nu}\partial_{\nu} \equiv \square)]로 쓰기도 하며, 이 연산자를 달랑베르 연산자라 한다.
5.1. 로런츠 게이지[편집]
위 퍼텐셜 방정식에서는 로런츠 게이지
가 사용되었고, 로런츠 게이지 또한 4-벡터 형식으로 나타낼 수 있다.
6. 전자기장 텐서[편집]
전기장과 자기장은 퍼텐셜과 다음과 같은 관계에 있다.
이때,
라는 텐서 [math(F^{\mu \nu})]를 정의하게 되는데, 각각의 성분을 구해보면 다음과 같은 꼴을 가지게 된다.
보는 것 처럼 이 텐서는 차수가 2인 반대칭 텐서이며, 전기장 성분과 자기장 성분을 함께 가지고 있다. 이 텐서를 전자기장 텐서(electromagnetic field tensor)라 한다. 반대칭 텐서는 듀얼 텐서(dual tensor)가 존재하며,
로 구할 수 있다. 여기서 [math(\varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta})]는 4차원 레비-치비타 기호이다. 또한
이다. 따라서
전자기장 텐서의 더 많은 성질을 확인하려면 이곳(영어)를 읽어보라.
7. 맥스웰 방정식[편집]
위의 텐서에서
으로 쓸 수 있다. 이 식을 사용하면 가우스 법칙과 맥스웰-앙페르 법칙을 얻을 수 있다. 또, 위 텐서의 듀얼 텐서에서
으로 쓸 수 있으며, 이를 통해 자기 가우스 법칙과 패러데이 법칙을 얻는다. 따라서 맥스웰 방정식의 텐서 형태는
이다.
또 하나의 흥미로운 항등식이 있는데, 이는 두 번째 식과 동치이다.
[math(\displaystyle \partial_\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} + \partial_\lambda F_{\mu \nu} = 0 )]
단, 여기서 [math(\mu \neq \nu \neq \lambda \neq \mu)]이다.
7.1. 진공해[편집]
진공([math(J^{\mu} = 0)])에서 맥스웰 방정식
은 파동 해를 갖는다. 즉 [math(A^{\mu} = C^{\mu}e^{iS})]라 둘 수 있다. 이 때 [math(S)]는 파동의 위상(phase)이고, [math(C^{\mu})]는 각 점에서 [math(A^{\mu})]에 나란한 상수 벡터이다. 이를 맥스웰 방정식 및 로런츠 게이지에 대입하면
으로부터
를 각각 얻는다. 여기에서 [math(k_{\mu} = \partial_{\mu}S)]를 파동 벡터(wave vector)라 정의한다. [math(k^{\mu})]는 [math(S)]가 상수인 곡면(surface)들에 수직이다. [math(\partial_{\mu}S\partial^{\mu}S = 0)]으로부터,
이므로 [math(k^{\mu})]는 null 벡터이며, 진공에서 이 곡면들은 null 벡터에 수직임을 알 수 있다. 이러한 곡면을 null hypersurface라 부른다. 이 파동은 빛의 속력으로 나아간다.
[math(\partial_{\mu}S\partial^{\mu}S = 0)]을 다시 미분하면
임을 알 수 있다. 이로부터, [math(k^{\mu})]의 적분 곡선은 null geodesics임을 알 수 있다. 따라서, 광학적으로 광선(light ray)은 null geodesics로 간주할 수 있다. 또한, 파동의 진동수는 특정 관찰자의 속도를 [math(u^{\mu})]라 하면 다음과 같이 구할 수 있다.
한편, [math(k^{\mu})]를 상수 벡터장이라 두어 [math(k^{\mu} = (\omega,\, k_x,\, k_y,\, k_z))]라 설정할 수 있다. (국소적으로는 언제나 이와 같이 해석할 수 있다.) 이 때, [math(k_{\mu} = \partial_{\mu}S = (\omega,\, -k_x,\, -k_y,\, -k_z))]로부터
를 얻는다. 여기에서 [math(\bold k = (k_1,\, k_2,\, k_3))], [math(\bold x = (x,\, y,\, z))]라 두었다. 따라서, 파동 해는
라 정리할 수 있다. 이것을 평면파(plane wave) 해라고 하며, 푸리에 해석에 따르면 공간 상의 영역을 나아가면서 [math(k_{\mu})]의 변화가 충분히 작아졌다면 해는 일반적으로 평면파의 중첩으로 표현할 수 있다.
8. 로런츠 힘[편집]
상대론적으로 나타낸 로런츠 힘은 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle K^{\mu}=q \xi_{\nu} F^{\mu \nu} )]
여기서 [math(\xi_{\nu})]는 전하 [math(q)]의 고유 속도이다.
이것을 이용하면 상대론적 로런츠 힘(의 공간 성분)을 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{K}=\gamma q (\mathbf{E}+\mathbf{u} \boldsymbol{\times } \mathbf{B}) )]
이상에서 민코프스키 힘과 힘의 관계를 사용하면
[math(\displaystyle \mathbf{F}=q (\mathbf{E}+\mathbf{u} \boldsymbol{\times } \mathbf{B}) )]
로 고전적인 로런츠 힘으로 환원된다.
