차원분석
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dimensional analysis · 次元分析
1. 개요[편집]
특정 물리량의 차원을 정의하기 위해 기본적인 도량형으로 분해하는 것. 차원해석이라고도 한다.
도량형을 쓰다 보면 상당수의 도량형이 기본적인 물리량[1]의 곱 또는 몫으로 이뤄져 있음을 알 수 있는데, 이를 각 차원으로 분해하는 것을 차원분석이라고 한다. 가령 연비는 (달린 거리)[math(\div)](소모한 연료 부피)로 정의되며 각각의 차원은 [math(\sf L)], [math(\sf L^3)]이므로 연비의 차원은 [math(\sf \dfrac L{L^3} = L^{-2})]이 된다.[2]
주의할 점은 차원분석의 결과가 해당 도량형의 본래 의미와는 같지는 않다는 점이다. 가령 허블 상수[3]를 차원분석하면 [math(\sf T^{-1})]이라는 차원이 나오지만, 해당 물리량의 단위로 똑같이 [math(\sf T^{-1})]인 [math(\rm Hz)]나 [math(\rm Bq)][4], [math(\rm RPM)][5]을 붙일 수 없다. 또한 위의 연비도 넓이와는 하등 관계가 없는 물리량이다.
한국에서는 생소하게 비춰질 수 있는 개념이라[6], 이로 인해 우주의 팽창에 관하여 같은 병폐가 나오기도 한다.
2. 무차원화[편집]
nondimensionalization
차원분석을 통해 특정 현상(계, system)로 부터 무차원량을 도출하는 것을 무차원화라고 한다. 이렇게 도출된 무차원량은 현상을 분석하고 비교하는 데 유용하게 쓰인다. 가령 항공기 축소모형의 풍동실험의 경우, 항공기 주변 공기의 흐름(유동)과 풍동 내 유동의 레이놀즈 수를 같게 하면 정확한 결과를 얻을 수 있다. (유동의 상사성, similarity)
또한, 어떤 물리법칙을 나타내는 방정식은 양변의 차원이 일치한다. 이를 이용해, 구하고자 하는 물리량의 차원과 그 물리량에 영향을 주는 변수와 상수들의 차원을 안다면 변수와 상수들의 관계를 파악할 수 있다. 다만 구체적인 비례 상수의 값은 도출시킬 수 없다.
많은 변수들을 기본 차원과 무차원 변수들로 줄여 해석할 수 있어 계산에 변수가 많은 유체역학에서는 주요한 방법으로 자리잡았다.
3. 레일리의 방법[편집]
Rayleigh's method
영국의 수학자이자 물리학자인 존 윌리엄 스트러트 '제3대 레일리 남작'(John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh, 1842 ~ 1919)에 의해 고안된 방법으로, 미지의 물리량이 다른 독립 변수적인 물리량을 이용하여 어떤 꼴의 수식으로 표현될지를 대략적으로 가늠할 수 있게 해주는 방법이다.
미지의 물리량 [math(q)]가 다른 독립 변수적인 물리량 [math(q_i)]들의 영향을 받는다고 할 때, 수학적으로 [math(q)]는 [math(q_i)]들을 이용한 함수 [math(q = g(q_1,\,q_2,\,\cdots,\,q_n))]꼴로 표현할 수 있다. 이때 물리량은 근본적으로 차원을 내포하고 있으므로 양변의 차원 역시 자명하게 같아진다. 즉
이를 차원 동차성(dimensional homogeneity)의 원리라고 하며, 레일리의 방법은 차원 동차성의 원리를 바탕으로 한다.
