수열
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선형대수학에서 말하는 열(列)에 대한 내용은 행렬(수학) 문서 참고하십시오.1. 개요[편집]
數列 / sequence
자연수 집합(또는 양의 정수 집합)을 정의역으로 갖는 함수. 쉽게 말하자면, 수를 늘어놓고 그것에 순번을 붙이는 것이다. 늘어놓는 규칙은 있어도 되고 없어도 된다.[1] 단, 난수열은 중등교육과정에서 큰 의미가 없기 때문에 주로 규칙적으로 나열된 수열들을 다룬다. 만약 수열의 정의역이 첫 [math(n)]개의 자연수이면 유한수열이라 하며, ([math(\left<1, 6, 3, 9\right>)], [math(\left<3, 4, 7\right>)] 등), 수열의 정의역이 자연수인 경우 무한수열이라 한다. ([math(\left<1, 2, 3, 4,\ldots\right>)], [math(\left<1, 3, 5, 7,\ldots\right>)] 등).
초등학교 수학에서는 뛰어 세기, 규칙과 대응 등으로 수열을 익히기 위한 첫걸음을 뗀다.
2. 상세[편집]
2.1. 정의[편집]
일반적으로 함수를 나타내는 기호는 주로 [math(f,g,h)]를 많이 쓰지만, 수열의 경우 [math(a,b,c)] 등을 주로 사용한다.수열 [math(a)]이란 정의역이 순서수(ordinal number) [math(\alpha\in \bold{ON})]인 함수를 말한다.
[math(a:\alpha\to S)]
정의역이 유한 순서수([math(n)] 이하의 자연수의 집합)이면 유한수열, 가산 무한 순서수(자연수 집합)이면 무한수열이라고 하며, 일반적으로 순서수 [math(\alpha)]가 정의역이면 [math(\alpha-)]수열([math(\alpha-)]sequence)이라고 한다. 자연수 집합 뿐만 아니라, 순서수라면 자신의 원소를 정렬하여 나타낼 수 있기 때문에, 정의역이 비가산 무한 서수일 때도 수열이라고 할 수 있다. 이 문서는 물론 정의역이 가산집합일 때(유한수열과 무한수열) 위주로 작성되었다.[2]
공역이 정수이면 정수열, 유리수면 유리수열, 실수면 실수열, 복소수면 복소수열, 위상 공간이면 점렬, 함수 공간이면 함수열, 집합족이면 집합렬 등으로 부를 수 있다.
실함수에서 다변수 함수가 있듯 수열에서도 이중수열, 삼중수열 등을 정의할 수 있다.
[math(n)]개의 순서수 [math(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})]에 대하여, [math(n)]중 수열은 정의역이 [math(\alpha_{1}\times\cdots\times\alpha_{n})]인 함수를 말한다.
[math(a:\alpha_{1}\times\cdots\times\alpha_{n}\to S)]
[math(n=2)]이고, [math(\alpha_{1})], [math(\alpha_{2})]가 모두 유한 순서수이면, 함수 [math(A:\alpha_{1}\times\alpha_{2}\to S)]를 행렬이라고 한다. 무슨 말이냐면, [math((i,j)\in\alpha_{1}\times\alpha_{2})]에 대응하는 항을 [math(i)]행 [math(j)]열의 성분으로 적으면 된다.
2.1.1. 일반항[편집]
수열의 항은 정의역의 특정한 원소에 대응하는 함수값을 의미한다. 수열의 일반항은 수열의 함수식을 뜻한다. 즉, 정의역의 원소와 그에 대한 함수값의 관계를 식으로 표현한 것이다. 일반적으로 수열의 일반항의 독립변수는 [math(x)]대신 [math(n)], [math(m)], [math(k)], [math(i)], [math(j)], [math(l)] 등을 주로 사용한다. 예를 들어서, 무한수열 [math(a:\mathbb{N}\to\mathbb{R})]의 일반항이 [math(a_{n}=2n-1)]로 주어지면 [math(a)]의 3번째 항은 [math(a_{3}=5)]가 된다.
2.1.2. 수열의 표기[편집]
수열 [math(a)]의 항이 [math(a_{1},a_{2},a_{3}\ldots)]으로 주어졌을 때, 이를 나열하여 수열 [math(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots)]이라고 쓰기도 한다. 혹은 괄호 [math((,))] 또는 [math(\langle, \rangle)]등을 사용하여 [math((a_{1},a_{2},a_{3},\ldots))] 또는 [math(\langle a_1, a_2, \ldots\rangle)]로 나타내기도 한다.
