질량-에너지 동등성

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2015 개정 교육과정에서는 질량-에너지 등가원리로 개칭되었다.[1]

상대성 이론
Theory of Relativity

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1. 개요

2. 도출 과정

2.1. 로런츠 불변성

2.1.1. 관련 문서

2.2. 가상 실험

2.3. 아인슈타인의 방법

3. 기타

3.1. 응용

1 . 개요[편집]

[math(E=mc^2)]

Mass-Energy Equivalence

알베르트 아인슈타인의 특수 상대성 이론에서 도출되는 원리 중 하나. 많은 사람들에게 위의 식으로 알려져 있다.

질량이 에너지로 바뀔 수 있다로 이야기할 수 있다. 질량이 아무리 작아도 상수 값인 [math(c)][math(^2)]이 무지막지하게 크기 때문에 질량 손실 과정에서 나오는 에너지는 막대하다.[2] 쉬운 예로 핵분열, 핵융합, 물질과 반물질 간의 쌍소멸, 쌍생성 등등이 모두 이것이다. 만화로 보는 현대과학의 세계에서는 히틀러가 "이것 봐! [math(E=mc^2)]에서 C의 제곱만 살짝 떼내면 질량이 곧 에너지잖아?"라고 군침을 흘리고, 그걸 두려워한 미국이 핵을 개발하는 것으로 묘사된다.

정확한 뜻은 질량과 에너지는 똑같은 본질의 다른 형태라는 것이다. 이 때문에 핵 발전은 적은 질량의 연료로도 많은 에너지를 방출할 수 있다. 물론 반대로 에너지가 질량으로도 바뀔 수 있다. 이를 당연한 상식으로 여기는 핵물리에서는 에너지와 질량의 단위를 구분하지 않는다.[3]

E= 에너지(Energy)
m = 질량(Mass)
c= 광속(Speed of light)

세세하게 따지면 [math(E=mc^2)]는 정지해 있는 물체 또는 빛보다 훨씬 느린 물체에게만 적용되는 공식으로, 확장한 버전이 2개 있다. 4-운동량의 노름과 정지 상태로의 좌표변환을 통해 얻는다. 다른 증명 과정은 상대론적 역학 문서의 5번 문단 참고.

[math(\begin{aligned}
E^2 &= (mc^2)^2+(pc)^2 \\
E &= \gamma mc^2
\end{aligned})][4][5]

2 . 도출 과정[편집]

2.1 . 로런츠 불변성[편집]

위 상대론적 역학 링크에서는 로런츠 불변성과 연관지어 설명되어 있다. 상대론적 운동량과 에너지는 다음과 같이 쓰인다.

[math(p=\gamma mv, \quad E=\gamma mc^2)]
(단, [math(\gamma = \dfrac1{\sqrt{1- \dfrac{v^2}{c^2} } }))]

그런데, 테일러 전개라는 미적분학의 매우 간단한 기술을 사용하면 상대론적 에너지를 아래와 같이 쓸 수 있다.[6]

[math(\begin{aligned}
E &= \gamma mc^2 \\
&= mc^2 +(\gamma-1) mc^2 \\
&= mc^2 +mc^2 \cdot \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \, \cdots \, \cdot (2n-1)}{2^n \cdot n!} \left( \frac{v^2}{c^2} \right)^{\!n} \\
&= {\color{green} mc^2} +{\color{purple} \dfrac12 mv^2} +\dfrac38 m \dfrac{v^4}{c^2} +\cdots \\
&\approx {\color{green} mc^2} +{\color{purple}\dfrac12 mv^2}
\end{aligned})]

(근사식은 [math(v)]가 충분히 작은 속력일 때만 유효함)

두 번째 항은 고전물리학에서 나타난 운동에너지이다. 위 상대론적 에너지는 느린 속력에서 고전물리학을 근사적으로 쓸 수 있음을 말한다. 첫 번째 항은 속력이 0일 때 나오는 항이다. 속력이 0일 때 운동에너지도 0이어야 한다. 이 항이 바로 질량 자체가 가진 에너지이다.

