연쇄 행렬 곱셈 알고리즘

1. 설명[편집]

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연쇄 행렬 곱셈 (Chained Matrix Multiplication) 문제는 주어진 연쇄 행렬의 곱셈을 할 때, 각 원소의 곱셈 횟수를 최소로 하는 곱셈의 순서를 찾는 최적화 문제이다. 예를 들어, 4개의 행렬을 곱하는 ABCD의 경우를 생각해 보자. 행렬 곱셈은 결합법칙이 성립하므로, 행렬을 곱하는 순서는 상관이 없다.


하지만 각 행렬의 행과 열의 크기에 따라 각 원소를 곱하는 횟수는 서로 달라진다. BOJ의 이 문제를 보면 알 수 있다.

연쇄 행렬 곱셈 알고리즘은 연쇄 형렬 곱셈 문제를 풀어, 가장 효율적으로 행렬을 곱하는 순서를 찾는 알고리즘이다. 이 알고리즘은 동적 계획법과 메모이제이션으로 풀 수 있는 대표적인 알고리즘으로 알고리즘 교재에 자주 등장한다.

2. 동적 계획법의 적용[편집]

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연쇄 행렬 곱셈 알고리즘은 먼저 재귀 관계를 찾은 후에 이차원 배열을 이용하여 상향식으로 동적계획법을 적용하면, 그까이꺼 대충 다음과 같이 구현할 수 있다.

def minmult (d):
    n = len(d) - 1
    M = [[-1] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    P = [[-1] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        M[i][i] = 0
    for diagonal in range(1, n):
        for i in range(1, n - diagonal + 1):
            j = i + diagonal
            M[i][j], P[i][j] = minimum(M, d, i, j)
    return M, P

def minimum (M, d, i, j):
    minValue = INF
    minK = 0
    for k in range(i, j):
        value = M[i][k] + M[k + 1][j]
        value += d[i - 1] * d[k] * d[j]
        if (minValue > value):
            minValue = value
            minK = k
    return minValue, minK