수열의 일반항 [math(a_{n})]이 주어지면 [math((a_{n}))], [math(\langle a_{n}\rangle)], [math(\{a_{n}\})] 등으로 나타내기도 하고, 여기에 아랫첨자와 윗첨자를 추가하여 정의역까지 나타내는 표기법도 있다. 예를 들어서 [math((2^{n}-1)_{n=0}^{\infty})]는 일반항이 [math(a_{n}=2^{n}-1)]이고 [math(n=0)]부터 시작하는 무한수열이다.
2.1.3. 부분열[편집]
수열 [math(a:\alpha\to S)]에 대하여, [math(\beta\subseteq\alpha)]인 [math(\beta)]에 대하여, 수열 [math(k:\beta\to\alpha)]가 강한 단조증가함수[3]라고 하자. 이때 합성함수 [math(a\circ k:\beta\to S)]를 [math(a)]의 부분열이라 한다. 부분열이 나오는 유명한 정리로는 '어떤 무한수열의 임의의 무한 부분수열이 [math(L)]로 수렴하면, 그 수열은 [math(L)]로 수렴한다'라는 기초 해석학의 정리가 있다.[4]
2.2. 수열의 귀납적 정의[편집]
수열의 귀납적 정의 문서 참고.
2.3. 생성함수[편집]
수열 [math(\{a_n\})]에 대해 생각하는 형식적인 멱급수
[math( \displaystyle A(x) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i )]
로 정의된다. 자세한 것은 문서를 참고.2.4. 수열의 합[편집]
[math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k =a_1+a_2+a_3+...+a_n)]
수학에서의 수열 [math( a_1, a_2, a_3, ... , a_n)]이 주어졌을 때 이들의 합을 시그마 기호로 나타낼 수 있다. 시그마를 쓰는 이유는 합을 뜻하는 라틴어 단어 summa의 앞글자를 땄기 때문이다. 그리스 문자 Σ는 로마자의 S에 대응되기 때문. 때문에 영어권에서는 [math(\Sigma)]라고 쓰고 sum이라고 읽는 경우가 거의 대부분이다. 비슷한 것으로 [math(\Pi)](파이)가 있는데, 이것은 곱하기 버전 (곱하기의 영문 표현인 product의 p에 대응).
- 시그마 밑에는 각 항수를 대입할 문자를 지정하고, 더하기를 시작할 첫 항을 지정한다. [math(k)]에 대한 일반항을 제1항부터 더할 것이라면, [math(k=1)]이라고 쓰면 된다. 만약 일반항에 여기서 지정한 문자가 아닌 다른 문자가 들어간다면 그 문자는 상수로 취급한다.(문자를 [math(k)]로 지정했는데 일반항에 [math(m)]이 튀어나온다거나)
- 시그마 위에는 마지막 항을 지정한다. 제[math(n)]항까지 더할 것이라면, [math(n)]이라고 쓰면 된다.
- 시그마 오른쪽에는 일반항을 써준다. 항수가 들어갈 문자는 앞에서 지정한 문자와 같아야 한다. 예를 들어 [math(n)]에 대한 수열에서 일반항이 [math(3n-2)]이고 [math(n)]에 들어가는 수가 항수라면, [math(n)] 대신에 앞에서 지정한 문자 (본 예시에서는 [math(k)])로 바꿔 써야 한다.
시그마의 일반적인 성질은 다음과 같다.
1. [math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(a_k \pm b_k\right) = \sum_{k=1}^{n}a_k \pm \sum_{k=1}^{n}b_k)] (복호동순)
1. [math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}ca_k = c\sum_{k=1}^{n}a_k)] ([math(c)]는 상수)
1. [math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}c = cn)]
어린 시절 산수를 배울 때 [math(1)]에서 [math(10)]까지 다 더하면 [math(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55)]가 된다는 사실을 발견한 적 있을 것이다. 이것이 바로 일종의 유한급수이다. 이를 급수식으로 바꿔 보면
이렇게 된다.[math( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}k)]
위의 공식을
[math( \displaystyle \sum^{n}_{k=1}k = \frac{n(n+1)}{2} )]
와 같은 일반적인 식으로 나타낼 수도 있으며 [math(\displaystyle \frac{10\times (10+1)}{2}=55)]가 나오는 것을 확인할 수 있다. 참고로 이걸 그대로 제곱하면 3차항의 합이 된다.
[math( \displaystyle k^2)]의 경우는 아래와 같다.
[math( \displaystyle \sum^{n}_{k=1}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} )]
이를 [math( \displaystyle k^c)]일 경우로 일반화한 식이 바로 파울하버의 공식이다. 자세한 것은 문서 참조.
