판타지를 여행하는 현대인을 위한 안내서/수학

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1. 소개[편집]

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흔히 '판타지 세계에 수학을 나둬서 뭐해?'라고 생각하겠지만 이는 큰 오산이다. 수학은 근본적으로 철학에서 출발하여 신학과 과학을 낳은, 이른바 생각하는 학문으로, 아무리 미개한 문명이라도 숫자(=산수)마저 세지 않는 문명은 없다고 해도 과언이 아니다. (문명을 만들지 못한 원시부족들에게서는 숫자를 세는 어휘마저 일정 숫자를 넘어가면 존재하지 않는다는 현상이 발견되기도 했지만 말이다.) 이를 현대적인 관점으로 말하면 기하학, 경제학(미적분학), 철학(논리학), 과학, 공학, 행정학 등 여러 학문에 영향을 끼치는 기본 중의 기본 학문이다.

다만 수학이 독립 학문으로써 대우 받은 것은 현실 세계에서는 그리스 문화권과 그 영향을 받은 지중해 세계 정도이며, 그 외에는 인도 정도가 주술적 의미(수비학)로 그나마 계산술이 발달했을 뿐 공리와 증명을 통한 논리적 학문 수학은 없었다는 것을 알아두자. 동아시아 역시 증명에 대한 관심은 없었고 서구나 아랍 수학을 그냥 계산 기술로써 수입했다. 말하자면 그냥 공식만 달달 외운 것. 동아시아는 수학을 산학(産學)이라 하여 그냥 계산 기술적인 것으로 보았고, 유학자들은 산학 기술에 최소한의 관심만 두었지 중요한 것으로 여기지는 않았다.

아무튼 만약 당신이 영지물을 찍게 된다면 언어교육 다음으로 수학교육을 시도하는 것이 좋다. 학문적 효과는 둘째치고 일단 사람들이 당신이 하는 말을 좀 더 깊게 생각하게 되는 효과를 볼 수 있다. 사람들이 문맹이라도 간단한 수학은 교육이 가능하고, 오히려 당신도 잘 모르는 언어보다도 빠르게 가르칠 수 있다. 다만 배우는 사람들이 대다수 노인이거나 근육바보라면 교육학을 배웠을 리 없을 당신의 고생길이 훤하니 주로 아이들이나 젊은 사람들 위주로 가르치는 것이 계몽적인 효과도 있어서 효율적이다.

2. 적용 예[편집]

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2.1. 아라비아 숫자[편집]

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인도에서 최초로 쓰였으며 현대에는 가장 대중적인 숫자이다. 서양 문명권에는 아랍에 의해 12세기에 전해졌지만, 의외로 동양에는 전파가 늦었다(동양에서는 산목을 사용했다.). 동양권에서 언제부터 쓰였는지는 확실히 모르지만 일본에서는 메이지 유신 때 들어왔다. 아라비아 숫자를 모르는 곳이라면 이 아라비아 숫자야말로 수학을 진일보시킬 선물일 것이다. 이해가 안 된다면 로마 숫자나 한자로 간단한 곱셈 나눗셈 계산부터 해보자. 예를 들어 아라비아 숫자 1234는 로마 숫자로 'MCCXXXIV'이니... 굳이 더 말 안해도 알 것이다.

하지만 이걸로 현자 소리는 들어도 경제적으로 도움을 받거나 할 가능성은 거의 없다. 그리고 숫자라는 건 사회적인 약속이라서 당신이 그 사회에서 신망이 있거나 지도자여야 가능할 것이다. 인간이란 무언가가 아무리 편리해도 그것이 이질적이면 거부감이 드는 법이다. 이런 이유로 12세기 서양에 아라비아 숫자가 전해진 후에도 완전히 정착하기에는 수백 년이 걸렸다.

그리고 우리가 쓰는 아라비아 숫자는 10진법보다 낮은 진법(예를 들어 이진법)만 나타낼 수 있다. 그러니 예를 들어 12진법을 사용하는 사회라면 10과 11을 나타내는 기호를 따로 만들어야 한다. 그러나 이 경우는 지금껏 배웠던 대부분의 수학이 무용지물이 될 가능성이 높은데, 이론의 근본 자체는 다르지 않지만 진법이 달라지면 계산방식에서 엄청난 변화를 불러오기 때문이다.

