초기하함수

덤프버전 :

분류

특수함수
Special Functions

[ 펼치기 · 접기 ]
적분
오차함수(error function) · 베타 함수(불완전 베타 함수) · 감마 함수(불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수) · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수
미분방정식
르장드르 함수* · 구면 조화 함수 · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수
역함수
브링 근호 · 람베르트 [math(W)] 함수 · 역삼각함수
급수
제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 바이어슈트라스 타원 함수
정수론
소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수
기타
헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션(무한 지수 탑 함수) · 집합 판별 함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수
* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.



1. 개요
2. 정의
3. 몇 가지 특수한 경우
4. 관련 문서



1. 개요[편집]

초기하함수(超幾何函數, hypergeometric function)는 멱급수를 이용해 기하급수들을 일반화하는 특수함수이다. 초기하함수는 특정 선형 상미분방정식을 만족시킨다.

2. 정의[편집]

초기하함수의 정의는 다음과 같다. 여기서 [math(a^{\bar n})]는 상승 팩토리얼[1]이다.
)]
일반화된 초기하함수(generalized hypergeometric function)의 정의는 아래과 같다.
\end{aligned} )]
[math(p, q)]는 각각 [math(\{a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_p\})], [math(\{b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_q\})]의 노름(집합의 원소의 개수)이다.[2] [math(p=2)], [math(q=1)]인 경우가 초기하함수이고, 일반화된 초기하함수와 구분하기 위해 '가우스 초기하함수'라고 부르기도 한다.


3. 몇 가지 특수한 경우[편집]

  • [math(\displaystyle {}_0F_0(;;z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=e^z )]

  • [math(\displaystyle {}_0F_1\left(;\frac{1}{2};\,-\frac{z^2}{4}\right)=\cos z )]

  • [math(\displaystyle z\cdot{}_0F_1\left(;\frac{3}{2};\,-\frac{z^2}{4}\right)=\sin z )]

  • [math(\displaystyle {}_1F_0(a;;z)=\frac{1}{(1-z)^a} )]
    • 특히 [math(a=1)]인 경우, [math(\displaystyle {}_1F_0(1;;z)=\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n)]이고, [math(\left\vert z \right\vert<1)]일 때 초기값 [math(1)], 공비가 [math(z)]인 기하급수이다.

  • [math(\displaystyle -z\cdot{}_2F_1(1,\,1;\,2;\,z)= \ln\left(1-z\right) )]

  • [math(\displaystyle {}_2F_1\left(\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} K(z) )]

  • [math(\displaystyle {}_2F_1\left(-\frac12,\,\frac12;\,1;\,z^2\right)= \frac{2}{\pi} E(z) )]

  • [math(\displaystyle {}_4{F}_3\left(\frac{1}{5},\,\frac{2}{5},\,\frac{3}{5},\,\frac{4}{5};\,\frac{1}{2},\,\frac{3}{4},\,\frac{5}{4};\,-5\left(\frac{5z}{4}\right)^4\right) = -\frac{\mathrm{BR}(z)}{z})]


4. 관련 문서[편집]



파일:크리에이티브 커먼즈 라이선스__CC.png 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-18 23:53:08에 나무위키 초기하함수 문서에서 가져왔습니다.

[1] 중복조합 [math(\left(\!\!\dbinom{n}{r}\!\!\right))]에 [math(r!)]를 곱한 것이라고 생각하면 된다.[2] 즉, 매개변수로 들어갈 집합 크기에 맞춰서 [math(p, q)]를 넣어야 한다.

관련 문서