[math(g)]는 기본적으로 [math(q_i)]들의 사칙연산으로 표현되는 함수일 것[7]이나 차원 문서에도 나타나있듯, 차원이 다른 물리량끼리는 덧셈 및 뺄셈 연산으로 나타낼 수 없고(차원 동차성의 원리), 이는 달리 말하자면 [math(g)]가 여러 항들의 합으로 표현된다 하더라도 각항의 차원이 모두 같다는 것을 의미한다. 따라서 [math(g)]를 곱셈/나눗셈으로만 구성된 함수인 경우로 간소화하면 [math(q)]를 [math(q_i)]들로 표현했을 때의 지수 관계식을 유추할 수 있고 대략적인 식의 형태를 알아낼 수 있다.
단, 이 방법으로는 [math(g)]에 무차원량의 계수가 포함되는지 아닌지, 포함된다면 몇 개의 무차원량이 포함되는지에 대한 정보까지는 알아낼 수 없다는 단점이 있다.
3.1. 예시1: 단진자의 주기[편집]
실의 길이가 [math(l)], 추의 무게가 [math(w)]인 단진자가 중력가속도가 [math(g)]인 진공[8] 중에서 운동하는 상황을 가정하자. 이때 주기 [math(T)]를 구하여 보자.
먼저, 각 물리량들의 차원을 살펴보면
이다.
이제 임의로 [math(T)]가 [math(l)], [math(w)], [math(g)]의 곱으로 표현된다고 가정하여 [math(T = l^\alpha w^\beta g^\gamma)]라 놓으면 차원 동차성의 원리에 따라 양변의 차원이 같아야 하므로
좌우변의 지수를 비교하면, 좌변에 [math(\sf M)]과 [math(\sf L)]이 없으므로 [math(\beta=0)], [math(\alpha+\beta+\gamma = 0)]에서 [math(\alpha+\gamma = 0)], 즉 추의 무게[9]는 주기에 영향을 미치지 않음을 알 수 있다. 또한 좌변의 [math(\sf T)]의 지수가 [math(\sf1)]이므로 [math(-2\beta-2\gamma = -2\gamma= 1)]에서 [math(\gamma = -\dfrac12)]이고 따라서 [math(\alpha = \dfrac12)]이 되므로 원래의 식에 대입하면
단진자의 주기에 관한 일반해는 완전 제1종 타원 적분 [math(K{\left(\sin\dfrac{\theta_0}2\right)})] (단, [math(\theta_0)]는 진동 초기의 각도)를 이용하여
로 나타내어지므로 무차원량인 계수 [math(4K{\left(\sin\dfrac{\theta_0}2\right)})]를 제외하고 식의 형태가 똑같다는 것을 알 수 있다.
4. 버킹엄의 π 정리와 파이 방법[편집]
Buckingham's Pi theorem
상기 레일리의 방법에 선형대수학의 차원 정리를 도입하여 체계화한 것으로 1914년에 에드가 버킹엄(Edgar Buckingham, 1867 ~ 1940)에 의해 정립되었다. 개념의 최초 증명 자체는 1878년에 프랑스의 수학자 조제프 베르트랑(Joseph Bertrand, 1822 ~ 1900)에 의해 전기역학과 열전도의 문제에 관한 특수한 경우들에 한하여 이루어진 것으로 알려져 있고, 사실 버킹엄 이전에도 정식으로 일반화한 수학자들은 여럿 있었으나 무차원량을 의미하는 [math(\pi)][10]를 이용하여 정립한 것은 버킹엄이 최초이다.
정성적으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.
좀 더 수학적인 방식으로 서술하면 다음과 같다.물리학적으로 의미가 있는 어떤 방정식이 [math(n)]개의 독립적인 물리량으로 표현되며 해당 방정식을 구성하는 기저 차원이 [math(k)]개라고 할 때, 그 방정식은 [math(p = n-k)]개의 무차원량 매개변수 [math(\pi_1,\,\pi_2,\,\cdots,\,\pi_p)]를 포함하는 식으로 바꿔쓸 수 있다.
