중심력

덤프버전 :

분류


고전역학
Classical Mechanics


[ 펼치기 · 접기 ]
기본 개념
텐서(스칼라 · 벡터) · 모멘트 · 위치 · 거리(변위 · 이동거리) · 시간 · 공간 · 질량(질량중심) · 속력(속도 · 가속도) · 운동(운동량) · · 합력 · 뉴턴의 운동법칙 · (일률) · 에너지(퍼텐셜 에너지 · 운동 에너지) · 보존력 · 운동량 보존의 법칙 · 에너지 보존 법칙 · 질량 보존 법칙 · 운동 방정식
동역학
비관성 좌표계(관성력) · 항력(수직항력 · 마찰력) · 등속직선운동 · 등가속도 운동 · 자유 낙하 · 포물선 운동 · 원운동(구심력 · 원심력 · 등속 원운동) · 전향력 · 운동학 · 질점의 운동역학 · 입자계의 운동역학 · 운동 방정식
정역학 강체 역학
정적 평형 · 강체 · 응력(/응용) · 충돌 · 충격량 · 각속도(각가속도) · 각운동량(각운동량 보존 법칙 · 떨어지는 고양이 문제) · 토크(비틀림) · 관성 모멘트 · 관성 텐서 · 우력 · 반력 · 탄성력(후크 법칙 · 탄성의 한계) · 구성방정식 · 장동 · 소성 · 고체역학
천체 역학
중심력 · 만유인력의 법칙 · 이체 문제(케플러의 법칙) · 기조력 · 삼체문제(라그랑주점) · 궤도역학 · 수정 뉴턴 역학 · 비리얼 정리
진동 파동
각진동수 · 진동수 · 주기 · 파장 · 파수 · 스넬의 법칙 · 전반사 · 하위헌스 원리 · 페르마의 원리 · 간섭 · 회절 · 조화 진동자 · 산란 · 진동학 · 파동방정식 · 막의 진동 · 정상파 · 결합된 진동 · 도플러 효과 · 음향학
해석 역학
일반화 좌표계(자유도) · 변분법{오일러 방정식(벨트라미 항등식)} · 라그랑주 역학(해밀턴의 원리 · 라그랑지언 · 액션) · 해밀턴 역학(해밀토니언 · 푸아송 괄호 · 정준 변환 · 해밀턴-야코비 방정식 · 위상 공간) · 뇌터 정리 · 르장드르 변환
응용 및 기타 문서
기계공학(기계공학 둘러보기) · 건축학(건축공학) · 토목공학 · 치올코프스키 로켓 방정식 · 탄도학(탄도 계수) · 자이로스코프 · 공명 · 운동 방정식



천문학
Astronomy


[ 펼치기 · 접기 ]
배경
기본 정보
우주 · 천체
천문사
고천문학 · 천동설 · 지동설 · 첨성대 · 혼천의 · 간의 · 아스트롤라베 · 올베르스의 역설 · 대논쟁 · 정적 우주론 · 정상우주론
천문학 연구
천문학과 · 천문학자 · 우주덕 · 천문법 · 국제천문연맹 · 한국천문학회 · 한국우주과학회 · 한국아마추어천문학회(천문지도사) · 우주항공청 · 한국천문연구원 · 한국항공우주연구원 · 한국과학우주청소년단 · 국제천문올림피아드 · 국제 천문 및 천체물리 올림피아드 · 아시아-태평양 천문올림피아드 · 한국천문올림피아드 · 전국학생천체관측대회 · 전국청소년천체관측대회
천체물리학
천체역학
궤도 · 근일점 · 원일점 · 자전(자전 주기) · 공전(공전 주기) · 중력(무중력) · 질량중심 · 이체 문제(케플러의 법칙 · 활력방정식 · 탈출 속도) · 삼체문제(라그랑주점 · 리사주 궤도 · 헤일로 궤도 · 힐 권) · 중력섭동(궤도 공명 · 세차운동 · 장동#천체역학 · 칭동) · 기조력(조석 · 평형조석론 · 균형조석론 · 동주기 자전 · 로슈 한계) · 비리얼 정리
궤도역학
치올코프스키 로켓 방정식 · 정지궤도 · 호만전이궤도 · 스윙바이 · 오베르트 효과
전자기파
흑체복사 · 제동복사 · 싱크로트론복사 · 스펙트럼 · 산란 · 도플러 효과(적색편이 · 상대론적 도플러 효과) · 선폭 증가 · 제이만 효과 · 편광 · 21cm 중성수소선 · H-α 선
기타 개념
핵합성(핵융합) · 중력파 · 중력 렌즈 효과 · 레인-엠든 방정식 · 엠든-찬드라세카르 방정식 · 타임 패러독스
우주론
기본 개념
허블-르메트르 법칙 · 우주 상수 · 빅뱅 우주론 · 인플레이션 우주론 · 표준 우주 모형 · 우주원리 · 암흑물질 · 암흑에너지 · 디지털 물리학(모의실험 가설) · 평행우주 · 다중우주 · 오메가 포인트 이론 · 홀로그램 우주론
우주의 역사
우주 달력 · 우주배경복사(악의 축) · 재이온화
위치천문학
구면천문학
천구 좌표계 · 구면삼각형 · 천구적도 · 자오선 · 남중 고도 · 일출 · 일몰 · 북극성 · 주극성 · 24절기(춘분 · 하지 · 추분 · 동지) · 극야 · 백야 · 박명
시간 체계
태양일 · 항성일 · 회합 주기 · 태양 중심 율리우스일 · 시간대 · 시차 · 균시차 · 역법
측성학
연주운동 · 거리의 사다리(연주시차 · 천문단위 · 광년 · 파섹)
천체관측
관측기기 및 시설
천문대 · 플라네타리움 · 망원경(쌍안경 · 전파 망원경 · 간섭계 · 공중 망원경 · 우주 망원경) · CCD(냉각 CCD) · 육분의
관측 대상
별자리(황도 12궁 · 3원 28수 · 계절별 별자리) · 성도 · 알파성 · 딥 스카이 · 천체 목록(메시에 천체 목록 · 콜드웰 천체 목록 · 허셜 400 천체 목록 · NGC 목록 · Arp 목록 · 글리제의 근접 항성 목록) · 스타호핑법 · 엄폐 · 록맨홀
틀:태양계천문학·행성과학 · 틀:항성 및 은하천문학 · 천문학 관련 정보


