아르키메데스의 원리
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1. 개요[편집]
Archimedes' principle
수학자 아르키메데스가 찾아냈다고 하는 부력의 원리.
2. 내용[편집]
유체 속에서 물체가 받는 부력은 그 물체가 차지하는 부피만큼 해당하는 유체의 무게와 같다.
이 원리를 식으로 나타내면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{F}=-\rho V \mathbf{g} \end{aligned} )]
[math( \rho )]는 유체의 밀도, [math(V)]는 유체에 잠긴 만큼의 물체의 부피, [math(\mathbf{g})]는 중력 가속도이다. 위 식에서 [math(-)]부호가 의미하는 것은 부력이 항상 중력 가속도(혹은 이것과 같은 역할을 하는 모든 가속도)의 반대 방향, 즉 중력의 반대 방향으로 작용한다는 것을 의미한다.
예를 들어 물 안에 고무 오리가 있을 때, 고무 오리의 부피만큼의 물의 무게[1]가 부력으로 작용한다는 것이다.
또, 물체가 유체의 표면에 떠있을 때와 유체 안에 잠겨있을 때의 부력은 다르다. 목욕하다 보면 가끔 물에 뜨는 물건(가령 뚜껑 같은 것)을 억지로 가라앉히면 뜨지 않았던 경험이 있지 않은가.[2]
만약 밀도가 [math(\rho')], 부피가 [math(V')]인 물체를 밀도가 [math(\rho)]인 유체에 넣었더니, [math(V)]만큼 잠겼다고 하자. 아르키메데스 원리에 의하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \rho'V'g=\rho Vg \end{aligned} )]
[1] 질량이 아닌 무게임에 유의한다. 위 식에서 중력 가속도를 보면 알겠지만 지구와 중력 가속도가 다른 외계 행성이나 우주 공간에서는 지구와 이야기가 판이하게 달라진다는 것. 실제로 무중력 상태에선 부력이 작용하지 않아 기름과 물이 서로 섞인다. 이와 반대로, 원심분리기 같은 기계에서는 중력 가속도의 역할을 하는 구심 가속도가 매우 커서 부력이 크기 때문에 혼합물을 쉽게 분리시킬 수 있다.[2] 이 때문에 정육면체 모양의 나무 토막이 평평한 바닥의 수조에 완전히 가라앉아 있다면 부력은 작용하지 않는다. 부력은 물체의 위와 아래에서 유체의 압력차에 의해 나타나는 현상인데 바닥과 접해 있다면 물체의 아래쪽에 유체가 없으므로 물체의 위쪽 방향으로 작용하는 힘이 없다. 이를 현실에 응용해보면, 뻘에 가라앉은 배를 인양하는 경우 배에 작용하는 부력이 없어서 인양하기가 힘들다. 이 경우에는 어떻게 해서든 배 아래에 물이 있게 한 뒤에 인양해야 한다.
[math(\rho' V')]는 밀도와 부피의 곱으로 물체의 질량이 됨을 참고한다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\rho'}{\rho}=\frac{V}{V'} \end{aligned} )]
의 관계를 얻는다.
3. 관련 예제[편집]
수능 모의고사에서 출제된 아르키메데스의 원리를 명확히 이해했는지 참신하게 물어본 두 문제를 소개한다. 3점 문제이긴 하지만, 아르키메데스의 원리를 완벽히 이해했다면 복잡한 연립 방정식 세움 없이 풀 수 있다.
3.1. 예제 1[편집]
[풀이 보기] -
이 문제는 생각보다 간단하다. (나)에서 수면 위의 빈 공간의 부피는 (가)를 참조하면, [math(7V_{0}-5V_{0}=2V_{0})]이다.
(다)에서는 추가로 [math(2V_{0}+V_{0}=3V_{0})]만큼 추가로 잠기게 되는 것이다.
이러한 잠긴 부피에 의한 부력은 곧 물의 무게와 같아야 한다. 따라서 물의 밀도를 [math(\rho)]라 하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \rho \cdot 3V_{0} \cdot g=\rho Vg \end{aligned} )]
좌변은 부력의 크기, 금속 물체에 담긴 물의 무게이다. 따라서 정답은 [math(V=3V_{0})]이다.
3.2. 예제 2[편집]
[풀이 보기] -
일단 구해야하는 것을 살펴보자. 수조의 밑면적이 [math(S)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} S(h_{1}-h_{2})=-\Delta V \end{aligned} )]
[math(\Delta V)]는 수조의 밑바닥부터 수면까지([math(\mathbf{A})]의 잠긴 부피를 포함한다.)의 부피 변화를 뜻한다. 아래에서 말하는 부피 또한 물체를 지정하지 않았을 경우 이 부피를 말하는 것임에 유의한다.
한편, (가)에서 (나)로 갈 때, [math(\rm B)]의 무게에 의한 부력은 사라지므로 아르키메데스의 원리에 의해 [math(2V)]만큼의 [math(\rm A)]는 덜 가라앉는다. 즉, (가)에서 (나)로 갈 때, [math(-2V)]만큼의 부피 변화가 생기는 것이다. 그런데 여기서 [math(\rm B)]가 물에 잠기므로 부피는 해당 물체의 부피만큼 늘어나므로 [math(+V)]만큼을 추가해줘야 한다. 따라서 전체 부피 변화량은 [math(-2V+V=-V=\Delta V)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} (h_{1}-h_{2})=\frac{-\Delta V}{S}=\frac{V}{S} \end{aligned} )]
4. 유래[편집]
어느날 히에론 왕이 순금관을 장인에게 만들게 했다. 그러나 이것이 과연 순금으로 만든 것인지 의심을 품은 왕은 아르키메데스를 불러 순금관의 진위 여부를 판단하게 했다. 단 금관을 손상해서는 안 되었다. 진짜였으면 곤란하니까.
이에 아르키메데스는 고민에 고민을 거듭해가던 중에 목욕탕에 들어갔고[3], 자신의 몸이 들어간 만큼 물이 넘치는 것을 보자 뭔가 알아내서 너무 기쁜 나머지 "유레카"를 외치며 나체로 길거리를 뛰어다녔다고 한다.
아무튼 알아낸 방법은 다음과 같다.
- 금관과 같은 무게의 금덩이를 준비한다.
- 금관을 물에 넣고 넘쳐 나온 물의 양을 잰다.
- 금덩이를 물에 넣고 넘쳐 나온 물의 양을 잰다.
- 금관에서 넘쳐 나온 물이 조금 더 많았다.
- 따라서 금관에는 순수한 금 이외의 이물질이 섞여 있다는 것을 알 수 있다.
어떤 물질의 체적과 질량의 비율, 즉 비중을 이용한 것이다. 금은 비중이 매우 크기 때문에 다른 물질을 섞어서 같은 무게로 만들면 필연적으로 부피가 더 클 수밖에 없었던 것.
사실 더 정확하게 하자면 왕관과 금을 물 속에 넣고 양팔 저울로 물 속에서 어느 쪽으로 기울어지는가를 보는 게 더 적절하다. 금 대신에 다른 물질을 많이 채워 넣으면 금 특유의 색이 달라져 불순물을 많이 쓰진 못했을 거고, 부피에 큰 차이가 나진 않았을 것이다.
5. 기타[편집]
- 2009 개정 교육과정의 물리 I의 4단원에서 나오는 내용이었다. 수능이나 모의고사에서는 다소 변별력 있는 문제, 주로 3점 짜리로 출제되어 학생들을 머리 아프게 했다.
6. 관련 문서[편집]
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