이 정리 덕분에 주어진 물리 변수들 간의 구체적인 관계식을 모르더라도 해당 방정식을 구성하는 무차원량을 찾을 수 있고, 방정식을 구성하는 변수가 간략화된다는 특징이 있기 때문에 해석이 좀 더 용이해진다.[math(n)]개의 독립 변수인 물리량 [math(q_i)]가 다음과 같은 관계식
||<tablealign=center><bgcolor=#eee,#2D2F34><tablebordercolor=#eee,#2D2F34> [math(f(q_1,\,q_2,\,\cdots,\,q_n) = 0)][11]
||을 만족하고 해당 관계식을 구성하는 기저 차원이 [math(k)]개라고 할 때, 위 관계식은 [math(p = n-k)]개의 무차원량인 [math(\pi_i)]를 이용하여
||<tablealign=center><bgcolor=#eee,#2D2F34><tablebordercolor=#eee,#2D2F34> [math(F(\pi_1,\,\pi_2,\,\cdots,\,\pi_p) = 0)] ||
으로 나타낼 수 있고, 이때 [math(\pi_i)]는 다음을 만족한다.
||<tablealign=center><bgcolor=#eee,#2D2F34><tablebordercolor=#eee,#2D2F34> [math(\displaystyle\pi_i = \prod_{i=1}^n{q_i}^{a_i})] ||
(단, [math(a_i)]는 유리수)
단, 물리량이나 차원을 배열하는 순서에 따라 얻어지는 [math(\pi_i)]는 천차만별인데다 이렇게 얻어진 무차원량이 물리학적으로 꼭 어떤 의미를 갖는다는 보장은 없다. 처음에 관계식을 구성할 때 누락되거나 무시되는 물리량이 있다면 무차원량의 개수도 그만큼 줄어들고, 1차원의 변위가 아닌 3차원의 공간 좌표 각각을 독립된 변수로 다루게 되면 거꾸로 그만큼 무차원량의 개수가 늘어나기 때문이다. 버킹엄의 [math(\pi)] 정리는 어디까지나 무차원량을 찾는 여러 방법 중 하나를 알려주는 것에 불과하다.
증명을 위해서는 유리수체 위에 정의된 벡터 공간 [math(\mathbb R^{k\times n})]에 속하는 차원 행렬 [math(M)]을 먼저 정의할 필요가 있다. [math(M)]의 [math(j)]번째 열벡터는 분석하고자 하는 방정식에서 [math(j)]번째 물리량이 갖는 기저 차원의 지수를 성분으로 갖는다고 하자. 앞선 단진자의 경우를 예로 들면, 기저 차원은 [math(\sf M)], [math(\sf L)], [math(\sf T)]이고 물리량은 [math(l)], [math(w)], [math(g)], [math(T)]이므로 이 순서대로 행과 열을 나열하여 차원 행렬 [math(M)]을 만들어보면
에서
가 된다.
이렇게 벡터 공간을 정의하면 무차원량은 기저 차원의 지수가 모두 0이므로 해당 벡터 공간의 영벡터([math(\bf0)])에 해당하며 [math(M{\bf a} = {\bf0})] (단, [math({\bf a} \ne {\bf0})]), 즉 [math(M)]을 영벡터로 만드는 영공간(kernel, 핵) [math(\bf a)]의 존재 여부를 고려해볼 수 있다. 핵이 존재할 경우 그 성분을 그대로 대응되는 원래 물리량의 지수에 대입하면 차원이 모두 약분된 무차원량을 얻을 수 있게 된다.
한편, 계수-퇴화차수정리에 따라
이며 차원 행렬 [math(M)]의 차수(rank)는 방정식을 구성하는 기저 차원의 개수와 같으므로 [math({\rm rank}\,M = k)]. 따라서 [math(\ker M = n - {\rm rank}\,M = n-k)]이며 이 값이 의미하는 바는 원래 방정식의 관계식에 포함되는 무차원량의 개수이다.