9. 장의 변환[편집]
좌표계에 따라 장이 어떻게 관측되는지 알아보자.
관성계 [math(\mathcal{O})]에 대해서 [math(+x)]의 방향으로 [math(v)]의 속력으로 상대적으로 운동하는 관성계 [math(\bar{\mathcal{O}})]를 고려하자. [math(\mathcal{O})]에서 측정한 물리량에는 아무런 표기를 하지 않을 것이고, [math(\bar\mathcal{O})]에서 측정한 물리량은 bar([math(\bar{\,\,\,})])를 붙일 것이다.
[math(\mathcal{O})]에서 전기장 [math(\mathbf{E})], 자기장 [math(\mathbf{B})]를 관측했다고 하자. 그렇다면 [math(\bar{\mathcal{O}})]에서는 어떻게 관측되는가?
이때, 전자기장 텐서를 사용한다. 해당 텐서는 다음과 같은 변환을 만족한다.
[math( \bar{F}^{\mu \nu}=\Lambda^{\mu}_{ \,\,\alpha}\Lambda^{\nu}_{ \,\,\beta}F^{\alpha \beta} )]
여기서 [math(\Lambda^{\mu}_{ \,\,\alpha})]는 다음과 같이 로런츠 변환을 기술하는 텐서이다.
[math( \Lambda^{\mu}_{ \,\,\alpha}=\begin{bmatrix}
\gamma & -\gamma \beta & 0 &0 \\
-\gamma \beta & \gamma & 0 &0 \\
0 &0 & 1 &0 \\
0& 0& 0 & 1
\end{bmatrix} )]이것을 이용하면 다음을 얻을 수 있다.
[math(\begin{aligned} \bar{E}_{x} &= E_{x} \\ \bar{E}_{y} &=\gamma (E_{y}-vB_{z}) \\ \bar{E}_{z}&=\gamma(E_{z}+v B_{y}) \\ \\ \bar{B}_{x}&=B_{x} \\ \bar{B}_{y}&=\gamma \biggl(B_{y}+\frac{v}{c^2}E_{z} \biggr) \\ \bar{B}_{z}&=\gamma \biggl(B_{z}-\frac{v}{c^2}E_{y} \biggr) \end{aligned} )]
벡터 형식으로 나타내면 장의 변환은 다음과 같음을 얻는다.
[math(\begin{aligned} \mathbf{\bar{E}}_{\parallel}&=\mathbf{E}_{\parallel} \\ \mathbf{\bar{E}}_{\perp}& =\gamma (\mathbf{E}_{\perp}+\mathbf{v} \times \mathbf{B}_{\perp}) \\ \\ \mathbf{\bar{B}}_{\parallel}&=\mathbf{B}_{\parallel} \\ \mathbf{\bar{B}}_{\perp}& =\gamma \biggl(\mathbf{B}_{\perp}-\frac{\mathbf{v}}{c^{2}} \times \mathbf{E}_{\perp} \biggr) \end{aligned} )]
여기서 평행과 수직은 속도 벡터 [math(\mathbf{v})]를 기준으로 정한다.
10. 운동 방정식[편집]
특수 상대성 이론에서, 로런츠 힘은
[math(\displaystyle \frac{{\rm d}p^{\mu}}{{\rm d}\tau} = m\frac{{\rm d}u^{\mu}}{{\rm d}\tau} = qF^{\mu}_{\,\,\,\nu}u^{\nu})]
이다. 여기서 [math(\displaystyle u^{\mu} = {{\rm d}x^{\mu}}/{{\rm d}\tau})]이다.
[일반 상대성 이론에서] -
그런데, 일반 상대성 이론에서는 좌변이 텐서가 아니므로, [math(\displaystyle {{\rm d}}/{{\rm d}\tau})]가 아닌 [math(\displaystyle {D}/{{\rm d}\tau})]를 사용해야 한다. 즉,
[math(\displaystyle m\frac{D u^{\mu}}{{\rm d}\tau} = m\biggl(\frac{{\rm d}^2x^{\mu}}{{\rm d}\tau^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\frac{{\rm d}x^\alpha}{{\rm d}\tau}\frac{{\rm d}x^{\beta}}{{\rm d}\tau}\biggr) = qF^{\mu}_{\,\,\,\nu}\frac{{\rm d}x^{\nu}}{{\rm d}\tau})]
이므로
[math(\displaystyle \frac{{\rm d}^2x^{\mu}}{{\rm d}\tau^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\frac{{\rm d}x^\alpha}{{\rm d}\tau}\frac{{\rm d}x^{\beta}}{{\rm d}\tau} = \frac{q}{m}F^{\mu}_{\,\,\,\nu}\frac{{\rm d}x^{\nu}}{{\rm d}\tau})]
가 된다.
11. 관련 문서[편집]
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