2.1.1 . 관련 문서[편집]

상대론적 역학

2.2 . 가상 실험[편집]

그런데 이 로런츠 불변성을 이용한 설명 외에 다른 방법이 있다. 시간 지연, 길이 수축에서 달리는 열차 모형을 도입하여 도출하는 방법이 나와 있다. 이와 비슷하게, 질량과 에너지의 정량적 관계를 계산하는 모형을 세울 수 있다. 출처

(1) 위 그림에서 상자의 왼쪽 벽에서 질량([math(m)]) 결손[8]
핵분열, 핵융합, 입자-반입자 충돌 등
으로 에너지가 발생한다.
- 그 에너지가 전부 빛의 형태로 나온다고 가정한다. 빛을 가정하는 것은 운동량과 에너지의 관계식이 명확히 주어져 있기 때문이다. [math(E=pc)]
- 빛의 일부는 벽에 반사하면서 상자에게 왼쪽으로 운동량 [math(p)]를 가한다.
- 이때 상자의 질량 [math(M)]은 충분히 크다고 가정한다. 질량을 크게 잡음으로써 충분히 느린 속도 [math(v)]에서 고전적인 운동량의 식 [math(p=Mv)]를 쓸 수 있도록 한다. 또한 상자로 전달되는 에너지도 작아져서 빛의 에너지 손실도 충분히 줄일 수 있다.[7]
  [math(K=\frac{p^2}{2m})]에서 알 수 있듯이, 같은 운동량이라 해도 운동에너지는 질량이 클수록 작아진다.
(2) 빛이 반대편 벽으로 움직인다. 이때 빛이 [math(X)]를 움직이는 사이 상자는 반대쪽으로 [math(\Delta x)]만큼 움직인다고 잡는다.
(3) 빛이 모여서 에너지가 다시 질량 형태로 생겨나고 상자는 다시 멈춘다. 외부로 나오는 에너지 손실은 없다고 가정한다. 이 상황에서 운동량과 소요시간 관계식을 세울 수 있다.

[math(E=pc=Mcv)]
[math(\Delta t = \cfrac Xc = \cfrac{\Delta x}v)]
또한 계에서의 운동량 총합은 0으로 일정하다. 처음과 끝에서 상자와 입자가 모두 정지해 있기 때문이다. 따라서 질량중심의 위치는 변하지 않는다.([math(x_1,\ x_2)]는 상자의 질량중심과 입자의 처음 위치)
[math(\cfrac{Mx_1+mx_2}{M+m} = \cfrac{M(x_1-\Delta x)+m(x_2+X)}{M+m})]
이 식을 이항하면 [math(M\Delta x=mX)]가 되고, 여기에 두 번째 식을 대입하면 [math(Mv=mc)]가 된다. 양변에 {[math(c)]를 곱하고 첫 번째 식을 대입하면 [math(E=mc^2)]을 이끌어낼 수 있다.

2.3 . 아인슈타인의 방법[편집]

질량과 "일반적인" 에너지의 관계에 대해서 처음 탐구한 물리학자는 물론 아인슈타인이다. '기적의 해'[9]라 불리는 1905년, 6월에 첫 특수 상대성 이론 작업물, 즉 새로운 운동학을 도입하는 논문("운동체의 전기동역학에 대하여"; Zur Elektrodynamik bewegter Körper)을 낸 직후 9월 "물체의 관성은 그 물체의 에너지양에 의존하는가?" (원문: "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?")에서 그 첫번째 시도가 등장한다.

먼저, 이 방법에서 증명하는 것은 에너지와 질량의 일반적인 관계가 아니라 에너지의 감소가 질량의 감소로 이어진다는 것([math(\Delta E = \Delta m c^2)])이다. 또한 이 방법은 근사적이며 결정적이라고 부를 만한 증명은 아니다.[10] 어찌 보면 당연한 것이, 제대로 된 특수 상대성 이론이 등장한지 3개월 밖에 되지 않은 시점이며(양자역학이 발표되고 3개월 된 시점이라 생각하면 된다), 아인슈타인 스스로도 자신이 맞는 결론을 유도한건지 조심스러워 했다.