만약 [math(n = k)]이라서 [math(p=0)], 즉 무차원량이 없다는 결론이 나올 경우 차원 행렬 [math(M)]의 모든 열벡터가 독립인 것과 동치이기 때문에 애초에 방정식 자체가 잘 정의되지 않는다.[12] 이런 경우 해당 방정식에 영향을 줄 법한 다른 독립 변수를 찾거나 적당한 차원을 갖는 물리 상수를 도입하면 해결되는 경우가 있다. 즉, 물리학적으로 의미가 있는 방정식이 성립한다면 반드시 [math(p\ge1)]을 만족한다.
다시 앞선 단진자의 예시를 보면, 위에서 구한 [math(M)]은 기본행연산을 통해
가 되므로 [math({\rm rank}\,M = 3)]이며 [math(p = 4 - 3 = 1)]개의 무차원량 [math(\pi_1)]을 이용한 식으로 바꿔 쓸 수 있다. [math(M{\bf a} = {\bf0})]을 만족하는 핵 [math(\bf a)]는 다음과 같으므로
원래 물리량의 관계식 [math(f(l,\,w,\,g,\,T) = 0)]은 [math(F(\pi_1) = 0)]으로 나타낼 수 있고 [math(\pi_1)]은 핵의 성분을 대응되는 물리량의 지수에 대입한 것과 같으므로
이며 이 값은 단진자의 주기 일반해 [math(T = 4\sqrt{\dfrac lg}K{\left(\sin\dfrac{\theta_0}2\right)})]로부터 [math(\pi_1 = 16{\left\{K{\left(\sin\dfrac{\theta_0}2\right)}\right\}}^2)]이다.
4.1. 예시2: 레이놀즈 수 유도[편집]
유체의 평균 속도 [math(v)]는 유체의 특성 길이 [math(D)], 유체의 점성계수 [math(\mu)], 유체의 밀도 [math(\rho)]의 영향을 받는다고 하자.
각 물리량의 차원을 분석해보면
따라서 차원 행렬 [math(M)]은 다음과 같고 기본행연산을 해주면
이므로 [math(\ker M = 3)]에서 네 물리량의 관계식 [math(f(v,\,D,\,\mu,\,\rho) = 0)]은 [math(p = 4 - 3 = 1)]개의 무차원량 [math(\pi_1)]을 이용하여 [math(F(\pi_1) = 0)]으로 나타낼 수 있고, 핵 [math(\bf a)]가
이므로 무차원량 [math(\pi_1)]은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
위 식은 레이놀즈 수의 형태와 정확하게 일치한다. 즉 [math(\pi_1 = Re)]이다.
4.2. 예시3: 유체 속의 매끄러운 구형 물체가 받는 항력[편집]
밀도 [math(\rho)], 점성계수 [math(\mu)], 유속 [math(v)]로 흐르는 유체 속에 지름이 [math(d)]이고 표면이 매끄러운[13] 구형의 물체가 받는 항력 [math(D)]를 구해보자.
각 물리량의 차원을 분석해보면
가 되어 방정식을 구성하는 기저 차원이 [math(\sf M)], [math(\sf L)], [math(\sf T)]로 3개이고, 물리량은 5개가 주어져있으므로 버킹엄의 [math(\pi)]정리에 따르면 무차원량이 2개 얻어질 것이다.
따라서 차원 행렬 [math(M)]은 다음과 같고 기본행연산을 해주면
그러므로 핵 [math(\bf a_1)], [math(\bf a_2)]는 다음과 같이 된다.
따라서 [math(\pi_1 = \rho\mu^{-1}vd = \dfrac{\rho vd}\mu)], [math(\pi_2 = \rho\mu^{-2}D = \dfrac{\rho D}{\mu^2})]가 얻어지며, [math(\pi_2)]에 [math(\mu = \dfrac{\rho vd}{\pi_1})]를 대입하면
[math(\dfrac{\pi_2}{{\pi_1}^2})]항을 역시 무차원량인 항력 계수 [math(C_D)]를 이용하여 [math(\dfrac{\pi_2}{{\pi_1}^2} = C_D\dfrac\pi8)]로 놓으면
이 되고 위 식은 항력의 식 [math(D = \dfrac12C_DA\rho v^2)]에서 유체가 통과하는 구의 단면적 [math(A = \dfrac{\pi d^2}4)]이 적용된 형태임을 알 수 있다.