1. 개요
2. 이체 문제
2.1. 환산 질량 도입 및 일체 문제로 변환
2.1.1. 양자역학에서 응용
2.2. 평면 상 운동
2.3. 유효 퍼텐셜
2.4. 궤도 방정식
2.4.1. 원 궤도
2.4.2. 타원 궤도
3. 케플러의 문제
3.1. 면적 속도
3.2. 조화의 법칙
4. 예시
5. 심화
5.1. 비네 방정식
5.2. 원 궤도의 안정성
5.3. 닫힌 궤도를 존재시킬 수 있는 중심력의 형태
6. 삼체 문제
7. 관련 문서


1. 개요[편집]


central force ·

중심력이란, 고정된 정점을 향하는 힘을 의미한다. 즉, 중심력은 고정된 정점으로 부터 떨어진 거리에만 의존한다. 크게 중력, 전기력 등이 있다.

이 문서에서는 중심력을 논할 수 있는 가장 기초적인 문제인 이체 문제(Two-body problem)를 논의해보는 것을 목표로 둔다. 참고로 삼체 문제는 이체 문제와 달리 중심력의 주된 적용대상이 아니다.


2. 이체 문제[편집]




2.1. 환산 질량 도입 및 일체 문제로 변환[편집]


이체 문제(Two-body problem)란, 서로 상호작용하는 두 물체들에 대한 운동을 다루는 문제이다.

이체 문제를 그대로 풀기에는 수학적으로 매우 복잡하다. 따라서 편리하게 분석하기 위해 아래 제시된 위치벡터를 도입하여 이체 문제를 일체 문제로 변환하고자 한다.

그림과 같이 원점 [math(\mathrm{O})]가 있고, 두 질점 [math(m_{1})], [math(m_{2})]가 있는 상황을 고려하자. 각 질점 위치 벡터는 각각 [math(\mathbf{r}_{1})], [math(\mathbf{r}_{2})]이다.

파일:나무_중심력_1.png

이 상황에서 질량 중심([math(\mathrm{CM})])에 대한 위치 벡터 [math(\mathbf{R})] 및 두 물체가 떨어진 거리를 나타내는 위치벡터 [math(\mathbf{r})]을 고려할 수 있고, 이는 아래 식들과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{R}&=\frac{m_{1} \mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\ \mathbf{r} &= \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} \end{aligned} )]

그 다음 [math(\mathbf{r}_{1})], [math(\mathbf{r}_{2})]를 각각 [math(\mathbf{r})], [math(\mathbf{R})]에 대해 풀어주면

[math(\displaystyle \mathbf{r}_{1}=\mathbf{R} -\frac {m_2}{m_1+m_2} \mathbf{r})]
[math(\displaystyle \mathbf{r}_{2}=\mathbf{R} +\frac {m_1}{m_1+m_2} \mathbf{r})]

이고 이를 주어진 계가 가진 운동에너지

[math(\displaystyle T=\frac{m_1}2 |\mathbf{\dot{r}}_{1}|^{2}+\frac{m_2}2 |\mathbf{\dot{r}}_{2}|^{2})]

에 대입하면 위 식은 다음처럼 변환된다.

[math(\displaystyle T= \frac{m_1+m_2}2 |\mathbf{\dot{R}}|^{2}+\frac{\mu}2 |\mathbf{\dot{r}}|^{2})]


여기서 나온

[math(\displaystyle \mu \equiv \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} )]

이고, 이것을 환산 질량(Reduced mass)이라 한다. 즉, 위 과정에서 벡터 [math(\mathbf{r})]의 시점이 원점([math(m=m_{1}+m_{2})])이고, 한 질점 [math(\mu)]가 [math(\mathbf{r})] 만큼 떨어져 있는 상황과 같이 취급할 수 있음을 얻는다. 즉, 이체 문제가 일체 문제로 변환된 것이다. 아래 그림을 참조하자:

파일:나무_이체문제_환상질량_수정.png


2.1.1. 양자역학에서 응용[편집]


슈뢰딩거 방정식을 따르는 매우 작은 입자계도 질량 중심 [math(\mathbf{R})]과 두 입자 사이의 변위 [math(\mathbf{r})]로 나눠서 일체 문제처럼 생각할 수 있다. 두 입자 [math(m_{1})], [math(m_{2})]의 위치를 각각 [math(\mathbf{r}_{1}=(x_{1},\,y_{1},\,z_{1}))], [math(\mathbf{r}_{2}=(x_{2},\,y_{2},\,z_{2}))]라 하고,

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{R} &\equiv (X,\,Y,\,Z) \\ \mathbf{r} &\equiv (x,\,y,\,z) \end{aligned} )]

로 정의하자. 이때,

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{R}&=\frac{m_{1}\mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\ \mathbf{r}&=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} \end{aligned} )]

이다. 따라서

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial X}{\partial x_1} &= \frac{m_1}{m_1 + m_2} \\&= \frac{\mu}{m_2} \\ \frac{\partial X}{\partial x_2} &= \frac{m_2}{m_1 + m_2} \\& = \frac{\mu}{m_1} \end{aligned})]

연쇄 법칙에 의해 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x_1 } &= \frac{\partial}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial x_1} + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x_1 } \\& = \frac{\mu}{m_2} \frac{\partial}{\partial X} + \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial x_2 } &= \frac{\partial}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial x_2} + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x_2 } \\& = \frac{\mu}{m_1} \frac{\partial}{\partial X} - \frac{\partial}{\partial x} \end{aligned} )]