그래도 만약에 어찌어찌 지도자가 되어 12진법이나 16진법 혹은 수메르식 60진법을 정착시키는데 성공한다면 아마 인류의 과학 발전을 수백년 앞당길 수 있을지도 모른다. 12와 16은 둘 다 10보다 약수가 많아서 일상 생활에서 나눗셈을 하기가 편리하기 때문이다. 특히 12진법을 써서 숫자를 3으로 나누는 데에 대한 거부감이 없어지는 효과가 아주 크다. 대신 5로 나누기가 두려워지지. 그러니까 결론은 수메르식 60진법

2.1.1. 0의 존재[편집]

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수학에서 0은 위대한 발명품으로 여겨진다. 혹시 당신이 떨어진 곳에서 아라비아 숫자가 아닌 아랍 숫자와 같이 문자의 모양만 다른 케이스라면 굳이 아라비아 숫자를 교육할 필요는 없고, 도리어 그쪽 세계 숫자를 당신이 먼저 익힐 필요가 있다. 로마 숫자와 달리 한자 문화권에서 아라비아 숫자의 전파가 늦어진 것은 어디까지나 0의 존재 때문이다.

반대로 0의 존재를 모르는 경우라면 다른 수학 교육에 앞서 가르칠 필요가 있다. 그 고생길은 굳이 언급할 필요가 없을지도 모른다. 하지만 0의 존재를 알려주는 게 당신에게 해가 될 수도 있는데, 실제로 고대 그리스에서는 0을 존재해서는 안 될 수라 생각하고 혐오하고 두려워했다. 이처럼 이미 0을 알고 있음에도 그것을 일부러 없는 수로 하는 세계에서 0의 존재를 주장하면 끔살 당할 수도 있다.

2.2. 초등학교 수준의 수학[편집]

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당신의 부모님이나 주변 연세가 되는 어르신께 초등학교 5, 6학년 문제집을 쥐어주고 치매 예방을 위한거라 안심시키고[1] 풀어보지 않겠냐 하면 상당히 고생하는 모습을 볼 수 있다. 그만큼 현대 수학 교육은 생각보다 난이도가 높은 편이다. 역으로 말하면 모든 판타지 세계 사람들이 이하 기술될 수준의 수학까지 배워둘 필요는 없다는 것을 반증하기도 하며, 당신이 높은 지위를 가지기 전까진 초등교육 수준의 수학으로 명성을 높여두는 것도 매우 도움이 된다고 할 수 있다.

다만 주의할 점이 하나 있다면 중등교육의 수학과 초등교육의 산수는 효율적인 교육법에 있어 접근방법이 많이 다르다는 것이다. 비유하자면 자연과학과 공학의 차이라고도 할 수 있다. 더군다나 지금껏 학문을 귀족들의 전유물로 생각해온 세계의 사람들의 경우라면 교육의 열기 자체가 없는 거나 다름없으니 더욱 교육법 자체에 고민할 필요가 있다. 실제로 영국조차도 20세기 초까지 일반 평민들은 아이들의 교육에 무심했다.

2.3. 중학교 수준의 수학[편집]

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고등학교 수준의 미분이나 적분까지도 필요없다. 중학교에서 배우는 수학 공식(방정식, 함수, 집합 등)들의 정의와 증명원리만 잘 정리해도 르네상스 시대 이전이라면 당신은 역사서에 당당히 기록될 것이다. 여기에 위의 아라비아 숫자와 조합되면 행정계의 혁명이 일어날 것이다.

하지만 이것도 당장 당신에게 힘이 되어주지는 않는다는 한계가 있다. 순수 수학과 순수 과학이란 발전에는 필수적이지만, 이걸 실생활에서 사용하려면 응용을 해야 하는 법이다. 원래 역사에서도 현대에 들어서 수학자들의 노력이 없었더라면 수학은 영원히 과학이랑 같이 배우는 학문으로 불렸을거다. 르네상스 직후의 과학자들은 곧 수학자였다는 점에서 보면 이해가 쉽다.

덤으로 고대 그리스만 하더라도 현재 고등학생에겐 다루기 어려운 2차 곡선에 대한 다양한 기하 정리들이 증명된 상태였다는 점을 기억하자. 설상가상으로 당시에는 '대수기하학'이라는 좌표계와 기하학이 결합된 수학이 없었기 때문에 순수하게 공리 몇 개랑 정리 몇 개로 우리가 알고 있는 타원, 쌍곡선, 이심률 등등을 전부 언급하며 가지고 놀았다. 잘 생각하면 그때의 수학자가 지금의 수학자보다 똑똑할 수도 있다.