덧붙여 [math(\pi_1)]은 앞선 예시2에서 구한 레이놀즈 수 [math(Re = \dfrac{\rho vD}\mu)]의 형태와 똑같다는 것을 알 수 있는데, [math(C_D = \dfrac8\pi\dfrac{\pi_2}{{\pi_1}^2} = \dfrac8\pi\dfrac{\pi_2}{Re^2})]에서 항력 계수가 레이놀즈 수를 변수로 삼는 함수임을 유추할 수 있는 대목이다.
4.3. 예시4: 감쇠진동[편집]
감쇠진동의 운동방정식은 질량 [math(m)], 감쇠계수 [math(c)], 용수철상수 [math(k)]를 이용하여 다음과 같이 나타내어진다.
일반적으로는 식 전체를 [math(m)]으로 나누고, 감쇠시간 [math(\tau = \dfrac mc)], 고유각진동수 [math(\omega = \sqrt{\dfrac km})]라는 2개의 매개변수를 도입하여
로 표현되지만 버킹엄의 [math(\pi)] 정리를 이용하면 독립 물리량이 3개, 기저 차원이 [math(\sf M)], [math(\sf T)]로 2개이므로 무차원의 물리량 단 한 개만으로 표현할 수 있다.
[math(\dim m = {\sf M})], [math(\dim c = {\sf MT^{-1}})], [math(\dim k = {\sf MT^{-2}})]이며 차원 행렬 및 기본 행연산으로 얻어지는 행렬과 핵은 다음과 같으므로
[math(\pi_1 = mc^{-2}k = \dfrac{mk}{c^2})]가 얻어지고 [math(\dfrac1{2\sqrt{\pi_1}} = \dfrac c{2\sqrt{mk}})]가 바로 감쇠진동의 감쇠비(damping ratio) [math(\zeta)]이다. 실제로 위 운동방정식은 초기 조건 [math(x_0)]에 대하여 시간 [math(t)]가 아닌 무차원 시간 [math(t_{\rm N} = \omega t)]을 변수로 하는 무차원 진폭 [math(\chi = \dfrac x{x_0})]의 방정식
으로 바꿔서 나타낼 수 있다.
5. 입슨의 방법[편집]
Ipsen's method
캘리포니아 대학교 버클리 캠퍼스의 공학 연구원이던 데이비드 입슨(David C. Ipsen)이 자신의 저서 《단위, 차원, 그리고 무차원 수》(Units, Dimensions, and Dimensionless numbers, 1960)에서 제시한 방법으로, 각 차원을 가진 변수들을 각각 약분함으로서 무차원 변수를 찾아 내는 방법이다. 버킹엄의 [math(\pi)] 정리를 실전에서 좀 더 간편하게 쓸 수 있도록 고안된 방법이라 볼 수 있다.
이를 이용해 변수 간의 자세한 관계를 모르더라도 현상에 관여하는 무차원 변수를 간단히 찾아 처리해야 할 변수를 줄이거나 상사성을 파악할 수 있다.
5.1. 예시5: 직사각형 판에 작용하는 양력[편집]
아래 도식과 같이 시위의 길이가 [math(c)], 폭이 [math(s)]인 직사각형 날개가 점성계수 [math(\mu)], 밀도 [math(\rho)], 속력이 [math(u)]인 유동 속에 [math(\alpha)]의 받음각으로 놓여 있으며, 양력 [math(L)]이 판에 작용한다. 이때 이 계의 무차원 변수를 찾아보자. 단, 풍동 속의 무한날개를 가정하여 익단와류에 의한 효과는 무시한다.
