입체각

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1. 개요
2. 정의
2.1. 스테라디안을 단위로 하는 경우
2.1.1. 분석
2.1.2. 폐곡면에 대한 입체각
2.1.3. 참고 거리
2.2. 평방도를 단위로 하는 경우
2.3. 평방도와 스테라디안, 라디안의 관계
3. 응용
3.1. 광학
3.2. 열역학
3.3. 전자기학
3.4. 지구과학
4. 기타
5. 관련 문서



1. 개요[편집]

solid angle ・ 立體角

입체각은 각을 3차원으로 확장한 개념으로, 각이 평면상에서 벌어진 정도를 나타내는 것처럼 입체각은 공간상에서 퍼진 정도를 나타낸다. 일반적으로 그리스 문자 [math(\Omega)](오메가)로 나타낸다.
이하 아래 서술에서 물리량에 [math(\underline{~~})](언더 바)가 그어져 있는 것은 단위가 약분된 물리량, 즉 [math(\underline\theta = \theta/{\rm rad})], [math(\underline\Omega = \Omega/{\rm sr})] 등이다.


2. 정의[편집]

스테라디안(steradian, [math(\rm sr)])을 단위로 하는 정의와 평방도(平方度, square degree; [math(\deg^2)] 혹은 [math(\degree^2)])를 단위로 하는 정의가 있다. 전자가 입체각에 차원이 없음을 단적으로 드러내는, 좀 더 엄밀한 방식이며 그래서인지 국제단위계의 유도 단위로 등록된 쪽은 스테라디안이다.


2.1. 스테라디안을 단위로 하는 경우[편집]

호도법에서 각을 정의할 때 반지름과 호의 길이를 이용한다. 즉, 호의 길이가 [math(l)]인 부채꼴의 반지름이 [math(r)]일 때, 각 [math(\theta)]는 다음과 같이 정의된다.
[math(\underline\theta=\dfrac lr)]
특히, 반지름이 1인 단위원에서 각의 수치는 결국 호의 수치와 같다.

그리고 반원에 대한 각은 아래와 같이 계산할 수 있다.
[math(\begin{aligned} \displaystyle \pi &\equiv \int^1_{-1} \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} = 2\int_0^1 \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} \\ &\Leftrightarrow \int_{-\infty}^\infty \frac{{\rm d}t}{1+t^2} = 2\int_0^\infty \frac{{\rm d}t}{1+t^2} \\ &\approx 3.14159265358979 \cdots \end{aligned})]

이와 유사하게, 반지름이 [math(r)]인 구면 위 한 영역의 면적이 [math(A)]일 때, 입체각 [math(\Omega)]는 다음과 같이 정의된다. 아래 그림을 참고하라.
[math(\underline\Omega=\dfrac A{r^2})]
파일:나무_입체각_정의.png
단위인 스테라디안([math(\rm sr)])은 라디안이 호도법의 각임을 명시하는 기능이 있는 것처럼 생략하지 않는다. 예를 들어 입체각의 측정치를 [math(\pi)]라고만 적어놓으면 이게 평면각([math(\rm\pi\,rad)])인지, 입체각([math(\rm\pi\,sr)])인지 구분이 되지 않기 때문이다.
호도법과 마찬가지로 구의 반지름이 1이라면, 입체각의 수치는 구면 위의 [math(A)]의 넓이 수치가 된다. 차원이 [math({\sf L}^2)]으로 동일한 넓이, 반지름 제곱의 비로 정의되므로 입체각은 차원이 없다.

[math(A)]의 넓이는 아래와 같은 부채꼴의 회전체에서 길이가 [math(r_0\underline\alpha)]인 호가 회전하여 얻어지는 도형의 넓이이므로 구 좌표계를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

파일:나무_부채꼴회전체_수정.png

중심각 [math(\theta)]가 [math(\theta=\alpha)]인 부채꼴에서 회전축을 중심으로 회전하는 각을 [math(\phi)]라고 하면 [math(\underline\phi)]의 범위는 [math([0,\,2\pi])]이고, [math(A)]의 미소 넓이 [math({\rm d}A)]는 두 변의 길이가 [math(r_0\,{\rm d}\underline\theta)], [math(r_0\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi)]인 사각형의 넓이 [math({r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi)]와 같다. 따라서 [math(A)]의 넓이는 [math({\rm d}A = {r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi)]를 적분한 값으로, 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}A &= \iint_A\,{\rm d}A \\&= \iint_A {r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi \\&= \int_0^{2\pi}\int_0^{\underline\alpha} {r_0}^2\sin\underline\theta\,{\rm d}\underline\theta\,{\rm d}\underline\phi \\ &= 2\pi {r_0}^2(1-\cos\underline\alpha)\end{aligned})]

