선호관계

1. 개요[편집]

---

선호관계(選好關係, preference relation)란 소비자가 선택할 수 있는 임의의 두 대상 중 어떤 것을 더 좋아하는지를 표시하는 체계를 말한다. 비교 대상이 무엇이 되더라도 어떤 것이 더 선호되는지를 표시할 수 있으므로, 취향이라는 지극히 주관적인 대상을 수학적으로 엄밀하게 표시하는 경제학의 유용한 개념이다.

실제로 소비자가 선택할 수 있는 소비묶음은 너무나도 많기 때문에 소비자의 선호관계를 일일이 표시하는 것은 일반적으로 불가능에 가까운데, 수학적으로 일부 예외적인 경우를 제외하면 대부분의 선호관계를 하나의 함수로 나타낼 수 있음이 증명되어 있다. 이 함수를 효용함수(效用函數, utility function)라고 한다. 그래서 선호관계와 효용함수는 연관이 매우 깊은데, 이 문서에서는 선호관계 자체에 대해서만 설명하고 이를 함수로 나타내는 방법론은 효용함수 문서를 참고하자.

2. 강선호·약선호·무차별[편집]

---

소비자의 선호의 대상이 되는 모든 선택의 집합을 [math(X)]라 하면, 선호관계는 집합 [math(X)]의 임의의 두 원소 사이의 선호되는 순서를 표시한다. 서로 다른 두 선택 [math(x)]와 [math(y)]에 대하여 소비자가 [math(x)]를 더 선호하면 [math(x)]가 [math(y)]보다 강선호(強選好)된다고 하고([math(x)] is strictly prefered to [math(y)]), 선호하는 정도가 동일하면 [math(x)]와 [math(y)]가 무차별(無差別)[1]하다고 하며(indifferent between [math(x)] and [math(y)]), [math(x)]가 [math(y)]보다 강선호되거나 둘이 무차별하면 [math(x)]가 [math(y)]보다 약선호(弱選好)된다고 한다([math(x)] is weakly prefered to [math(y)]). 기호로는 다음과 같이 표기한다.

• 강선호: [math(x)]가 [math(y)]보다 더 나은 선택, [math(x\succ y)]
• 무차별: [math(x)]나 [math(y)]나 상관없는 선택, [math(x\sim y)]
• 약선호: [math(x)]가 [math(y)]보다 못하지 않은 선택, [math(x\gtrsim y)]

또한 다음이 성립한다.

• [math(x\nsucc y\equiv y\gtrsim x)]: [math(x)]가 [math(y)]보다 강선호되지 않으면, [math(y)]가 [math(x)]보다 약선호된다
• [math(x\nsucceq y\equiv y\succ x)]: [math(x)]가 [math(y)]보다 약선호되지 않으면, [math(y)]가 [math(x)]보다 강선호된다
• [math(\{x\nsucc y,\,y\nsucc x\}\equiv\{y\gtrsim x,\,x\gtrsim y\}\equiv x\sim y)]: 상호 비강선호, 상호 약선호, 무차별은 같은 의미이다

그래서 강선호나 약선호 중 하나만을 이용해도 모든 선호관계를 제대로 표시할 수 있다.

3. 공리[편집]

---

• 완전성(完全性, completeness)
• 이행성(移行性, transitivity)
• 반사성(反射性, reflexity)
• 연속성(連續性, continuity)

완전성과 이행성을 만족시키는 선호관계를 합리적 선호관계(合理的 選好關係, rational preference relation)라고 한다. 모든 선택을 모아놓은 집합 [math(X)]가 유한집합이면 합리적 선호관계를 효용함수로 나타낼 수 있음이 수학적 귀납법으로 증명된다. 그러나 [math(X)]가 무한집합이면 이것만으로는 충분하지 않고 추가로 연속성을 만족시켜야 한다. 따라서 [math(X)]가 무한집합이면 이 합리적 선호관계는 효용함수로 나타내어지기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다.