이때 각 물리량의 차원은
으로, 버킹엄의 [math(\pi)] 정리에 따라 무차원 변수는 [math(7 - 3 = 4)]개 도출될 것이라 유추할 수 있다.
이 계에서 [math(L)]이 도출되는 임의의 함수 [math(f)]를 상정하고 각 물리량의 차원을 나타내보면
[math(L)]의 차원 [math(\sf M)]은 [math(\mu)], [math(\rho)]에 의에만 의존하며 앞선 레일리의 방법에서 보았듯이 [math(f)]는 기본적으로 곱셈/나눗셈만으로 구성된 관계식일 것이므로 임의의 차원이 [math(\sf1)]이 되도록 특정 물리량을 규격화해도 곱셈의 항등원이 얻어지기 때문에 [math(f)]에 의한 관계식에는 영향이 없음을 알 수 있다. 여기에서는 [math(\rho)]를 규격화[14]하여 [math(\sf M)]이 소거된 계로 변형한다.
이어서 같은 방식으로 [math(\dfrac L\rho)], [math(u)], [math(\dfrac\mu\rho)]에 연관된 [math(\sf T)]를 소거하는데, 편의상 [math(u)]를 규격화하자. [math(\dfrac L\rho)]의 차원은 [math(\sf L^2(LT^{-1})^2)], 즉 [math(u^2)]에 비례함을 유추할 수 있으므로[15] [math(\dfrac L{\rho u^2})], [math(\dfrac\mu{\rho u})]에 대한 식으로 바꿔줄 수 있다.
마지막으로 [math(\sf L)]을 소거하기 위해 [math(c)]를 규격화해주면
해당 계에서 처음부터 있었던 [math(\pi_1 = \alpha)]를 제외한 나머지 세 무차원량 [math(\pi_2=\dfrac sc)], [math(\pi_3=\dfrac\mu{\rho uc})], [math(\pi_4 = \dfrac L{\rho u^2c^2})]이 얻어진다.
[math(\pi_2 = \dfrac sc)]는 날개 폭과 시위의 비로, 날개의 종횡비(aspect ratio, [math(AR)])를 의미한다.
[math(\pi_3 = \dfrac\mu{\rho uc})]에서 날개 시위선의 길이 [math(c)]가 유체의 특성 길이 [math(D)]에 해당하므로 이는 앞서 구했던 레이놀즈 수 [math(Re = \dfrac{\rho uD}\mu)]의 역수꼴임을 알 수 있다. 즉 [math(\pi_3 = \dfrac1{Re})]이다.
[math(\pi_4=\dfrac L{\rho u^2c^2})]은 무차원화된 양력[16]으로, 무차원량인 양력계수 [math(C_L)]을 이용하여 [math(\pi_4 = \dfrac{\pi_2}2C_L)], 직사각형의 넓이 [math(S)]를 이용하여 [math(c^2 = \dfrac{sc}{\pi_2} = \dfrac S{\pi_2})]라 놓으면 양력계수 [math(C_L = \dfrac{2L}{\rho u^2S})]과 같은 꼴이다.
따라서, 임의의 함수 [math(g)]를 이용해 위 식을 다시 쓰면
이고, 결과적으로 해당 계는 처음에 상정했던 7개의 물리량이 아닌 위의 4개의 무차원량만으로 해석할 수 있다.
이제 구한 물리량이 파이 방법의 그것과 동치임을 확인하자. 이 무차원량들은 버킹엄의 [math(\pi)] 정리에서 물리량 벡터 [math({\bf q} = \begin{pmatrix}s & c & u & \mu & \rho & L\end{pmatrix})][17]에 대응하는 차원 행렬
의 핵
으로부터 얻어지는 무차원량 [math(\pi_2 = \dfrac sc)], [math(\pi_3 = \dfrac{\mu}{\rho uc})], [math({\pi_4}' = \dfrac L{\mu uc} = \dfrac1{\pi_3}\dfrac L{\rho u^2c^2} = \dfrac{\pi_4}{\pi_3})]와 같은 결과이다.
