시에르핀스키 삼각형

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1. 개요
2. 상세
2.1. 성질
4. 관련 문서


1. 개요[편집]

Trójkąt Sierpińskiego ・ Sierpiński 三角形

파일:나무_시어핀스키_삼각형_NEW.png
시에르핀스키 삼각형의 모습

시에르핀스키 삼각형은 폴란드의 수학자 바츠와프 시에르핀스키(Wacław Sierpiński; 1882-1969)가 창작한 프랙털 도형이다. 그의 이름을 따 '시에르핀스키 삼각형'이라고 하며, '시에르핀스키 개스킷'이라고도 한다. 간혹 영어 발음을 따라 '시어핀스키'라고도 표기한다.


2. 상세[편집]

파일:나무_시어핀스키_삼각형_단계.png

  • 1단계: 한 정삼각형의 각 중점을 이어 4등분된 정삼각형 중 가운데 1개를 지운다.
  • 2단계: 남은 3등분의 정삼각형에 대하여 1단계와 같이 행한다.
  • 이 과정을 무한히 반복한다.

2.1. 성질[편집]

아무런 조작을 하지 않은 처음의 정삼각형을 0단계라고 하자. 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'로 하자. 각 단계의 정삼각형들은 모두 합동이므로 다음이 성립한다.

분류


(정삼각형의 개수)[math(\,\times\,)](한 정삼각형의 넓이)[math(\,=\,)](정삼각형들의 총 넓이)

단계
정삼각형의 개수
한 정삼각형의 넓이
정삼각형들의 총 넓이
[math(0)]
[math(1)]
[math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4})]
[math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4})]
[math(1)]
[math(3)]
[math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{1}{4})]
[math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{3}{4})]
[math(2)]
[math(3^2)]
[math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^2)]
[math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^2)]
[math(3)]
[math(3^3)]
[math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^3)]
[math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^3)]
[math(\vdots)]
[math(n)]
[math(3^n)]
[math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^n)]
[math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^n)]

따라서 조작을 무한히 거듭한다면, 정삼각형의 개수는 무한히 많아지고, 한 정삼각형의 넓이는 0에 수렴하고, 정삼각형들의 총 넓이는 0에 수렴한다. 이는 무한대로 발산하는 수열과 0으로 수렴하는 수열의 각 항을 곱하여 나온 수열이 0으로 수렴하는 예가 된다. 흔히 말하는, [math(\infty×0)] 꼴의 부정형이 0으로 수렴하는 극한이다.

2.2. 하우스도르프 차원[편집]


[math( \displaystyle \frac{\ln{3}}{\ln{2}} \simeq 1.585)]


3. 파스칼의 삼각형과의 관계[편집]

파스칼의 삼각형에서 홀수만 색칠하면 시에르핀스키 삼각형과 유사한 모양이 나온다.#


4. 관련 문서[편집]

  • 수학 관련 정보
  • 기하학
  • 프랙털 이론
  • 시에르핀스키 사각형
  • 트라이포스[1]
파일:크리에이티브 커먼즈 라이선스__CC.png 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-05 12:25:25에 나무위키 시에르핀스키 삼각형 문서에서 가져왔습니다.

[1] 1단계 시에르핀스키 삼각형과 비슷하게 생겼다. 시에르핀스키 삼각형을 보고 이걸 떠올리는 사람도 굉장히 많다.

관련 문서