위 식은 [math(Y)], [math(Z)]에 대해서도 똑같이 성립하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}_1 &= \frac{\mu}{m_2} \boldsymbol{\nabla}_R + \boldsymbol{\nabla}_r \\ \boldsymbol{\nabla}_2 &= \frac{\mu}{m_1} \boldsymbol{\nabla}_R - \boldsymbol{\nabla}_r \end{aligned} )]

이때,

[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}_{R}=\sum_{i} \frac{\partial}{\partial R_{i}} \hat{R}_{i} \qquad \boldsymbol{\nabla}_{r}=\sum_{i} \frac{\partial}{\partial r_{i}} \hat{r}_{i} )]

임을 의미한다. 위 식을 슈뢰딩거 방정식

[math(\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2 m_1} \nabla_1^2 \psi - \frac{\hbar^2}{2 m_2} \nabla_2^2 \psi + V(\mathbf{r}) \psi = E \psi )]

에 대입하면 다음 식을 얻는다.

[math(\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2 M} \nabla_R^2 \psi - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla_r^2 \psi + V(\mathbf{r}) \psi = E \psi )]

이때 [math(M \equiv m_1 + m_2)]는 두 입자의 전체 질량이다. 위 식을 변수분리 하기 위해 파동함수를 [math(\psi(\mathbf{R},\,\mathbf{r}) = \psi_R (\mathbf{R}) \psi_r (\mathbf{r}))]의 곱이라 가정하고, 대입하면, 다음 식을 얻는다.

[math(\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2 M} \frac{\nabla_R^2 \psi_R}{\psi_R} - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \frac{\nabla_r^2 \psi_r}{\psi_r} + V(\mathbf{r}) = E )]

위 식의 좌변에서 첫째 항은 [math(\mathbf{R})]에 대한 함수이고, 둘째 항과 셋째 항은 [math(\mathbf{r})]에 대한 함수이므로, 임의의 위치에 대하여 식을 만족시키려면 두 부분이 모두 상수여야 한다. 이 상수를 각각 [math(E_R)], [math(E_r)]이라고 하면, 각각 다음 식을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} - \frac{\hbar^2}{2 M} \nabla_R^2 \psi_R &= E_R \psi_R \\ - \frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla_r^2 \psi_r + V(\mathbf{r}) \psi_r &= E_r \psi_r \end{aligned} )]

즉, 여기서 첫 번째 식은 두 입자를 하나의 물체로 본 질량 중심을 나타내며, 두 번째 식은 질량 중심을 기준으로 움직이는 질량 [math(\mu)]인 입자의 운동을 나타낸다. 이는 퍼텐셜 [math(V)]에서 움직이는 하나의 입자, 즉 일체 문제와 같다.

2.2. 평면 상 운동[편집]


이제부터, 중심력이 작용하는 이체 문제를 고려하자. 중심력의 정의에 따라 [math(\mathbf{F}=F(r)\hat{\mathbf{r}})]로 쓸 수 있다. 따라서

[math(\displaystyle \mu \mathbf{\ddot{r}}=F(r)\hat{\mathbf{r}} )]

다음과 같이 양변에 [math(\mathbf{r})]을 외적연산해주면,

[math(\displaystyle \mu (\mathbf{r} \times \mathbf{\ddot{r}})=F(r)(\mathbf{r} \times \hat{\mathbf{r}}) )]

식의 우변은 0이 되고,

[math(\displaystyle \mu \mathbf{r} \times \mathbf{\ddot{r}} = \frac{d}{dt}(\mu \mathbf{r} \times \mathbf{\dot{r}} ) )]

이다. 한편, 괄호 안의 항 [math(\mu \mathbf{r} \times \mathbf{\dot{r}} =\mathbf{L})]로 각운동량을 의미하므로

[math(\displaystyle \mathbf{\dot{L}}=0 )]

으로 이 운동에서 각운동량은 보존된다. 따라서 다루는 문제가 구대칭성(Spherical symmetry)을 갖고, 한 평면에서 운동이 기술될 수 있음을 얻는다. 다음 그림을 참조하자:

파일:나무_중심력_3_수정.png

따라서 물체의 위치를 기술하기 위해선 원점으로 부터 떨어진 거리인 [math(r)]과 그 회전각 [math(\theta)]만 있으면 됨을 얻으며, 이 계에서 외력이 없기 때문에 계의 에너지 또한 보존되고, 그 에너지를 [math(E)]라 놓으면, 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2})+U=E )]

[math(U)]는 퍼텐셜 에너지이고, [math(r \equiv |\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}|)]이다.

만약 [math(m_{1})], [math(m_{2})] 사이에 작용하는 힘이 [math(\mathbf{F})]라 하면, 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle \mathbf{\ddot{r}}_{1}=\frac{\mathbf{F}}{m_{1}} \qquad \qquad \mathbf{\ddot{r}}_{2}=-\frac{\mathbf{F}}{m_{2}} )]

[math(\mathbf{r} \equiv \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2})]이므로 위 식을 적절히 정리하면,

[math(\displaystyle \mu \mathbf{\ddot{r}}=\mathbf{F} )]

따라서 [math(\mu)]가 받는 힘 또한 같음을 알 수 있다. 따라서

[math(\displaystyle F(r)=-\frac{\alpha}{r^{2}} )]

[math(\alpha)]는 상수이다.[1] 퍼텐셜 에너지와 힘의 관계[2]에 의해

[math(\displaystyle U(r)=-\frac{\alpha}{r} )]
[1] 이를테면, 중력은 [math( \alpha = Gm_{1} m_{2} )]이다.[2] [math( \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )]

이다. 따라서 고려하는 계의 에너지는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2})-\frac{\alpha}{r}=E )]


계의 라그랑지언

[math(\displaystyle {\mathscr L}=\frac{1}{2}\mu (\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2})+\frac{\alpha}{r} )]

이고, [math( \theta )]는 순환 좌표이기 때문에 [math( \theta )]에 대한 운동량은 보존된다. 해당 운동량을 [math(l)]이라 하면,

[math(\displaystyle \mu r^{2} \dot{\theta}=l )]

이를 이용하면, 계의 에너지를 아래와 같이 바꿀 수 있다.