전기동역학 연구(특수 상대성 이론)의 한 결과가 내 마음을 사로잡았네. 맥스웰의 근본 방정식과 함께, 상대성 원리는 질량이 물체의 에너지 함량을 측정한 것임을 요구하네. 빛은 질량을 옮기는 거야. 라듐의 경우에는 질량의 충분한 감소가 있을 거야. 사고 방식은 흥미롭고 매혹적이네. 하지만 전지전능한 신께서 보고 비웃거나, 나를 쥐고 흔들고 있는 건 아닐지 모르겠네.
A consequence of the study on electrodynamics did cross my mind. Namely, the relativity principle, in association with Maxwell's fundamental equations, requires that the mass be a direct measure of the energy contained in a body; light carries mass with it. A noticeable reduction of mass would have to take place in the case of radium. The consideration is amusing and seductive; but for all I know, God Almighty might be laughing at the whole matter and might have been leading me around by the nose.

해당 발견 직후 친구 콘라트 하비츠(Conrad Habicht)에게 쓴 편지.

또한 아인슈타인의 애초 목적은 엄밀한 식의 유도가 아니라 일반적인 관계를 논하기 위함이었으며, 이후 보다 만족스러운 증명을 시도한 후속 논문을 여러차례 내었다. 이후 플랑크, 라우에 등 상대성 이론을 연구하는 학자들이 해당 주제를 연구하기 시작하면서 보다 정확한 증명들이 등장하였다. 이제 다음 논증을 살펴보자.

상대론적 도플러 효과에 의하면 빛의 진동수는 관측자에 따라 다르다.

[math(f' = f \dfrac{\sqrt{1+\dfrac vc}}{\sqrt{1-\dfrac vc}}=f \dfrac{1+\dfrac vc}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}})]

빛의 에너지는 진동수에 비례하므로

[math(E'=E \dfrac{1+\dfrac vc}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}})]

여기서 [math(v)]는 물체들이 서로 다가갈시 양수이고, 멀어질 시 음수이다.

이제 원점에 어떤 물체가 정지해있고, [math(E_0)]만큼의 에너지를 가지고 있다고 하자. 당신은 이 물체를 향해서 [math(v)] 만큼의 속력으로 달린다. 당신의 관점에서 이 물체의 에너지는 [math(H_0)]라 하자. 잠시 후, 이 물체는 두 방향으로 똑같은 에너지를 가진 광자를 하나씩 방출한다. 하나는 당신이 달려오는 방향으로, 하나는 반대 방향으로. 광자 하나의 에너지를 [math(\frac{E}{2})]라 하자. 양쪽으로 똑같은 광자를 방사했으므로, 이 물체가 보기에는 자신은 여전히 정지해있으며, 느낀 총 가속도는 0이다. 정지해 있는 관점에서 본, 방출 후 물체의 에너지는

[math(E_1 = E_0-\dfrac E2 - \dfrac E2 = E_0-E)]

반면, 당신이 보기에는 이야기가 살짝 다르다. 도플러 효과 때문에 당신에게 쏘인 광자와 반대 방향으로 쏘아진 광자는 에너지가 다르다. 그러므로 당신이 보기에 광자 2개를 잃은 물체가 가진 에너지는

[math(H_1 = H_0 - \dfrac E2 \dfrac{1+\dfrac vc}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}-\dfrac E2 \dfrac{1-\dfrac vc}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} = H_0 - \dfrac E{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}})]

광자 방출 전에 물체가 가진 운동 에너지를 [math(K_0)], 방출 후의 운동 에너지를 [math(K_1)]라 하면,

[math(K_0=H_0-E_0)]
[math(K_1=H_1-E_1)]

우리가 흥미를 가지고 있는 값은 [math(K_0-K_1)]다. 즉, 빛을 방출하므로써 물체가 잃은 운동 에너지.