정의에 따라 입체각은
[math(\begin{aligned} \underline\Omega&=\dfrac A{ {r_0}^2} \\&=2\pi(1-\cos\underline\alpha) \\&= 4 \pi \sin^2\dfrac{\underline\alpha}2 \end{aligned})]
이고 역시 입체각에 차원이 없음을 확인할 수 있다. [math(\underline\alpha=\pi)]인 경우, 즉 반원을 회전시키면 구가 되므로 구의 입체각은 [math(\rm4\pi\,sr)]이 된다. [math(\Omega = 1\,\rm sr)]이 되게 하는 각 [math(\alpha)]의 값은 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}\alpha &= \underline\alpha{\rm\,rad} \\ &= \arccos{\left(1-\dfrac1{2\pi}\right)}{\rm\,rad} \\&= 2\arcsin\dfrac1{2\sqrt\pi}{\rm\,rad} \\ &= 2i \operatorname{Log}\left( \dfrac{i}{2 \sqrt{\pi}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{4 \pi}} \right){\rm\,rad} \\ &\fallingdotseq 0.57195\,{\rm rad} \\ &\fallingdotseq 32.7705\degree\end{aligned})]
중간에 허수단위 [math(i)]와 분지 절단(branch cut)을 한 복소로그함수([math(\rm Log)])가 나오는 이유는 이 값이 환원 불능(casus irreducibilis)이기 때문이다.

나아가, 구의 겉넓이를 반지름에 대해 적분하면 구의 부피가 되듯이, [math(A)]를 반지름에 대해 적분해주면 회전체의 부피 [math(V)]가 나오는데
[math(\begin{aligned}V &= \int_0^rA\,{\rm d}r_0 \\&= \int_0^r 2\pi {r_0}^2(1-\cos\underline\alpha)\,{\rm d}r_0 \\ &= \dfrac23\pi r^3(1-\cos\underline\alpha)\end{aligned})]
위 식에서 [math(\underline\alpha = \pi)]를 대입하면 구의 부피 [math(4 \pi r^3/3)]이 나온다.


2.1.1. 분석[편집]

이제 우리는 임의의 곡면의 입체각을 구하는 방법을 알아보고자 한다. 원점을 [math(\rm O)]라고 하자.

우리는 분석에 앞서 우선 임의의 곡선에 대한 2차원 각을 구하는 방법을 간략히 알아보고자 한다. 위 내용을 잘 이해했다면, 2차원 각은 반지름이 1인 단위원에서 호의 수치와 같다는 것을 이해했을 것이다. 따라서 임의의 곡선에 대한 각은 그 곡선을 단위원의 호 상에 투사했을 때, 그 길이가 그 곡선에 대한 각이 된다. 아래의 그림을 참고하자.

파일:나무_평면각_구하는법_수정.png

그렇다면, 임의의 곡면에 대한 입체각은 결국 그 곡면을 반지름이 [math(1)]인 구면 위로 투사시켰을 때의 그 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 아래의 그림을 참고하자.

파일:나무_입체각_구하는법.png

이를 토대로 우리는 곡면 [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({\rm d}a)]를 고려하고, 이 면적소에 대한 미소 입체각 [math({\rm d}\Omega)]를 고려하자.