[math(\displaystyle E=\frac{1}{2}\mu \dot{r}^{2}+\frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}}-\frac{\alpha}{r} )]



2.3. 유효 퍼텐셜[편집]


위에서 나온 결과에서

[math(\displaystyle \frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}} )]

는 원심력에 의한 퍼텐셜 에너지로 생각할 수 있고, 따라서

[math(\displaystyle V(r) \equiv U(r)+ \frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}} )]

을 계의 유효 퍼텐셜이라 정의한다. 다루는 문제 상황에선

[math(\displaystyle V(r) =\frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}}-\frac{\alpha}{r} )]

이고, 이것의 개형은 아래와 같다.

파일:namu_중심력_유효퍼텐셜_그래프_재수정.png

위로 부터

[math(\displaystyle \frac{1}{2}\mu \dot{r}^{2}=E-V(r) )]

그래프를 좀 더 확대해보면,

파일:나무_중심력_5.png

이다. 이때, 여러 에너지에 대해 다음의 결론을 얻을 수 있다.
  • 에너지가 [math(\mathbf{E_{1}})]일 경우
이 경우엔 [math(\dot{r}=0)]이므로 [math(r=r_{3})]에서 [math(\mu)]는 원운동한다.
  • 에너지가 [math(\mathbf{E_{2}})]일 경우
이 경우엔 운동은 [math(r_{2} \leq r \leq r_{4})]에서 구속되어 있는 타원 운동을 한다.
  • 에너지가 [math(\mathbf{E_{3}})]일 경우
이 경우에 [math(\mu)]는 비속박 상태이며, [math(\infty \to r_{1} \to \infty)]로 운동을 하게 된다.
즉, [math(\mu)]가 가진 에너지에 따라 [math(\mu)]의 궤도는 달라짐을 예측해볼 수 있다.

또한 이 운동에서 [math(\mu)]가 가진 에너지의 하한값을 알 수 있는데, 그것이 바로 원 운동할 때의 에너지 [math(E_{1})]이다. [math(\mu)]의 에너지 [math(E<E_{1})]인 조건은 [math(\dot{r}^{2}<0)]을 만들기에 물리적으로 불가능하다.

2.4. 궤도 방정식[편집]


이제 궁극적인 목표인 [math(\mu)]의 궤도 방정식을 얻을 것이다. 위의 에너지 식에서

[math(\displaystyle \dot{r}^{2}=\frac{2E}{\mu}-\frac{l^{2}}{ \mu^{2} r^{2}}+\frac{2\alpha}{\mu r} )]

연쇄 법칙에 의해

[math(\displaystyle \dot{r}=\frac{dr}{d \theta} \frac{d \theta}{dt}=\frac{dr}{d \theta} \frac{l}{\mu r^{2}} )]

이상에서

[math(\displaystyle \frac{d \theta}{dr}=\pm \frac{\displaystyle \frac{l}{\mu r^{2} } }{\displaystyle \sqrt{\frac{2E}{\mu}-\frac{l^{2}}{ \mu^{2} r^{2}}+\frac{2\alpha}{\mu r} } } )]

따라서 적분을 통해 [math(\theta(r))]을 얻을 수 있다:

[math(\displaystyle \theta= \pm \int \frac{\displaystyle \frac{l}{\mu r^{2} } }{\displaystyle \sqrt{\frac{2E}{\mu}-\frac{l^{2}}{ \mu^{2} r^{2}}+\frac{2\alpha}r } } \,dr )]

이 적분을 풀면, 아래의 극방정식을 얻는다.[3]

[math(\displaystyle r=\frac{r_{0}}{1+\epsilon \cos{\theta}} )]
[3] 적분 상수는 적절히 처리하여 없앴다.

이것은 명백히, 원뿔곡선의 극방정식이며,

[math(\displaystyle \epsilon=\sqrt{1+\frac{2El^{2}}{\mu \alpha^{2} } } )]

의 이심률을 가지는 원뿔곡선의 극방정식임을 알 수 있다. 또한,

[math(\displaystyle r_{0}=\frac{l^{2}}{\mu \alpha} )]

이며, [math(2r_{0})]는 궤도의 직현(Latus rectum)이라 부른다. 따라서 가능한 궤도를 그려보면, 다음과 같다. ([math(\mathrm{F})]는 원점이자, 궤도의 한 초점이다.)

파일:나무_중심력_궤도 방정식.png

즉,
  • [math(\epsilon=0)] : 궤도
  • [math(0<\epsilon<1)] : 타원 궤도
  • [math(\epsilon=1)] : 포물선 궤도
  • [math(\epsilon>1)] : 쌍곡선 궤도
임을 알 수 있다.


2.4.1. 원 궤도[편집]


위 결과를 종합하면 [math(\mu)]가 원 궤도로 운동할 때는 그 반지름

[math(\displaystyle r_{1}=\frac{l^{2}}{\mu \alpha} )]

을 가진다. 이때, [math(\mu)], [math(\alpha)]는 정해진 상수이므로 곧 물체의 각운동량 제곱 값에 비례한다.

한편, 이때 갖는 에너지는

[math(\displaystyle \begin{aligned} E_{1}=-\frac{\mu \alpha^{2}}{2l^{2}} \end{aligned} )]

이다.

즉, 원 운동할 조건은 [math(E=E_{1})]일 때 가능하다.

2.4.2. 타원 궤도[편집]


이제 가장 중요한 케이스인 타원 궤도에 대해서 좀 더 분석해볼 것이다. 타원에 대해 잘 모른다면 타원 문서를 참고하라.

