조화수열

덤프버전 :

분류


이산수학
Discrete Mathematics

[ 펼치기 · 접기 ]
이론
기본 대상
수학기초론(수리논리학 · 집합론) · 수열 · 조합 · 알고리즘 · 확률
다루는 대상과 주요 토픽
수열
등차수열(뛰어 세기) · 등비수열 · 계차수열 · 조화수열 · 귀납적 정의(점화식) · 급수 · 규칙과 대응 · 규칙 찾기 · 피보나치 수열 · 읽고 말하기 수열 · 생성함수
조합
경우의 수(공식) · 순열(완전순열 · 염주순열) · 치환 · 분할(분할수) · 최단거리 · 제1종 스털링 수 · 제2종 스털링 수 · 카탈랑 수 · 벨 수 · 라흐 수 · 포함·배제의 원리 · 더블 카운팅 · 조합론
그래프
수형도(트리) · 인접행렬 · 마방진 · 마법진 · 한붓그리기(해밀턴 회로) · 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제
기타
P-NP 문제미해결 · 4색정리 · 이항정리(파스칼의 삼각형) · 이산 푸리에 변환 · 비둘기 집의 원리 · 상트페테르부르크의 역설 · 투표의 역설 · 에르고딕 가설미해결 · 콜라츠 추측미해결 · 시행착오 (예상과 확인) · 불 논리 · 브라에스 역설
관련 문서
논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 · 컴퓨터 관련 정보 · 틀:수학기초론 · 틀:통계학 · 틀:이론 컴퓨터 과학







1. 개요[편집]

調和數列 / Harmonic sequence(progression)

[math(\{1,\,1/3,\,1/5,\,1/7,\,\cdots\})]처럼 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열을 조화수열이라고 한다. 다시 말해서, 수열 [math(\{1/a_n\})]이 등차수열이면, 수열 [math(\{a_n\})]은 조화수열이다.

현악기의 현의 길이가 조화수열인 [math(\{1,\,1/2,\,1/3,\,1/4,\,\cdots\})]의 형태일 때 화음이 가장 듣기 좋다고 하여 붙은 이름이다.

아래의 성질에서 볼 수 있듯이 수열 4종 세트(등차수열, 등비수열, 조화수열, 계차수열) 중에서 해석학의 성격이 가장 강한 수열이다.

2. 일반항[편집]

등차수열 [math(\{1/{a_n}\})]의 초항이 [math(a)], 공차가 [math(d)]이면 다음이 성립한다.

분류

[math(\dfrac1{a_n}=a+(n-1)d)]

이렇게 되는 이유는 수열의 귀납적 정의 참고. [math(\{1/{a_n}\})]이 등차수열이므로 [math(\{a_n\})]은 조화수열이며 일반항은 다음과 같다.

분류

[math(a_n=\dfrac1{a+(n-1)d})]

만약 조화수열의 초항을 [math(a)]로 둔다면 역수를 취한 등차수열의 초항은 [math(1/a)]이므로 다음이 성립한다.

분류

[math(\begin{aligned}\dfrac1{a_n}&=\dfrac1a+(n-1)d\\&=\dfrac{1+a(n-1)d}a \end{aligned})]


따라서 일반항은 다음과 같다.

분류

[math(\begin{aligned}a_n&=\dfrac a{1+a(n-1)d} \end{aligned})]


3. 조화중항[편집]

[math(a)], [math(b)], [math(c)]가 조화수열의 연속한 세 항일 때, [math(b)]를 [math(a)]와 [math(c)]의 조화중항 또는 조화평균이라고 하며, 세 항은 다음 관계를 만족시킨다.

분류

[math(b=\dfrac{2ac}{a+c})]

이를 증명하여 보자. [math(a)], [math(b)], [math(c)]는 조화수열의 연속한 세 항이므로, [math(1/a)], [math(1/b)], [math(1/c)]은 등차수열을 이룬다.

분류

[math(\begin{aligned}\dfrac1b &=\cfrac{(1/a)+(1/c)}2\\&=\cfrac{{(a+c)}/{ac}}2\\&=\dfrac{a+c}{2ac}\end{aligned})]


따라서 조화중항은 다음과 같다.

분류

[math(\begin{aligned}b&=\dfrac{2ac}{a+c}\end{aligned})]


4. 함수로 해석하기[편집]

조화수열의 일반항은

분류


[math(a_n=\dfrac a{1+a(n-1)d})]

꼴이므로 조화수열은 자연수만을 정의역으로 하는 (상수)/(일차식) 꼴의 유리함수로 해석할 수 있다. [math(ad \neq 0)]인 경우에 한하여 식을 적당히 조작하면

분류

[math(\begin{aligned}a_n&=\dfrac a{1+a(n-1)d}\\ &=\cfrac{{a}/{ad}}{(n-1)+(1/{ad})}\\ &=\cfrac{1/d}{n-\{1-(1/{ad})\}}\end{aligned})]

이므로 [math(n)]축을 횡축, [math(a_n)]축을 종축으로 하여 그린 그래프는 다음과 같은 점근선을 갖는다.

  • [math(n=1-\dfrac1{ad})]
  • [math(a_n=0)]: 횡축([math(n)]축)과 일치

또한 [math(d>0)]이면 우상단과 좌하단에, [math(d<0)]이면 좌상단과 우하단에 그래프가 그려진다.

[math(d=0)]인 경우 0으로 나눌 수 없으므로 분모와 분자를 [math(ad)]로 나누는 계산은 성립하지 않는다. 이 경우 처음 식에 [math(d=0)]을 대입하면 그대로 [math(a_n=a)]의 상수함수가 되므로 그래프가 [math(x)]축에 평행한 직선이 된다.

5. 조화수열의 합[편집]

등차수열이나 등비수열과 달리 조화수열의 합을 구하는 간단한 공식은 없고 보통 아래의 정적분을 이용한다.

분류


[math(\displaystyle H_x=\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,\mathrm{d}t )]

항의 개수가 적을 경우 부분분수분해를 해서 통분하는 것이 더 빠르다. 자세한 내용은 조화수 문서를 참고하라.

6. 극한[편집]

조화수열의 일반항은 등차수열의 일반항의 역수이므로 조화수열

분류


[math(a_n=\dfrac a{1+a(n-1)d})]

의 극한은 [math(a)]의 부호와 관계없이 다음과 같다.

분류

[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\begin{cases}\begin{aligned}&0\; &(d\neq 0)\\&a\; &(d=0)\end{aligned}\end{cases})]


7. 조화급수[편집]

파일:나무위키상세내용.png   자세한 내용은 조화급수 문서를 참고하십시오.


7.1. 제타 함수, 폴리로그함수[편집]

조화급수로 유도되는 특수함수들이다. 자세한 내용은 각 문서 참고.
파일:크리에이티브 커먼즈 라이선스__CC.png 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-17 05:25:49에 나무위키 조화수열 문서에서 가져왔습니다.

관련 문서