6. 규격화[편집]
복잡한 계산을 간략화하기 위해 특정 물리량이 1(무차원량)이 되도록 계의 물리량을 조정하는 작업. 자연 단위계에서도 비슷한 결과물을 볼 수 있는데, 엄밀하게 따지면 각종 수식에서 특정 상수들([math(c)], [math(\hbar)] 등)이 1이 된 것 같은 현상은 결과론적인 부분이고, 본질적으로는 모든 물리량을 무차원화하여 다루는 데에 있다.[18] 앞선 예시에서 감쇠 진동의 운동 방정식을 [math(\chi''(t_{\rm N})+2\zeta\chi'(t_{\rm N})+\chi(t_{\rm N}) = 0)]로 변형하는 것도 고유각진동수 [math(\omega)]를 무차원화하는 단위계를 쓴 것으로 볼 수 있다.
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-18 08:18:10에 나무위키 차원분석 문서에서 가져왔습니다.[1] 길이, 시간, 질량, 온도, 전류, 광도, 물질량[2] 일본에서는 [math(\rm100\,km)] 주행 당 연료 소비량, 즉 (소모한 연료 부피)[math(\div 100{\rm\,km})]를 의미하는 '연비'(燃費)를 쓰기 때문에 차원이 [math(\sf\dfrac{L^3}L = L^2)]가 되어 한국, 미국, 북유럽 등에서 쓰이는 정의와 정반대가 된다.[3] 속도(천체의 후퇴 속도, [math(\sf LT^{-1})])를 길이(천체까지 거리, [math(\sf L)])로 나눈 값이다.[4] 둘 모두 셈 측도를 시간으로 나눈 것이다.[5] 호의 길이 ÷ 반지름 ÷ 시간.[6] 교육과정에서부터 제대로 다루지 않는다.[7] 이론적으로 [math(q_i)]가 무차원량이면 지수나 로그에 [math(q_i)]가 들어가는 연산도 가능하나, 레일리의 방법에서는 기본적으로 [math(q_i)]가 모두 차원을 갖는 물리량이라고 가정하므로 이들은 배제한다.[8] 따라서 공기의 저항이 없다.[9] 물리량을 '추의 질량'으로 바꿔도 같은 결론에 도달한다.[10] 표기가 같은 원주율과는 무관하다.[11] 앞선 레일리의 방법에서 표현된 [math(q = g(q_1,\,q_2,\,\cdots,\,q_n))]에서 [math(q)]를 우변으로 이항한 형태라고 보면 된다.[12] 이 경우 레일리의 방법을 쓰면 변수가 모자라서 좌우변의 차원이 일치하지 않는다는 결론에 도달한다.[13] 즉 유체와의 마찰이 일어나지 않는[14] [math(\mu)]로 규격화해도 똑같은 결론에 도달하기는 한다.[15] 실제로 양력은 유속의 제곱에 비례한다.[16] 정확히는 유체의 관성력 [math(F_i = \rho u^2c^2)]과 양력의 비[17] 받음각 [math(\alpha)]는 무차원량이므로 차원 행렬에서 제외[18] 즉 [math(c\to1)]로 놓는다고 해서 질량의 단위를 [math(\rm eV)]로 쓰는 것은 틀린 용법이다. 자연 단위계에서도 여전히 질량의 단위는 [math({\rm eV}/c^2)]로 쓰는 것이 맞고 이렇게 [math(c)]로 나눈 시점에서 이미 규격화를 한 것이기 때문에 [math(c\to1)]을 또 적용하는 것은 자연 단위계의 구축 원리를 잘못 이해한 것에 지나지 않는다.