원환면

1. 개요[편집]

---

圓環面 / torus

가운데에 구멍이 뚫린 위상도형. 흔히 '도넛 모양'이라고 한다.[1] '환상(環狀)' 또는 '토러스'라고도 부른다.

복수형은 tori. 보통 여러 개의 원환체를 뜻하나 여러개의 hole을 가진 하나의 물체를 [math(n)]-hole tori로 일컫기도 한다.

2. 정의[편집]

---

일단 일반적인 도넛 모양인 [math(1)]-hole torus의 개념으로만 기술한다.
위상기하학에서의 기본적인 정의는 [math(S^1 \times S^1)] 으로 두 원의 곱집합과 위상동형(homeomorphism)[2]이다. 따라서 손잡이가 있는 컵은 다음의 그림과 같이 도넛과 위상 동형이라고 할 수 있겠다.
좌표평면(cartesian plane)에서 [math(\left(x,y\right)~\left(x+1,y\right)~\left(x,y+1\right))]로 각각의 좌표가 modulo 1 덧셈와 같은 효과를 가진 형태이며, 이는 결국 가로 세로가 1인 단위 사각형(unit square)의 각 변을 시계방향을 정방향으로 [math( aba^{-1}b^{-1} )] 으로 설정한 형태로 정리한 그림이 아래와 같다.
이것을 같은 index를 가진 변끼리 붙여주면 쉽게 3차원의 익숙한 torus가 되므로 이 사각형 역시도 torus와 위상동형의 관계. 이 사각형의 각 꼭지점은 동일한 것은 3차원 공간에서 볼 때 자명하다. 임의의 index가 붙은다각형이 최종적으로 [math( aba^{-1}b^{-1} )] 의 형태를 갖는다면 1-hole torus로 볼 수 있다는 뜻이다.

굳이 원의 곱집합이라고 해서 일반적인 도넛 모양일 필요는 없다. 회전하는 로봇 팔 [math( {S^1}_{a} )] 이 회전축과 반대되는 끝을 회전축으로 하는 다른 회전하는 로봇 팔 [math( {S^1}_{b} )] 과 연결되어있다면 그것만으로도 torus의 정의를 만족할 수 있기 때문에 위상동형[3]이다.

나아가, [math(n)]-hole tori가 있을 수 있는데 이는 n개의 구멍이 뚫려 있는 '하나의' 위상기하학적 물체 혹은 공간으로 [math( abcd...a^{-1}b^{-1}c^{-1}d^{-1}... )] 으로 표현할 수 있다. 구멍 한개당 index alphabet이 하나씩 더 늘어나는 식으로 기술할 수 있으며 당연히 단위 사각형이 아니라 [math(2n)]각형(역시 모든 꼭지점이 동일하다)으로 표현한다. [math(1)]-hole torus와 마찬가지로 임의의 index가 붙은 다각형이 최종적으로 위와 같은 index 식의 다각형이라면 [math(n)]-hole tori이다.

2.1. 특징[편집]

---

• [math(1)]-hole torus의 경우
  • [math( aba^{-1}b^{-1} )] 의 단위 사각형을 오일러의 정리식으로 계산해보면 2가 되지 않는다([math(V-E+F=1-2+1=0)]). 이는 torus가 유클리드 공간의 영역에 해당됨을 시사한다.
  • torus는 닫힌 공간(closed surface)이며, 표면의 한지점에서 면과 90도를 이루는 법선벡터(normal vector)를 시계방향으로 정의하면 뫼비우스의 띠와는 달리 모든 면에서 법선 벡터의 방향이 시계 방향으로 일정하게 유지된다. 따라서 orientable하다. 또한 [math(n)]-hole tori도 orientable하다.
  • 위의 두가지 성질이 성립하는 위상학적 물체는 모두 torus와 위상동형이라고 볼 수 있다.
  • 4색정리의 파생형으로, [math(1)]-hole torus상의 그래프는 채색시 최소 7색이 필요하다.
• [math(n)]-hole tori의 경우
  • [math( abcd...a^{-1}b^{-1}c^{-1}d^{-1}... )] 의 다각형을 오일러의 정리식으로 계산하면 항상 [math(V-E+F=2-2n)]으로, 항상 negative한 값을 가진다. 이는 [math(n)]-hole tori가 비유클리드 공간의 harmonic space에 해당됨을 의미한다.
• 어떤 위상학적 물체가 compact이고 orientable하며 오일러의 정리식이 [math(2-2n)]값을 갖는다면 그 물체는 [math(n)]-hole tori와 위상동형이다.
• 평면으로 축퇴시킬 수 없다. 즉 전개도를 만들 수 없다.
• 복소 공간에서 타원곡선이 그리는 도형이기도 하다.
• 타이거라는 이름의 4차원 도형은 토러스를 토러스 방향으로 회전시켜 만드는 도형이다.

3. 원환체[편집]

---

원환면으로 둘러싸인 입체를 원환체(圓環體, toroid)라고 한다.

3.1. 겉넓이와 부피[편집]

---

토러스를 정사영시켰을 경우 바깥쪽 원의 반지름을 [math(\omicron)], 안쪽 원의 반지름을 [math(\iota)]로 하면

• 겉넓이: [math((\omicron^2 - \iota^2) \cdot \pi^2)][4]
  이렇게 표현한 이유는 [math(\pi^2(\omicron^2 - \iota^2))] 같은 식으로 표현할 경우 두 번 적용된 소수 계량 함수와 혼동할 수 있기 때문.
• 부피: [math(\dfrac{\pi^2}{4}(\omicron+\iota)(\omicron-\iota)^2)]

가 성립한다.