우선, 타원 궤도의 긴반지름을 구해보도록 하자. 초점을 기준으로 가장 반지름이 짧은 곳(Periapsis)은 [math(\theta =0)]일 때 이므로

[math(\displaystyle r_{\mathrm{Pe}}=\frac{r_{0}}{1+\epsilon} )]

이고, 가장 반지름이 긴 곳(Apoapsis)은 [math(\theta = \pi)]일 때 이므로

[math(\displaystyle r_{\mathrm{Ap}}=\frac{r_{0}}{1-\epsilon} )]

이상에서 긴 반지름은 [math((r_{\mathrm{Pe}}+r_{\mathrm{Ap}})/2)]이므로 구하는 긴 반지름을 [math(a)]라 놓으면,

[math(\displaystyle a=\frac{r_{0}}{1-\epsilon^{2}}=\frac{\alpha}{2 |E|} )]

이고, 짧은 반지름 [math(b)]는 긴 반지름과

[math(\displaystyle b=a\sqrt{1-\epsilon^{2}} )]

의 관계가 있음에 따라

[math(\displaystyle b=\sqrt{r_{0} a} )]

임을 얻는다.

타원 궤도가 되려면 다음을 만족해야 한다.

[math(\displaystyle V_{\min}<E<0 )]

여기서 [math(V_{\min}=E_{1})]로, 원 궤도를 논하면서 구했다.


3. 케플러의 문제[편집]



3.1. 면적 속도[편집]



파일:namu_중심력_미소면적.svg

[math(\mu)]가 [math(\mathrm{P}\to \mathrm{Q})]를 휩쓸고 가는 미소 면적을 [math(dA)]라 하고, 이때, 각은 [math(d \theta)] 만큼 변했다고 하자. 그러면,

[math(\displaystyle dA=\frac{1}{2}r^{2} \,d\theta )]

이상에서

[math(\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^{2} \,\frac{d\theta}{dt} )]

이고, [math(\dot{\theta}=l/(\mu r^{2}))]임을 위에서 논의했으므로

[math(\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{l}{2 \mu}=\mathsf{const.} )]

즉, [math(\mu)]가 휩쓸고 가는 면적 속도는 시간에 무관하며, 일정함을 알 수 있다.

이는 케플러 제 2법칙으로 알려져있다.


3.2. 조화의 법칙[편집]


"면적 속도" 문단으로 부터

[math(\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{l}{2 \mu} )]

임을 알 수 있고, [math(\mu)]가 타원 궤도일 경우를 고려해보자. 한 주기에 대해 고려하면, 타원의 면적은 [math(\displaystyle ab \pi)][4]이므로

[math(\displaystyle ab \pi=\frac{l}{2 \mu} T )]
[4] 자세한 것은 타원 문서 참조.

위에서 [math(b=\sqrt{a r_0})]라 했으므로

[math(\displaystyle a^{3/2} \sqrt{r_{0}} \pi=\frac{l}{2 \mu} T )]

양변을 제곱하고, [math(r_{0} \equiv l^{2}/(\mu \alpha))]를 이용하면,

[math(\displaystyle \frac{4\pi^{2} \mu }{\alpha}a^{3} = T^{2} )]

즉,

[math(\displaystyle \frac{T^{2}}{a^{3}} =\frac{4\pi^{2} \mu }{\alpha}=\mathsf{const.} )]

임을 알 수 있다. 즉, 궤도의 긴 반지름의 세제곱은 운동 주기의 제곱에 비례한다.

이는 케플러 제 3법칙으로 알려져있다.


4. 예시[편집]



4.1. 중력[편집]


이 예시는 곧 항상과 행성 간의 공전이나, 행성과 위성의 공전 등과 같은 문제이다. 이 경우에 작용하는 중심력은 중력임에 따라 위에서 놓았던 상수

[math(\displaystyle \alpha=Gm_{1}m_{2} )]

로 놓을 수 있다. 여기서 [math(m_{1} > m_{2})]이고, [math(G)]는 만유인력 상수이다.

따라서 위의 결과를 이용하면, 이 경우에서 궤도는 [math(m_{1})]을 한 초점으로 하며, 궤도 이심률은

[math(\displaystyle \epsilon=\sqrt{1+\frac{2El^{2}}{\mu (Gm_{1}m_{2})^{2} } } )]

이고, 각운동량의 크기는

[math(\displaystyle l=\sqrt{\mu G m_{1} m_{2} r_{0}} )]

에너지는

[math(\displaystyle E=\frac{Gm_{1}m_{2}}{2r_{0}}(\epsilon^{2}-1) )]

임을 알 수 있다. 여기서 타원 궤도, 원 궤도 일 때는 [math(E<0)]이므로 운동은 속박되어 있으며, 쌍곡선 궤도 일 때는 [math(E>0)]이므로 운동은 속박되어 있지 않음 또한 알 수 있다.

더불어, 궤도가 타원 혹은 원일 때, 공전 주기의 제곱은 궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례하게 되며,

[math(\displaystyle \frac{T^{2}}{a^{3}} =\frac{4\pi^{2} }{G(m_{1}+m_{2})} )]

항성과 행성, 행성과 위성 등의 특수 케이스에선 [math(m_{1} \gg m_{2})]이므로

[math(\displaystyle \frac{T^{2}}{a^{3}} \simeq \frac{4\pi^{2} }{Gm_{1}} )]

으로 쓸 수 있다. 또한, 궤도의 긴 반지름은

[math(\displaystyle a=\frac{Gm_{1}m_{2}}{2 |E|} )]

이고, 짧은 반지름은 [math(b=\sqrt{a r_{0}})]이다.


