스큐스 수

Skewes' number

1. 개요[편집]

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남아프리카 공화국의 수학자 스탠리 스큐스(Stanley Skewes)가 제안한 수. [math(\pi(x) > \mathrm{li}(x))]를 만족하는 가장 작은[1]

저 만족하는 수들이 워낙 커서 그들 중에서는 가장 작더라도 이미 엄청나게 큰 수에 달한다. 사실 홀수 완전수만 해도 만약 존재한다면 가장 작은 것만 해도 수천 자리에 달한다.

자연수를 의미한다.

[math(\pi(x))]는 소수 계량 함수로 해당하는 1부터 x까지 존재하는 소수들의 총 개수를 의미한다. 예를 들어 π(1)=0, π(2)=1, π(3)=2, π(4)=2, π(5)=3...

[math(\mathrm{li}(x))]는 '로그 적분 함수'로 [math(\displaystyle \mathrm{li}(x) = \int_0^x \frac{1}{\ln t} dt)]로 정의되는 함수이다.

일단 이 두 함수는 다음[2]을 만족한다: [math(\pi(x) \sim \mathrm{li}(x))] 즉, [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\mathrm{li}(x)} = 1)]

로그 적분 함수가 조금 복잡해 보이지만, 어쨌거나 이 함수들은 일상적인 수 범위 및 컴퓨터로 확인할 수 있는 큰 범위의 수 내에서는 [math(\pi(x) < \mathrm{li}(x))], 즉 로그 적분 함수가 소수 계량 함수보다 더 큰 것처럼 보인다. 참고 그렇지만 1914년, 스큐스의 스승인 존 에든스너 리틀우드는 [math(x)]가 엄청나게 커지면 [math(\pi(x))]와 [math(\mathrm{li}(x))]의 대소 관계가 역전될 수 있으며, 심지어 [math(x)]를 무한히 증가시키면 그에 따라 [math(\pi(x))]와 [math(\mathrm{li}(x))]의 대소 관계도 무한히 역전을 거듭한다는 걸 증명했다.

1933년, 스큐스는 리만 가설이 참일 때 [math(\pi(x) > \mathrm{li}(x))]를 만족시키는 최초의 [math(x)]의 상한선은 [math(e)][math( ^{e^{e^{79}}})], 대략 [math(10^{10^{10^{34}}})] 이하임을 보였다. 이는 10에 0이 10³⁴개, 즉 100구 개가 있는 수를 다시 10 위의 지수로 올린, 미치도록 큰 수다. 구골플렉스도 [math(10^{10^{100}})]인데... 거기에 1955년에는 리만 가설의 가정 없이 역전이 [math(10^{10^{10^{964}}})]안에는 일어나는 것을 보였다. [math(10^{10^{10^{100}}})]을 가볍게 능가하는 수준.

이후 증명 기술의 발달로 스큐스 수는 급격히 줄어들었다. 컴퓨터의 발달로 리만 가설의 핵심인 리만 제타 함수의 해에 대해 더 자세히 연구될 수 있었기 때문. 2010년에는 [math(e^{727.95})] 정도까지 떨어졌다. 대략 317자리 정도 되는 수다.

원래는 '수학 논문에 등장하는 가장 큰 수' 타이틀을 가지고 있었지만 스큐스 수 자체가 계속 줄어들었고, 1977년에는 그레이엄 수라는 넘사벽이 등장하면서 타이틀을 뺏겼다.

2. 참고 항목[편집]

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• 소수 계량 함수
• 로그 적분 함수
• 그레이엄 수
• 큰 수