염주순열

1. 개요[편집]

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念珠順列 / norm of dihedral group

원순열을 그대로 뒤집었을 때 같은 것은 하나로 보는 순열을 말한다. 곧, 회전하는 것뿐 아니라 뒤집어서 나오는 모양까지 모두 같은 것으로 보아 경우의 수를 세는 순열이다. 목걸이 순열이라고도 하는데, 염주, 목걸이, 팔찌 등은 뒤집는다고 하여 그 대상의 본질이 변하지는 않으므로 이러한 이름이 붙었다.

'뒷면'을 고려한다는 점에서 이면군(dihedral group)과 관계가 있다.

2. 공식[편집]

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어떤 원순열을 뒤집으면 하나의 새로운 모양이 나온다. 다시 말해 원래 모양과 뒤집은 모양이 쌍을 이룬다. 곧, 뒤집어서 나오는 모양을 모두 같은 것으로 보는 염주순열에서는 한 쌍이 한 가지 경우의 수가 되므로 경우의 수는 원순열의 절반이다.


그러나 위 식대로라면 [math(n=1)], [math(n=2)]인 경우에는 염주순열의 값이 [math(\boldsymbol{1/2})]이 되어 버리는 이상한 상황이 나온다. 실제로는 한 개 혹은 두 개의 구슬로 염주를 만드는 경우의 수는 [math(1)]임을 직관적으로 알 수 있는데, [math(1/2)]보다 크거나 같은 정수의 최솟값은 [math(1)]이기에 위 식에 최소 정수 함수를 취하면 하나의 예외도 없이 일반화되어 이 문제는 해결된다.

3. 예제[편집]

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〈교육부 고시 제2015-74호 [별책 8] 수학과 교육과정〉 p. 97에서 ''염주순열'과 '같은 것이 있는 원순열'은 다루지 않는다.'로 명시하고 있으나 '간접적으로'는 다루고 있다. 그 대표적인 예는 '정(직)육면체에 숫자 쓰기(색칠하기)'이다. 일부 참고서와 교과서를 제외하면 해당 유형 문제는 거의 보이지 않는다.

3.1. 정육면체에 숫자 쓰기[편집]

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[풀이 보기]

다섯 개의 숫자를 적어도 한 번 쓴다면 어느 한 숫자는 두 번 써야 한다. 그렇다면 1을 두 번 쓰는 경우의 수를 구하고 5배를 하면 된다.

[1] 두 밑면에 1을 쓰는 경우
위아래로 뒤집어도 같으므로 염주순열로 간주하면 [math({(4-1)!}/2=3)]

[2] 인접한 두 면에 1을 쓰는 경우
1을 쓴 뒤 2를 쓰는 경우의 수는 1을 쓴 두 면과 모서리 하나를 공유하는 면에 쓰는 경우와 모서리 둘을 공유하는 면에 쓰는 경우 두 가지이다. 각 경우마다 나머지 숫자 3개를 배치하는 경우의 수 [math(3!)]이 있으므로 총 [math(2\times 3!=12)]

따라서 1을 두 번 쓰는 경우의 수는 [math(3+12=15)]이므로 구하는 전체 경우의 수는 [math(15\times 5=75)]

3.2. 직육면체에 숫자 쓰기[편집]

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[풀이 보기]

예를 들어 두 밑면에 1과 2를 쓰고 위아래로 뒤집으면 같으므로 염주순열이 된다.

따라서 한 밑면 경우의 수 [math(\times)] 다른 밑면 경우의 수 [math(\times)] 옆면 경우의 수(원순열) [math(\times\; 1/2)]

구하는 전체 경우의 수는 [math(6\times 5\times(4-1)!\times 1/2=90)]