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[math(f(x)=\ln(1+x))]이라고 할 때, [math(\dfrac{k-1}n \le x \le \dfrac kn)]인 [math(x)]에 대해 [math(f'(x) = \dfrac1{1+x})]의 최솟값과 최댓값은 각각 [math(\dfrac1{1+\frac kn})]과 [math(\dfrac1{1+\frac{k-1}n})]이다. 따라서 다음 부등식이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
&\qquad \frac1{1+\frac kn} \le \frac{f\bigl(\frac kn\bigr) - f(x)}{\frac kn - x} \le \frac1{1+\frac{k-1}n} \\
\Rightarrow \quad &\frac1{1+\frac kn} \le \frac{\ln\bigl(1+\frac kn\bigr) - \ln(1+x)}{\frac kn - x} \le \frac1{1+\frac{k-1}n}
\end{aligned} )]
각 변에 [math(\dfrac kn-x)]를 곱하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle
\frac1{1+\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) \!\le \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \le \frac1{1+\frac{k-1}n} \biggl( \frac kn -x \biggr)
)]
각 변에 [math(n)]을 곱하고 [math(\dfrac{k-1}n)]부터 [math(\dfrac kn)]까지 적분하자. 적분 과정 중 참고식 [math(A)]를 사용하였다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac n{1+\frac kn} \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) \!\,{\rm d}x &\le \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac n{1+\frac{k-1}n} \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) {\rm d}x \\
\overset{A}\Rightarrow \quad \frac1{1+\frac kn} \frac1{2n} &\le \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1{2n}
\end{aligned} )]
각 변을 [math(k=1)]부터 [math(k=n)]까지 더하자.
[math(\displaystyle
\frac12 \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac kn} \frac1n \le \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac12 \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1n
)]
각 변에 [math(n\to\infty)]의 극한을 취하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac kn} \frac1n \le \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1n
\end{aligned} )]
가운데 변을 정리하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
&\sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \\
= &\sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\ln\biggl(1+\frac kn\biggr) {\rm d}x - \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\ln(1+x) \,{\rm d}x \\
= &\sum_{k=1}^n n\ln\biggl(1+\frac kn\biggr) \!\int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} {\rm d}x -\int_0^1 n\ln(1+x) \,{\rm d}x \\
= &\sum_{k=1}^n n\ln\biggl(1+\frac kn\biggr) \frac1n -n \bigl[ (1+x)\ln(1+x)-x \bigr]_0^1 \\
= &\sum_{k=1}^n \ln\biggl(\frac{n+k}n\biggr) -n(2\ln2-1) \\
= &\ln \biggl( \frac{n+1}n \frac{n+2}n \cdots \frac{n+n}n \biggr) -n\ln\frac4e \\
= &\ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \biggr) -\ln \biggl( \frac4e \biggr)^{\!n} \\
= &\ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \biggr)
\end{aligned} )]
좌변과 우변의 극한을 각각 계산하자. 계산 과정에서
정적분의 정의에 관한 식을 사용하였다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac kn} \frac1n &= \frac12 \int_0^1 \frac1{1+x} \,{\rm d}x \\
&= \frac12 \bigl[ \ln{|1+x|} \bigr]_0^1 \\
&= \frac12 \ln2 \\
&= \ln{\sqrt2} \\
\frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1n &= \frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac1{1+\frac kn} \frac1n \\
&= \frac12 \int_0^1 \frac1{1+x} \,{\rm d}x \\
&= \ln{\sqrt2}
\end{aligned} )]
따라서 위의 부등식은 아래와 같이 정리할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\ln{\sqrt2} \le \lim_{n\to\infty} \ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \biggr) \!\le \ln{\sqrt2}
\end{aligned} )]
조임 정리에 따라 다음 극한이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} \ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \biggr) \!&= \ln{\sqrt2} \\
\therefore \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} &= \sqrt2
\end{aligned} )]