파일:나무_입체각_구하는법_상세_재수정.png

즉, [math({\rm d}\underline\Omega)]는 반지름이 [math(1)]인 구면 위의 영역임을 알 수 있다. [math(S)] 상의 미소 면적소 [math({\rm d}a)]를 반지름이 [math(r)]인 구면 위로 투사시킨 영역의 넓이를 [math({\rm d}a')]이라 하자. 그리고 [math({\rm d}a)]의 면적소 법선 벡터를 [math(\bf\hat n)]이라 하자. 면적소 [math({\rm d}a')]은 구면 위에 있으므로 이 면적소에 대한 면적소 법선 벡터는 [math(\bf\hat r)]이 될 것이다. 사실상 [math({\rm d}a')]은 [math({\rm d}a)]의 정사영이므로
[math({\rm d}a'={\rm d}a\cos({\bf\hat n},\,{\bf\hat r}))]
으로 쓸 수 있다. 여기서 [math(\bf(\hat n,\,\hat r))]는 두 벡터가 이루는 각이며, 각각이 단위 벡터임을 이용하면
[math({\rm d}a'=({\bf\hat n}\cdot{\bf\hat r})\,{\rm d}a)]
이고, [math({\bf\hat n}\,{\rm d}a\equiv{\rm d}{\bf a})]이므로
[math({\rm d}a'={\bf\hat r}\cdot{\rm d}{\bf a})]
로 쓸 수 있다. 그런데 닮음에 의해
[math( \begin{aligned} {\rm d}\underline\Omega&=\dfrac{{\rm d}a'}{r^2}\\&=\dfrac{{\bf\hat r}\cdot{\rm d}{\bf a}}{r^2} \end{aligned})]
로 쓸 수 있으므로, 곡면 [math(S)]에 대한 입체각은
[math(\displaystyle \underline\Omega=\iint_S\frac{{\bf\hat r}\cdot{\rm d}{\bf a}}{r^2})]
로 구할 수 있다. 참고로 위 식은 점 [math(\rm O)]가 원점이 아니라도 성립한다. 예를 들어 [math(\bf v)]가 원점에서부터 [math(\rm O)]까지의 위치 벡터라면, [math(\bf r\to r-v)]이므로
[math(\displaystyle \underline\Omega=\iint_S\frac{({\bf r-v})\cdot{\rm d}{\bf a}}{|{\bf r-v}|^3})]
도 성립한다.


2.1.2. 폐곡면에 대한 입체각[편집]

파일:namu_soild_angle_5.png

폐곡면에 대한 입체각을 구할 때는 기준이 되는 점 [math(\rm O)][1]의 위치를 주의해야 한다.(위 그림 참조)

폐곡면 [math(S)] 내부에 점 [math(\rm O)]가 있다고 해보자. 폐곡면의 면적을 단위구의 표면으로 투사시킨다면 단위구 전체를 매워쌀 수 있을 것이므로, 계산해보지 않더라도 그 입체각은 단위구 전체의 면적과 같다는 것을 알 수 있다. 즉,
[math(\underline\Omega=4\pi)]
이다. 그러나 [math(\rm O)]가 폐곡면 [math(S)]의 외부에 있다면 입체각은 [math(0{\rm\,sr})]이 된다. 이것은 아래와 같이 정성적으로 살펴볼 수 있다.

파일:나무_입체각_123.png

위 그림은 우리가 살펴보는 상황을 나타낸 것이다. 구면을 기준으로 폐곡면 [math(S)]는 두 부분으로 나뉘게 된다. 나뉘는 기준은 나눠진 영역에 대해 각각 전체적으로 봤을 때 면적소 법선 벡터 [math({\rm d}{\bf a})]가 양이 되는 부분(적색 영역)인지, 아니면 음이 되는 부분(청색 부분)[2]인지이다. 그런데 이 두 부분을 각각의 열린 곡면이라 생각하고 각 영역에 대한 입체각을 구해본다면, 구면에 투사된 넓이는 같으므로 입체각은 같다. 그러나, 구면을 기준으로 법선 벡터의 방향이 다르게 되고, 결국 두 기여분이 상쇄되기 때문에 입체각은 [math(0{\rm\,sr})]이 된다.[3]

나아가 점 [math(\rm O)]가 폐곡선 안에 있을 때는 구면을 기준으로 모든 면적소 법선 벡터가 '나가는 방향'으로 보이게 되므로 값이 구해진다.


2.1.3. 참고 거리[편집]

구면좌표계를 고려해보도록 하자. 반지름 [math(r)]인 구면에 대해
[math({\rm d}{\bf a}={\bf\hat r}\,r^2\sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta{\rm\,d}\underline\phi)]
임을 알고 있으므로, 반지름 [math(r)]인 구면에 대해 입체각은
[math({\rm d}\underline\Omega=\sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta{\rm\,d}\,\phi)]
로 쓸 수 있다. 따라서 구면 좌표계의 부피소를
[math(r^2{\rm\,d}r{\rm\,d}\,\underline\Omega)]
로 쓸 수 있다. 만약 적분되는 함수 [math(V(r))]이 명백히 [math(r)]에만 의존한다면, 적분항은 다음과 같이 분리될 수 있을 것이다.
[math(\displaystyle \int V(r) \cdot r^2\,{\rm d}r\int{\rm d}\underline\Omega)]


2.2. 평방도를 단위로 하는 경우[편집]

육십분법을 단위로 하는 평면각의 직교좌표계를 바탕으로, 넓이를 구하듯이 평면각을 적분하여 얻어진다.