4.2. 수소형 원자[편집]


수소형 원자란, 1개의 핵과 1개의 전자가 공간 상에 있는 경우를 의미한다. 이 경우 퍼텐셜은

[math(\displaystyle U(r)=-\frac{Ze^{2}}{r} )]

로 놓을 수 있다. 또한 질량은 일반적으로 [math(m_{1} > m_{2})]이고, [math(e)]는 기본 전하량, [math(Z)]는 상수이다. 질점계의 해밀토니안은 질량 중심과 환산 질량의 것으로 나눌 수 있고, 환산 질량에 대한 해밀토니안 연산자는

[math(\displaystyle \hat{\mathcal{H}}_{\mu}=\frac{\hat{\mathcal{P}}_{r}^{2}}{2 \mu}+\frac{\hat{L}^{2}}{2 \mu r^{2}}+U(r) )]

으로 쓸 수 있다. [math(\hat{\mathcal{P}}_{r})]은 지름 방향의 운동량 연산자, [math(\hat{L})]은 궤도 각운동량 연산자, [math(\psi)]는 수소형 원자에 대한 전자의 파동함수이다. 각종 양자역학적 지식과 위의 정보들을 이용하면, 수소 원자를 기술하는 슈뢰딩거 방정식은

[math(\displaystyle \left[ \frac{\hat{\mathcal{P}}_{r}^{2}}{2 \mu}+\frac{\hbar^{2} \ell(\ell+1)}{2 \mu r^{2}}-\frac{Ze^{2}}{r} \right] \psi = E \psi )]

로 쓸 수 있음을 얻는다. 주의해야 할 것은 위 식에서 [math(\ell)]은 각운동량의 크기가 아닌 특정한 조건을 만족하는 정수이다.

이 상황에서도 유효 퍼텐셜을 정의할 수 있고, 일반적으로 다음과 같이 정의한다.

[math(\displaystyle V(r) \equiv \frac{\hbar^{2}\ell(\ell+1)}{2 \mu r^{2}}-\frac{Ze^{2}}{r} )]

따라서 [math(\ell)]값에 따라 유효 퍼텐셜 값 또한 달라진다.

이에 관련한 자세한 내용은 수소 원자 모형 문서를 참조한다.


5. 심화[편집]



5.1. 비네 방정식[편집]


극좌표로 표현된 궤도로부터 두 물체 사이에 작용하는 힘을 구할 수 있는 방정식으로, 프랑스의 수학자 자크 비네(Jacques Philippe Marie Binet)가 유도하였다. 특히 타원 궤도로부터 뉴턴의 만유인력의 법칙을 유도하는 데 비네 방정식이 사용된다.

다음을 알고 있다.

[math(\displaystyle \mu r^{2} \dot{\theta}=l )]

또한, 극좌표계에서 가속도의 [math(r)] 방향 성분은

[math(\displaystyle a_{r}=\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2} )]

이상에서 [math(\mu)]가 받는 힘의 [math(r)] 방향 성분은

[math(\displaystyle F(r)=\mu(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}) )]

다음의 변수 치환을 이용하자.

[math(\displaystyle r^{-1} \equiv u )]

우선,

[math(\displaystyle \displaystyle \frac{du}{d \theta} = \frac{du}{dr} \frac{dr}{dt} \frac{dt}{d \theta} = - \frac{1}{r^2} \dot{r} \frac{1}{\dot{\theta}} )]

이고, 여기에 위의 [math(\mu r^{2} \dot{\theta}=l)]을 이용하면,

[math(\displaystyle \displaystyle \frac{du}{d \theta} = - \frac{\mu \dot{r} }{l} )]

이를 다시 [math(\theta)]로 미분하면,

[math( \displaystyle \frac{d^2 u}{d \theta^2} = \frac{d}{d \theta} \biggl( - \frac{\mu \dot{r}}{l} \biggr) = \frac{dt}{d \theta} \frac{d}{dt} \biggl( - \frac{\mu \dot{r}}{l} \biggr) = - \frac{\mu \ddot{r} }{l \dot{\theta} } )]

마찬가지로, [math(\mu r^{2} \dot{\theta}=l)]을 이용하면,

[math( \displaystyle \frac{d^2 u}{d \theta^2} = - \frac{\mu^2 r^2 \ddot{r} }{l^2} )]

이상에서

[math( \displaystyle \ddot{r} = - \frac{l^2 u^2}{\mu^2} \frac{d^2 u}{d \theta^2} \qquad \qquad r \dot{\theta}^2 = \frac{l^2 u^3}{\mu^2} )]

이것을 처음의 운동 방정식에 대입하므로써 비네 방정식을 얻는다:

[math( \displaystyle \frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = - \frac{\mu}{l^2 u^{2}} F(u^{-1}) )]

이는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

[math( \displaystyle \frac{d^2}{d\theta^2} \biggl( \frac{1}{r} \biggr) + \frac{1}{r}= - \frac{\mu r^2}{l^2} F(r) )]

이를 이용하면, 어떠한 궤도가 주어졌을 때, 어떠한 힘을 받고 있는지 계산할 수 있다.


5.2. 원 궤도의 안정성[편집]


중심력 장에서 운동하는 입자가 [math(r=\rho)]인 곳에서 원 운동할 수 있는 조건에 대해 알아보는 것도 꽤 흥미롭다.

[math(\displaystyle \frac{d V}{d r} \biggr|_{r=\rho}=0 )]

그러나 원 궤도로 운동할 수 있는 것과 '이 궤도가 안정적인가'를 다루는 것은 별개의 문제이다. 다시 말하면, 우리가 퍼텐셜 에너지 문서에서 불안정 평형점에 대해 논의했듯, 약간의 힘을 가했을 때, 원 궤도가 파괴된다면 그것은 안정적인 원 궤도라 할 수 없다는 것이다. [math(r=\rho)]인 점에서 안정된 원 궤도를 가지려면 유효 퍼텐셜이 최솟값을 갖는 부근이어야 한다. 즉,

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{d V}{d r} \biggr|_{r=\rho}&=0 \\ \frac{d^{2} V}{{d} r^{2}} \biggl|_{r=\rho} &>0\end{aligned} )]

이 두 조건을 만족해야 안정된 원 궤도를 갖는다고 볼 수 있을 것이다. 두 번째 조건은 고등학교 미적분 시간에 배웠듯 함수가 아래로 볼록할 경우를 다루는 것이다.