[math(K_0-K_1 = (H_0-E_0)-(H_1-E_1) = (H_0-E_0)-{\left(H_0-\dfrac E{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}-E_0+E\right)} \\
K_0-K_1=E{\left(\dfrac1{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}-1\right)})]

우변을 (중심을 [math(v=0)]으로 잡고) 테일러 급수로 전개하면

[math(K_0-K_1 = E{\left\{{\left(1+\dfrac{v^2}{2c^2}+\cdots\right)}-1\right\}} \approx \dfrac E2\dfrac{v^2}{c^2})]

여기서 잠깐 생각을 해보자. 물체의 관점에서 물체는 전혀 외력을 느끼지 못했고, 속도도 변하지 않았다. 따라서 달리고 있는 당신이 보기에도 물체의 속력은 변하지 않았다. 하지만 운동 에너지는 변했다. 운동 에너지는 [math(\frac{1}{2}mv^2)]인데, [math(v)]가 같다면 달라진건 [math(m)], 즉 질량이다. 물체가 잃은 이 질량을 [math(\Delta m)]이라고 하자.

[math(K_0-K_1 = \cfrac12\Delta mv^2 = \cfrac E2\cfrac{v^2}{c^2})]
[math(\Delta m = \dfrac E{c^2})]
[math(E=c^2\Delta m)]

즉, 물체가 잃은 질량의 양을 그냥 [math(m)]이라 하면,

[math(E=mc^2)]

3 . 기타[편집]

아인슈타인이 직접 설명하는 [math(E=mc^2)]

It followed from the special theory of relativity that mass and energy are both but different manifestations of the same thing.

특수 상대성 이론에 따르면, 질량과 에너지는 본질적으로 같지만 다른 형태로 나타납니다.

a somewhat unfamiliar conception for the average mind.

다소 일반적인 생각으로서는 이해 가지 않는 생소한 개념일 수 있습니다.

Furthermore, the equation "E" is equal to "M C squared" in which energy is put equal to mass multiplied with the square of the velocity of light showed that a very small amount of mass may be converted into a very large amount of energy, and vice versa.

게다가, 에너지가 질량 곱하기 빛의 속도를 제곱한 것과 같다는 방정식 [math(E=mc^2)]은 극소량의 질량이 매우 큰 에너지로 변환될 수 있고, 에너지 또한 질량으로 변환될 수 있다는 것을 보여줍니다.

The mass and energy were in fact equivalent according to the formula mentioned before.

다시 말해, 질량과 에너지는 방금 언급했던 공식에 따라 본질적으로 같습니다.

This was demonstrated by Cockroft and Walton, in 1932, experimentally.

이것은 1932년 콕크로프트와 월턴에 의해 실험적으로도 증명된 바 있습니다.

스티븐 호킹이 저술한 물리학서적인 '시간의 역사'에서 유일하게 등장하는 수식이 이것이다. 호킹의 말에 따르면, '수식 하나가 들어갈 때마다 책의 판매 부수가 절반씩 줄어들 것'이라고 편집부에서 충고했단다.
공식 자체가 무척 간결하면서 현대물리학의 상징과도 같기 때문에 수많은 물리학과, 원자력 관련 학과의 상징으로 쓰이며 해당 학과의 과T, 과잠바 등에 박히던가 관련 연구소, 기업 등의 상징물로 흔하게 쓰이기 때문에 이쪽이 전공이 아닌 사람들도 익숙할 정도다.
원자량과 그 원자의 구성요소[11]
양성자, 중성자, 전자
의 정지 질량의 합이 다른 이유도 핵자의 강한 상호작용을 유지하기 위해 질량 일부가 손실되기 때문이다. 원자량과 정지 질량의 합이 같은 경우는 중성자가 없는 경수소 하나 뿐이다.

에이지 오브 엠파이어에서 치트 e=mc2 trooper를 입력하면, 마을 회관(Town Center)에서 핵을 발사하는 Nuke Trooper가 등장한다. 상대성 이론 공식이 치트키로 쓰인 것이다.

This little boy is not really interested in the theory of relativity, but splits atoms for destructive purposes. The astronaut suit masks his evil doings as acts in the name of science.