이해하기 쉽게 말하자면 위도, 경도 방향으로 각각 [math(x\degree)], [math(y\degree)]씩 벌어져서 생기는 호 4개로 이루어진 도형[4]을 만드는 입체각은 [math(xy\,\deg^2)]이다. 따라서 [math(1)]평방도는 [math(1\degree)]씩 직교하면서 벌어진 영역의 입체각에 해당한다. 평면각 자체가 단위에 관계없이 차원이 없는 물리량이기 때문에(각 문서 참조) 평방도도 역시 차원이 없다.

예로부터 천구좌표계에 위치한 별자리의 크기를 재는 데에 이 평방도 단위가 쓰이고 있다. 평방도 값이 가장 큰 별자리는 바다뱀자리로 약 [math(1303\,\deg^2)]이며 이는 천구의 약 [math(1/32)]을 차지하는 넓이이다. 반면 평방도 값이 가장 작은 별자리는 남십자자리로 약 [math(68\,\deg^2)]이다.

구의 반지름을 [math(r)]이라고 하면, 육십분법으로 나타낸 직교하는 두 평면각 [math(z)], [math(w)]로 만들어지는 호의 길이는 각각 [math({z\pi r}/{180\degree})], [math({w\pi r}/{180\degree})]이므로, 해당 영역의 넓이 [math(A)]는
[math( \begin{aligned} A &= r^2zw\left(\dfrac\pi{180\degree}\right)^2 \\&= r^2zw\left(\dfrac\pi{180}\right)^2\deg^{-2} \end{aligned})]
이 영역의 입체각은 [math(zw)]이고 구의 겉넓이가 [math(4\pi r^2)]이므로 다음과 같은 비례식을 통해 구 표면 전체로 퍼지는 입체각의 평방도 값 [math(\Omega_{\deg^2})]을 구할 수 있다.
[math(\begin{aligned} &zw : r^2zw\left(\dfrac\pi{180}\right)^2\deg^{-2} \\ &= 1 : r^2\left(\dfrac\pi{180}\right)^2\deg^{-2} = \Omega_{\deg^2} : 4\pi r^2 \\ &\Longleftrightarrow~ \left(\dfrac\pi{180}\right)^2\deg^{-2}\Omega_{\deg^2} = 4\pi\end{aligned})]
따라서 다음과 같은 관계가 나온다.
[math( \begin{aligned} \Omega_{\deg^2} &= \dfrac{360^2}\pi\deg^2 \\ &= 41\,252.961\cdots\,\deg^2 \end{aligned} )]


2.3. 평방도와 스테라디안, 라디안의 관계[편집]

입체각이 구 표면 전체로 퍼질 때, 평방도를 단위로 하는 입체각 [math(\Omega_{\deg^2})], 스테라디안 단위로 하는 입체각 [math(\Omega)]는 각각
[math(\Omega_{\deg^2} = \dfrac{360^2}\pi\deg^2, \qquad \Omega = 4\pi\rm\,sr)]
이므로, 스테라디안과 평방도 사이에는 다음과 같은 비례식이 성립한다.
[math(\begin{aligned} \Omega_{\deg^2}/\deg^2 : \dfrac{360^2}\pi &= \Omega/{\rm sr} : 4\pi \\ \Omega_{\deg^2}/\deg^2 &= \left(\dfrac{180}\pi\right)^2\Omega/{\rm sr} \\ \therefore \Omega/{\rm sr} &= \left(\dfrac\pi{180}\right)^2\Omega_{\deg^2}/\deg^2 \end{aligned})]
좀 더 일반적으로 다음의 환산식이 성립한다.
[math(\begin{aligned} \deg^2 &= \left(\dfrac\pi{180}\right)^2{\rm sr} \\ \rm sr &= \left(\dfrac{180}\pi\right)^2\deg^2\end{aligned})]
[5] 나아가 이 관계식으로부터 라디안과 스테라디안의 관계도 도출해낼 수 있는데
[math(\begin{aligned}\rm1\,\deg^2 &= (1\degree)^2 \\&=\rm \left(\dfrac{\pi\,rad}{180}\right)^2 \\&=\rm \left(\dfrac\pi{180}\right)^2rad^2 \\&=\rm \left(\dfrac\pi{180}\right)^2 \,sr \end{aligned})]
에서 [math(\rm sr = rad^2)], 즉 라디안의 제곱이 곧 스테라디안이다.[6]


3. 응용[편집]


3.1. 광학[편집]

광선속은 점광원에서 나온 빛 다발이 공간으로 퍼진 정도를 고려한 광도로서 단위인 [math(\rm lm)](루멘)은 [math({\rm lm} = {\rm cd{\cdot}sr})]로 정의된다.