이제의 논의는 거의 안정적인 원 궤도를 가질 때이다. 이때는 약간의 섭동을 가하면 아래 그림과 같이 궤도 반지름으로 부터 근사적으로 진동하는 형태가 될 것이다.

파일:namu_원궤도의안정성_중심력.png

이제 [math(r=\rho+x)](단, [math(x\ll \rho)])을 고려하자. 논의했듯 중심력 장에서 운동 방정식은

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mu(\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2})=F(r) \qquad \cdots \, \small{(1)} \end{aligned} )]

이므로 고려한 원점으로부터 거리를 넣으면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mu \ddot{x}-\mu (\rho+x) \dot{\theta}^{2}=F(\rho+x) \end{aligned} )]

한편, [math(l=\mu r^{2}\dot{\theta})]이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mu \ddot{x}-l^{2}\mu^{-1}(\rho+x)^{-3} =F(\rho+x) \end{aligned} )]

[math(x\ll 1)]이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mu \ddot{x}-\frac{l^{2}}{\mu \rho^{3}}\biggl(1-\frac{3x}{\rho} \biggr) =F(\rho)+F'(\rho)x \end{aligned} )]

한편, 식 [math(\small{(1)})]을 이용하면,

[math(\displaystyle \begin{aligned} -\frac{l^2}{\mu \rho^{3}}=F(\rho) \end{aligned} )]

를 구할 수 있는데, 이렇게 쓸 수 있는 이유는 처음 입자는 원 궤도로 움직였으므로 반지름 방향의 운동은 없으므로 [math(\dot{r}|_{r=\rho}=0)]이기 때문에 [math(\ddot{r}|_{r=\rho}=0)]으로 쓸 수 있는 것이다.

이를 이용하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mu \ddot{x}+\left[\frac{3l^{2}}{\mu \rho^{4}}-F'(\rho) \right]x &=0 \\ \mu \ddot{x}+\left[-\frac{3F(\rho)}{\rho}-F'(\rho) \right]x &=0 \end{aligned} )]

의 미분 방정식이 나오는데, 얼핏 보기엔 단순 조화 진동자의 운동 방정식과 닮았다. 따라서 (거의) 안정된 원 궤도를 가지기 위한 조건은

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{3F(\rho)}{\rho}+F'(\rho)<0 \end{aligned} )]

양변을 [math(F(\rho)<0)]으로 나누면 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{F'(\rho)}{F(\rho)}+\frac{3}{\rho}>0 \end{aligned} )]


일반적인 중심력은

[math(\displaystyle F(r)=-{\alpha}r^{n} )]

형태로 주어지는 경우가 많다. [math(\alpha)]는 상수이다.

이 경우 안정된 원 궤도를 갖기 위한 조건을 찾아보자.

[math(\displaystyle \begin{aligned} F(\rho)&=-\alpha \rho^{n} \\ F'(\rho)&=-\alpha n \rho^{n-1} \end{aligned} )]

이므로 위에서 찾은 조건에 대입하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} n>-3 \end{aligned} )]


실제로 아래에서 증명하겠지만, 베르트랑 정리에 따르면 이 힘이 주어질 때, 원 궤도가 존재할 수 있는 조건은 [math(n=-2)]일 때와 [math(n=1)]이다.

5.3. 닫힌 궤도를 존재시킬 수 있는 중심력의 형태[편집]


이 문서를 통해 [math(F \propto r^{-2})]의 중심력이 작용하는 경우에 대해 이체 문제를 풀어봄으로써 중심력에 대한 논의를 하였다. 그렇다면, 이제부터의 논지는 어떠한 형태의 중심력이 닫힌 궤도를 존재시킬 수 있는가?이다.

결론부터 말하자면, 이는 수학적으로 [math(F \propto r^{-2},\,r)]의 형태인 경우에만 가능하다고 알려져있다. 즉, 역제곱장과 훅의 법칙을 만족시키는 중심력만 가능한 것이다.

이에 대해 초급적인 방법으로 증명해보자. 윗 문단의 비네 방정식에 의하면,

[math(\displaystyle \frac{d^{2}u}{d \theta^{2}}+u=J(u) )]

여기서

[math(\displaystyle J(u) \equiv - \frac{\mu }{l^2 u^{2}} F(u^{-1}) )]

이다. 만약 [math(r=r' \equiv u'^{-1})]으로 원 궤도 운동한다면, 비네 방정식은

[math(\displaystyle u'=J(u') )]

우리가 고려하는 것은 닫힌 궤도이므로 원 궤도에서 살짝 섭동을 가하자. [math(J(u))]를 [math(u=u')] 근방에서 전개하면,

[math(\displaystyle J(u)=u'+\left. \frac{dJ}{du} \right|_{u=u'} (u-u') )]

이다. 이차항 부터의 고차항은 무시했다. 이것을 맨 위의 비네 방정식에 대입하고, [math(x \equiv u-u')]라 하면,

[math(\displaystyle \frac{d^{2}x}{d \theta^{2}}+\beta^{2} x=0 \quad \cdots \, (\ast) )]

이고,

[math(\displaystyle \beta^{2} \equiv 1- \left. \frac{dJ}{du} \right|_{u=u'} )]

으로 정의했다. 이때,

[math(\displaystyle \frac{dJ}{du} =-\frac{2J(u)}{u}-\frac{\mu}{l^{2}u^{2}}\frac{dF(u^{-1})}{du} )]

이기 때문에

[math(\displaystyle \left. \frac{dJ}{du} \right|_{u=u'} =-2+\frac{u'}{F(u')} \left. \frac{dF}{du} \right|_{u=u'} )]

으로 쓸 수 있다. 따라서

[math(\displaystyle \beta^{2} =3-\frac{u'}{F(u')} \left. \frac{dF}{du} \right|_{u=u'}=3+ \left. \frac{r}{F}\frac{dF}{dr} \right|_{r=r'} \quad \cdots \, (\#) )]

그런데, 안정적인 원 궤도를 가지려면, [math(\beta^{2}>0)]을 만족해야 함을 위에서 증명했다. 그럴 경우 방정식 [math((\ast))]의 [math(x)]에 대한 해는

[math(\displaystyle x=a\cos{\beta \theta} )]

이고, 원궤도에서 약간 벗어나면서 궤도가 닫히기 위해선 [math(\beta)]는 유리수여야 함을 여기서 얻고, 힘의 형태는 방정식 [math((\#))]를 풀어 다음이 돼야 함을 얻는다.