2015 개정 교육과정에서 수열의 합은 수학1 과목에서 다룬다. 한편 [math(n)]항까지 더하는 것이 아니라 무한 개의 항을 모두 합하는 경우도 생각할 수 있는데, 이는 2015 개정 교육과정의 미적분 과목에서 다루며, 자세한 설명은 무한급수 문서를 참고할 것.
수열의 합을 적분을 이용해 나타낼 수도 있다.
증명은 급수를 각 항의 합으로 나타낸 뒤 정리해주면 된다. 4번의 경우는 너비가 1이고 높이가 [math(A(k))]인 직사각형을 모아서 그 넓이를 합하는 것을 떠올리면 쉽다.[5]생성함수 [math(A(k))]에 대해서
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} A(k) = \int_{1}^{n} A(k) \ \mathrm{d}\lfloor k \rfloor)] ([math(\lfloor k \rfloor)]는 최대 정수 함수)
자세한 설명을 담은 영상
2.4.1. 여러 수열의 합[편집]
다음은 고등학교 과정에서 흔히 나오는 수열의 합의 계산이다.
위 식들을 일반화하면 다음과 같으나 각각 [math(m=1)], [math(m=2)]인 경우에 해당하는 위 식들 말고는 계산이 지나치게 복잡하다고 하여 거의 나오지 않는다.
나아가, [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n (\sqrt{k+1}-\sqrt k))]의 경우 다음과 같이 변형된 꼴로도 종종 나온다.
또한 다음과 같은 값들은 별도로 암기하는 편이 유용하다.
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k=55)]
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k^2=385)]
2.4.1.1. 부분분수분해[편집]
위 공식을 이용하여, 변형된 수열의 합을 구하는 문제도 나온다. 다음과 같이 부분분수분해를 이용하여 식을 변형한 뒤 위의 방법대로 수열의 합을 구하면 된다.
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{3}{k(k+2)}=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac32\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+2}\right))]
2.5. 수열의 극한[편집]
자세한 내용은 수열의 극한 문서를 참고하십시오. 3. 주요한 수열들[편집]
- 등차수열: 항의 값이 일차함수와 같이 선형적인 수열
- 등비수열: 항의 값이 지수함수와 같이 지수적인 수열
- 조화수열: 각 항의 역수가 등차수열인 수열
- 계차수열: 어떤 수열의 이웃한 항 사이의 차로 구성된 수열
- 특정 함수로 정의되는 수열
- 부분군열
- 피보나치 수열: 가장 단순한 이계 동차 선형점화식을 따르는 수열로, 일반항에 황금비가 등장한다.
- 콜라츠 수열: 유명한 3n+1의 문제. 1937년에 나온 수열인데 2023년 기준으로 아직도 수렴하는지 알려지지 않은 난제 중 하나이다.
4. 기타[편집]
OEIS라는 온라인 사전 사이트가 있는데, 수학/물리학에서 다루는 여러 수열에 대해서 볼 수 있는 사이트이다.
5. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-04 10:33:02에 나무위키 수열 문서에서 가져왔습니다.[1] 규칙 없이 무한히 반복될 경우 해당 수열은 난수열(亂數列, random sequence)이라고 한다. 초월수의 숫자 배열이 대표적이다.[2] 선택공리를 받아들이면 이론상으로는 모든 집합을 정렬할 수 있으므로 함수와 수열은 사실상 같은 것이 된다. 하지만 해석학에서 하는 수열은 대다수가 정의역이 가산이고, 이산 위상이 주어질 때만 다룬다.[3] 강한 단조 함수란 함수의 정의역의 대소가 그대로 함수값의 대소로 이어지는 함수를 말한다. 즉, 강한 단조증가 함수라면 [math(x<y)]이면 [math(f(x)<f(y))]가 되며, 강한 단조감소 함수라면 [math(x<y)]이면 [math(f(x)>f(y))]가 된다.[4] 하나만 수렴하면 안 되며, 말 그대로 임의의 무한 부분수열이 전부 같은 값으로 수렴해야 한다. 예시로 '유계인 무한 수열에는 반드시 유계인 부분수열이 존재한다'라는 정리도 있는데, 이 정리에서 말하는 원래의 무한 수열이 수렴하지 않고 진동(발산)하는 경우도 있다. 예를 들어서 [math(a_n=\sin(n))]라고 하면 이 수열은 [math(\forall n \in \mathbb{N})]에 대해서 [math(-1<a_n<1)]로 유계인데, 이 수열에서는 -1이나 0, 1로 수렴하는 부분수열을 잡을 수 있기 때문.[5] 물론 쉽게 표현하자면 이렇다. 엄밀한 정의는 스틸체스 적분 문서 참조.