정광태 1집에 실린 동요 "아인슈타인" 에서 "E=MC²물질이 힘으로 변하네" 라는 가사가 있는데, 힘과 에너지를 구분하지 못하는 오개념이 실리는 바람에 물질이 힘으로 변한다고 잘못 아는 사람이 꽤 있다.#

집중력 학습기 엠씨스퀘어의 아름도 여기서 유래했다.

[1] 다만 2022 EBS 수능특강 물리학I에는 질량-에너지 동등성이라고만 표기되어있다.[2] 작은 질량도 거대한 에너지로 변환될 수 있다는 것을 의미한다.[3] 물론 국제단위계의 지침상 이는 엄연히 틀린 용법인데, 질량의 단위가 [math({\rm eV}/c^2)]이 된 시점에서 이미 [math(c\to1)]의 규격화가 적용된 것이기 때문이다. 비단 광속뿐만 아니라 [math(\hbar\to1)] 따위의 규격화는 [math(c=1)], [math(\hbar = 1)] 같은 식으로 잘못 알려져 있고, 애초에 저 규격화가 자주 쓰이는 자연 단위계에서는 모든 물리량이 무차원화되어 있기 때문에 단위나 차원을 따지는 것이 무의미하다. 즉, 으레 [math(E = m)]이라고 나타내는 것 역시 원래는 무차원량화 기호 [math(E_{\rm N})], [math(m_{\rm N})] 따위를 써서 [math(E_{\rm N} = m_{\rm N})]으로 나타내는 것이 올바른 표현이다. 자세한 것은 자연 단위계 참고.[4] [math(\gamma)]는 로런츠 인자이다. 표기가 같은 오일러-마스케로니 상수와 혼동하지 말자.[5] 물체가 빛보다 현저히 느려 로렌츠 인자의 값을 1로 보는 경우, 익숙한 형태의 식이 도출된다.[6] 상대성 이론의 전제와 식으로부터, 실제 존재하는 물질이든 타키온과 같은 가상의 물질이든 광속이 아닌 물체를 광속으로 만드는 것은 불가능하다. 질량에 상관없이 광속으로 가속(타키온일 경우 감속)하는 데 필요한 에너지는 무한히 크기 때문이다.[7] [math(K=\frac{p^2}{2m})]에서 알 수 있듯이, 같은 운동량이라 해도 운동에너지는 질량이 클수록 작아진다.[8] 핵분열, 핵융합, 입자-반입자 충돌 등[9] 아이작 뉴턴이 미분과 만유인력의 법칙을 발견하고 개발한 1665~1667년, 그리고 그가 프린키피아를 낸 1687년도 기적의 해라는 별명을 갖고 있다. ~~혼자서 다 해먹는 고전물리학자들~~[10] 순환 논법을 사용했다는 지적, "원초적 원리" (first principles)에 의지하지 않고 제대로 검증/증명되지 않은 식들을 썼다는 지적, 근사값을 너무 많이 썼는 지적(테일러 급수 사용, 고전적 운동 에너지인 [math(\frac{1}{2}mv^2)] 사용) 등등.. 애초에 특수 상대성 이론 자체가 [math(E=mc^2)]를 증명하기에는 부족하다는 의견도 있다.[11] 양성자, 중성자, 전자

3.1 . 응용[편집]

1. 원자력 발전소: 원자력 발전소에서는 핵분열 반응을 통해 질량을 에너지로 변환된다. 이러한 반응에서 방출되는 에너지가 전기를 생산하는 데 사용된다.

2. 핵무기: 작은 양의 질량이 엄청난 파괴적인 에너지로 변환되는 원리를 활용한다.

3. 핵융합 연구: 질량을 에너지로 변환한다.

4. 우주 탐사: 로켓 연료를 소모하여 우주로 발사되는 에너지는 질량의 손실로 인한 것이다.

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질량-에너지 동등성

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1. 개요[편집]

2. 도출 과정[편집]

2.1. 로런츠 불변성[편집]

2.1.1. 관련 문서[편집]

2.2. 가상 실험[편집]

2.3. 아인슈타인의 방법[편집]

3. 기타[편집]

3.1. 응용[편집]

관련 문서