정수

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1. 개요[편집]

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整數 / integer[英]

영어

/ zahlen[獨]

독일어

[1]

임의의 정수의 미지수나 집합 기호로 독일어의 약자인 [math(Z)] 내지 [math( \mathbb{Z} )]를 쓰기도 한다.

[math(n)]이 0 또는 자연수일 때, [math(n+x=0)][2]을 만족하는 모든 [math(x)], 모든 [math(n)]을 통틀어 '정수'라고 한다. 그리고 특정 [math(n)]에 대한 [math(x)]의 표기를 [math(x=-n)]으로 한다.

정수 내에서는 자연수를 양의 정수라 부르며, [math(\{ -1,\,-2,\,-3,\cdots \} )]를 음의 정수라고 한다. [math(0)]은 양의 정수도, 음의 정수도 아닌 정수이다. 집합 기호 표현으로는 독일어의 Zahlen의 앞글자에서 따온 [math( \mathbb{Z} )]를 사용한다.[3] 한자 '정(整)-'은 가지런하다는 뜻을 담고 있다.

유리수의 기약분수 표현에서 분모가 [math(1)]인 것들만이 정수가 된다. 임의의 실수는 정수 [math(n)]과 [math(0 \le x < 1 )]인 소수 [math(x)]의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다는 성질이 있고, 여기서 [math(x)]가 [math(0)]일 때만이 정수가 되는 것은 당연하다. 이때 [math(n)]을 정수부분, [math(x)]를 소수부분이라 한다. 상용로그의 지표와 가수를 생각하면 된다. [4]

정수(와 자연수)의 성질을 연구하는 학문을 정수론이라 한다. 항목을 참고하면 알겠지만 정수론은 수학의 굵직한 분야 중 하나고, 어찌 보면 이는 정수가 실수보다 복잡한 성질을 갖고 있다는 의미이다.[5]

이 정수론에서는 정수 뿐만 아니라, 정수와 비슷하게 덧셈과 곱셈이 정의되고 닫혀 있는 여러 가지 '정수 비슷한 집합'들도 생각한다.[6] 대표적인 예로 정수 [math(a)]가 square free일 때[7] [math(\mathbb{Z}\left[\sqrt{a}\right] = \left\{ n + m \sqrt{a} : n, m\in \mathbb{Z} \right\})] 같은 집합을 생각할 수 있다. [math(a=-1)]일 때 이 집합은 실수부와 허수부가 모두 정수인 가우스 정수(Gaussian integer)라는 이름으로 불린다. 이 가우스 정수에서는 [math(2)]가 소수가 아니게 된다. [math(2=\left(1+i\right)\left(1-i\right))]이기 때문. [math(\sqrt{a})]를 공통수학에서 나오는 3차 단위근 [math(\omega)][8]으로 바꾸면 이 집합은 아이젠슈타인 정수(Eisenstein integer)라는 이름이 붙고, 페르마의 마지막 정리에서 [math(n=3)]인 경우를 증명할 때 사용된다. [9]

컴퓨터 분야에서는 정확도 손실이 불가피한 실수보다는 표현이 확실한 정수가 선호된다. 어찌 보면 암호학이나 전산학 등의 이산수학이 발전하면서, 쓸모없는 정수론에 그나마 눈곱만큼의 수요가 생겼다고 볼 수도 있겠다.

2. 정수 집합의 크기[편집]

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정수 집합 [math(\mathbb{Z})]은 자연수 집합 [math(\mathbb{N})]과 그 농도가 같은데, 자연수 집합 [math(\mathbb{N})]에서 정수 집합 [math(\mathbb{Z})]으로 가는 일대일 함수를 다음과 같이 정의할 수 있기 때문이다.

3. int형 변수(정수형 변수) [편집]

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int형 변수는 실생활에서는 거의 쓰이지 않지만 C언어와 아두이노에서 아주 많이 사용된다.
비트 수에 따라 다르며, 정수형 중 가장 작은 short 형의 경우 최소값이 -32768, 최댓값이 32767이다.

4. 닫혀 있는 연산[편집]

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• 나눗셈을 제외한 사칙연산 전부.
• 실수부 함수 [math(\Re)][10]
  [math(\Re(x) = x \in \mathbb{Z})]
  , 허수부 함수 [math(\Im)][11]
  [math(\Im(x) = 0 \in \mathbb{Z})]
• 부호 함수 [math(\mathrm{sgn})]
• 집합 판별 함수 [math(\bold{1}_{\mathbb P}, \bold{1}_{\mathbb N}, \bold{1}_{\mathbb Z}, \bold{1}_{\mathbb Q}, \bold{1}_{\mathbb I}, \bold{1}_{\mathbb R})] 등
• 어림할 때의 함수 [math(\lfloor \, \rfloor,\lceil \, \rceil)]

5. 목록[편집]

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  자세한 내용은 문서를 참고하십시오.

6. 여담[편집]

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일본어와 중국어에서는 양수를 나타내는 正数(정수)와 발음이 같아서 종종 혼동된다. 整数와 正数는 일본어로 せいすう로 발음이 같고, 중국어에서는 각각 zhěngshù, zhèngshù로 성조만 다르다.[12] 문화어로는 '옹근수'라고 한다.

7. 둘러보기 틀[편집]

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