3.2. 열역학[편집]

흑체복사에서 분광 복사휘도 [math(B_\nu(\nu,\,T) = \dfrac{2h\nu^3}{c^2}\dfrac1{e^{\frac{h\nu}{k_{\rm B}T}} - 1}{\rm\,{\color{red}sr}^{-1}})]는 분광 에너지 밀도 [math(u_\nu(\nu,\,T) = \dfrac{8\pi h\nu^3}{c^3}\dfrac1{e^{\frac{h\nu}{k_{\rm B}T}}-1})]를 공간으로 퍼지는 입체각 [math(4\pi{\rm\,sr})]으로 나눠서 점광원으로 환산하고 광속 [math(c)]를 곱해서 단위 면적에 가해지는 일률(단위 [math({\rm W} = {\rm J/s})])로 나타낸 것이기 때문에 수식에 [math({\rm sr})]이 포함된다. 자세한 유도 과정은 흑체복사 문서 참고.


3.3. 전자기학[편집]

점전하의 전기장 공식
[math({\bf E}({\bf r}) = \dfrac q{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\bf\hat r}{r^2})]
혹은 위 식으로부터 얻어지는 쿨롱 법칙 등의 상수 [math(\dfrac1{4\pi\varepsilon_0})]의 [math(4\pi)]가 바로 한 점에서 공간으로 퍼지는 입체각의 수치 [math(\Omega/{\rm sr})]에서 유래된 것이다. 좀 더 정확하게는 공간으로 퍼지는 구표면적 [math(A = \underline\Omega r^2 = 4\pi r^2)]당 작용하는 선속 [math(\varPhi = \dfrac q{\varepsilon_0})]이므로 구의 표면적에서 유래했다고 보는 게 정확할 것이다.


3.4. 지구과학[편집]

지구에서 위도 [math(\varphi_1)], [math(\varphi_2)], 경도 [math(\lambda_1)], [math(\lambda_2)](단, 단위는 모두 [math(\rm rad)])로 둘러싸인 영역의 입체각을 스테라디안의 정의에서 도출한 적분식으로 구할 수 있다. 전술한 구좌표계에서 [math(\phi = \lambda)]에 대응되며 위도는 적도, 즉 [math(xy)]평면이 기준이므로 적도에서 북극 방향을 양의 방향으로 잡으면
[math(\underline\theta = \dfrac\pi2-\underline\varphi \qquad \biggl(-\dfrac\pi2\le\underline\varphi\le\dfrac\pi2 \biggr))]
이다. 따라서
[math( \begin{aligned} {\rm d}A &= r^2\sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta{\rm\,d}\underline\phi \\&= -r^2\cos\underline\varphi{\rm\,d}\underline\varphi{\rm\,d}\underline\lambda\end{aligned})]
이고 해당 영역의 넓이 [math(A)]는
[math(\begin{aligned}A &= \biggl|-\int_{\underline{\lambda_1}}^{\underline{\lambda_2}}\int_{\underline{\varphi_1}}^{\underline{\varphi_2}} r^2\cos\underline\varphi{\rm\,d}\underline\varphi{\rm\,d}\underline\lambda\biggr| \\ &= \biggl|r^2\int_{\underline{\varphi_1}}^{\underline{\varphi_2}}\cos\underline\varphi{\rm\,d}\underline\varphi\int_{\underline{\lambda_1}}^{\underline{\lambda_2}}{\rm\,d}\underline\lambda\biggr| \\ &= r^2|\sin\underline{\varphi_2} - \sin\underline{\varphi_1}
\underline{\lambda_2} - \underline{\lambda_1}|\end{aligned})]
로 주어지므로 입체각은 [math(|\sin\underline{\varphi_2} - \sin\underline{\varphi_1}||\underline{\lambda_2} - \underline{\lambda_1}|{\rm\,sr})]이 된다. 위도와 경도를 나타낼 때에는 보통 육십분법을 많이 쓰므로, [math(\varphi)], [math(\lambda)]가 육십분법 각이라고 하면 호도법의 수치로 환산했을 때 [math({\underline\varphi\pi}/{180})], [math({\underline\lambda\pi}/{180})]이므로 결과적으로 평방도 단위계에서는 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}\Omega &= {\left| \sin\frac{\underline{\varphi_2}\pi}{180} - \sin\frac{\underline{\varphi_1}\pi}{180} \right|}{\left|\frac{\underline{\lambda_2}\pi}{180} - \frac{\underline{\lambda_1}\pi}{180}\right|}{\rm\,sr} \\ &= {\left|\sin\frac{\varphi_2\pi}{180\degree} - \sin\frac{\varphi_1\pi}{180\degree} \right|}{\left|\frac{\lambda_2\pi}{180\degree} - \frac{\lambda_1\pi}{180\degree}\right|}{\rm\,rad}^2 \\ &= \frac{180\degree}\pi{\left| \sin\frac{\varphi_2\pi}{180\degree} - \sin\frac{\varphi_1\pi}{180\degree} \right|}\frac{180\degree}\pi{\left|\frac{\lambda_2\pi}{180\degree} - \frac{\lambda_1\pi}{180\degree}\right|} \\ &= \frac{180\degree}\pi{\left| \sin\frac{\varphi_2\pi}{180\degree} - \sin\frac{\varphi_1\pi}{180\degree} \right|}|\lambda_2 - \lambda_1| \end{aligned})]