[math(\displaystyle F(r)=-\frac{\alpha}{r^{3-\beta^{2} } } )]

[math(\alpha)]는 상수이다.

[math(J(u))]를 다시 [math(u=u')] 근방에서 전개해보자.

[math(\displaystyle J(u)=u'+xJ'+\frac{x^{2}}{2}J''+\frac{x^{3}}{6}J''' )]

그렇다면, 위에서의 미분 방정식은

[math(\displaystyle \frac{d^{2}x}{d \theta^{2}}+\beta^{2} x=\frac{x^{2}}{2}J''+\frac{x^{3}}{6}J''' \qquad \cdots \, (\$))]

궤도가 원 궤도에서 약간 벗어나나, 닫힌 궤도를 고려하고 있기 때문에 [math(x)]를 [math(\beta \theta)]에 대해 푸리에 전개한다

[math(\displaystyle x=a_{0}+a_{1}\cos{ \beta \theta}+a_{2}\cos{ 2\beta \theta}+a_{3}\cos{ 3 \beta \theta} )]

식 [math((\$))]의 좌변에 대입하면,

[math(\displaystyle a_{0}\beta^{2}-3\beta^{2}a_{2}\cos{ 2\beta \theta}-8\beta^{2}a_{3}\cos{ 3 \beta \theta} )]

식 [math((\$))]의 우변은 매우 복잡한 계산과 각종 삼각함수 공식을 통해 다음과 같이 전개할 수 있다.

[math(\displaystyle \frac{a_{1}^{2}}{4}J''+\left[ \frac{2a_{0}a_{1}+a_{1}a_{2}}{2}J''+\frac{a_{1}^{3}}{8}J''' \right]\cos{\beta\theta}+\frac{a_{1}^{2}}{4}J''\cos{2\beta \theta}+\left[\frac{a_{1}a_{2}}{2}J''+\frac{a_{1}^{3}}{24}J''' \right]\cos{3\beta\theta} )]

식 [math((\$))]가 성립하려면 각 비선형 항의 계수는 같아야 하므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} a_{0}&=\frac{a_{1}^{2}J''}{4 \beta^{2}} \\ a_{2}&=-\frac{a_{1}^{2}J''}{12 \beta^{2}} \\ 0&=\frac{2a_{0}a_{1}+a_{1}a_{2}}{2}J''+\frac{a_{1}^{3}}{8}J''' \\ a_{3}&=-\frac{1}{8 \beta^{2}} \left[ \frac{a_{1}a_{2}}{2}J''+\frac{a_{1}^{3}}{24}J''' \right] \end{aligned} )]

위의 내용을 참고하면,

[math(\displaystyle J(u)=\frac{\alpha \mu}{l^{2}}u^{1-\beta^{2}} )]

이 돼야하고,

[math(\displaystyle \begin{aligned} J''&=\frac{\beta^{2}(1-\beta^{2})}{u'}\\ J'''&=-\frac{\beta^{2}(1-\beta^{2})(1+\beta^{2})}{u'^{2}} \end{aligned} )]

임을 알 수 있다.

결론적으로, 위에서 나온 4가지 식 중 첫 번째, 두 번째, 네 번째 식을 연립하면, [math(a_{0},\,a_{2},\,a_{3})]는 [math(a_{1})]으로 나타낼 수 있을 것이며, 이것을 세 번째 식에 대입하면,

[math(\displaystyle {\beta^{2}(1-\beta^{2})(4-\beta^{2})}=0 )]

닫힌 궤도를 고려하므로 [math(\beta^{2} \neq 0)]이어야 하므로 가능한 해는

[math(\displaystyle \beta^{2}=1 \,\, \mathsf{or} \,\, \beta^{2}=4 )]


이상에서 닫힌 궤도가 가능한 힘의 형태는 다음 두 가지임을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \beta^{2}=1, \qquad & F(r)=-\frac{\alpha}{r^{2}} \\ \beta^{2}=4, \qquad & F(r)=-{\alpha}r \end{aligned} )]


이는 파리의 수학자 베르트랑(Joseph Bertrand; 1822~1900)이 증명했기 때문에 베르트랑 정리(Bertrand's theorem)라고도 한다.

6. 삼체 문제[편집]


파일:나무위키상세내용.png   자세한 내용은 삼체문제 문서를 참고하십시오.



7. 관련 문서[편집]



[각주]

파일:CC-white.svg 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 이체 문제 문서의 r11에서 가져왔습니다. 이전 역사 보러 가기
파일:CC-white.svg 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 다른 문서에서 가져왔습니다.
[ 펼치기 · 접기 ]
이체 문제 문서의 r11 (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)




파일:CC-white.svg 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 비네 방정식 문서의 r12에서 가져왔습니다. 이전 역사 보러 가기
파일:CC-white.svg 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 다른 문서에서 가져왔습니다.
[ 펼치기 · 접기 ]
비네 방정식 문서의 r12 (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)
문서의 r (이전 역사)




파일:크리에이티브 커먼즈 라이선스__CC.png 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-17 17:14:23에 나무위키 중심력 문서에서 가져왔습니다.