4. 기타[편집]

  • 사람의 시야를 가늠해볼 수 있는 시야각 등 실생활에서 자주 떠올려볼 수 있는 개념임에도 불구하고 '고등학교 교육과정'에는 등장하지 않는다.
  • 물리학에서 선속과 관련된 물리량을 계산하다 보면 이 입체각이 등장하게 된다. 쉬운 예로, 가우스 법칙 문서를 보라.
  • 광학에서 발광 광도를 논할 때 입체각의 개념이 사용된다.
  • 입체각을 이해했다면, 어떠한 물체를 단위 구면 상에 투사했을 때의 넓이라는 것도 알 수 있을 것이다. 지구 안의 관측자 입장에서 달과 태양은 거의 같은 크기로 관측되나, 지구로부터의 거리는 매우 다른데, 그렇게 관측되는 이유는 태양과 달의 입체각이 지구 안의 관측자에게 거의 같게 관측되기 때문이다.
  • 입체각을 넘어 초입체각도 생각할 수 있다. 구를 기준으로 한 입체각의 정의를 임의의 초구로까지 확장한 것이다.

5. 관련 문서[편집]

파일:크리에이티브 커먼즈 라이선스__CC.png 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-15 06:30:15에 나무위키 입체각 문서에서 가져왔습니다.

[1] 즉, 단위 구의 중점이 되는 점[2] 사실 어디를 양의 부분이라 잡아도 상관 없다. 그러나, 명백히 두 부분이 구면을 기준으로 면적소 법선 벡터의 전체적인 방향이 다르다는 것은 사실이다.[3] 이 정성적인 분석은 사람에 따라 더 어려울 수 있다. 다만, 이해만 할 수 있다면 입체각이 [math(0{\rm\,sr})]이 될 수밖에 없음을 얻으므로 이해하려고 노력해보라.[4] 얼핏 사각형으로 투영되는 것 같지만 곡률이 있기 때문에 사각형은 아니다.[5] 맨 처음 관계식에서 좌변에 단위만 남도록 이항해주면 [math(\deg^2 = \left(\dfrac\pi{180}\right)^2{\rm sr}\,\dfrac{\Omega_{\deg^2}}\Omega)]이 얻어지는데 여기에서 [math(\dfrac{\Omega_{\deg^2}}\Omega)]은 단위가 다르다는 것을 명시하기 위한 기호일 뿐 본질적으론 동일한 입체각을 나타내는 물리량의 비이므로 [math(\dfrac{\Omega_{\deg^2}}\Omega = 1)]이 되어 단위만 남는 환산식이 얻어진다.[6] 사실 해석학적인 방법으로 구할 때에도 이 성질을 유도할 수 있다. 앞서 입체각 수치의 미소량 [math({\rm d}\underline\Omega)]에 관하여 [math({\rm d}\underline\Omega = \cfrac{{\rm d}\Omega}{\rm sr} = \sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta{\rm\,d}\underline\phi = \sin\underline\theta\,\cfrac{{\rm d}\theta}{\rm rad}\,\cfrac{{\rm d}\phi}{\rm rad})]였으므로 양변의 단위를 비교하면 삼각함수의 값은 단위가 없으므로 결과적으로 [math({\rm sr} = {\rm rad}^2)]이다.

관련 문서