게다가 고대 그리스 시대 이후로 한동안 수학의 발전이 더디어졌다고는 하더라도, 수학은 당대 지식인들의 교양으로 꾸준히 사랑 받던 학문이었다. 로마 제정 때만 하더라도 순수수학의 인기는 그리스 시절보다 줄어들었지만, 기하학 등은 실용적이기에 인기가 좋았으며, 중세 유럽 때도 대학에서 학생을 수학으로 미친 듯이 굴렸고, 유클리드의 《원론》은 기본으로 배웠다.

또한 중국을 포함한 동아시아의 경우 산학이라고 해서 대수학 측면에서는 오히려 서양보다 뛰어난 성과를 냈다. 일단 구고현 정리라는 이름의 피타고라스의 정리가 최초로 개발된 곳이 중국이고, 중국인의 나머지정리 등 걸출한 정수론과 대수학 정리가 많았다. 서양이 동아시아의 대수학을 앞서기 시작한 것은 좌표계 도입이라는 말도 있을 정도다.[2] 그러니 이걸로도 섣불리 나대다가는 지나가는 잡배 취급 받는다.

다만, 증명하는 문화는 제대로 존재하지 않아서 정의나 논리를 제대로 다지는 바탕은 명가(논리를 중시하던 제자백가)나 묵가[3] 외에는 거의 근대까지 전무하였기에 이를 전파시키는 일을 해볼 순 있을 것이다. 다만 웬만하면 '시간낭비' 소리 들을 것이다.

2.4. 각종 상수[편집]

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대표적으로 π와 √2 · √3 · √5를 소수점 몇 자리까지 알고 있다면 굉장히 도움이 된다.[4] 실제로 일부 중·고등학교에서는 이 상수들을 억지로 외우게 한다. 이를 편리한 소수점과 아라비아 숫자를 이용해서 표현하는 것도 수학계에서 상당한 우위를 점한다고 할 수 있다. 게다가 미적분을 알고 있고, 이것을 응용해서 급수로 나타낼 수 있다면 무한히 만들어낼 수 있다.

π의 경우 여러 근사한 값들이 발견되고 사용되었지만, 요즘 우리가 알고 있는 3.14159265……까지 알게 되는데는 미적분의 발견이 필요했다. 제곱근 역시 고대부터 황금비 등에 다양하게 응용되었지만, 무리수이기 때문에 정확한 값은 지금도 찾을 수 없다.

다만 이 값이 맞다는 것을 증명하기가 어려운데, 건축 등에 사용해본다면 다른 사람들 역시 이 수치가 굉장히 잘 들어맞는다는 것을 경험적으로 알게 될 것이다. “엄청나게 거대한 원형 신전을 지을때 몇 개의 타일을 써야 하는가”와 같은 문제를 1개 단위로 맞춘다고 생각해보라. 현대인의 기준으로는 유효숫자 4~5자리 정도의 정밀도이지만[5], 이 당시 사람들은 굉장히 놀라워할 것이다.

미적분을 조금 더 응용한다면, 로그표(곱셈을 빠르게 계산할 수 있다.)나 삼각함수표, 계산자와 같이 지금은 낡은 물건들을 다시 만들어낼 수 있다. 물론 로그표를 들고 사람들에게 설명하는 데에는 애를 먹을 것이다. 왜냐하면 로그표를 설명하려면 지수함수를. 지수함수는 미적분학이 기본이기 때문에 엄청 어렵다. 그냥 네이피어가 한 로그의 정의를 설명해 주는 게 훨씬 빠른 편이다.

여기에 만약 당신이 충분한 기계공학적 지식이 있다면 원시적인 계산기를 제작 및 보급할 수도 있을 것이다. 전례도 있다.

그리고 중고딩도 이해할 수 있을 정도로 체계화된 수학을 보여준다면, 당대의 수학자들도 관심을 가질지도 모른다. 다만 수학자와 장인들이 괜히 난이도 낮춰서 기득권 놓기 싫어염 이러거나 신비주의 비밀결사 집단에 더 가까운 세상이라면 농담이 아니라 진짜 살해 당할 수 있다. 실제로 피타고라스학파는 우주의 모든 것을 자연수로 표현할 수 있다는 교리를 가졌는데, 히파소스에 의해서 무리수의 존재가 확인되자 히파소스를 죽였다고 알려져 있다. 비록 히파소스를 죽였다는 전설은 사실여부가 불확실하지만, 결국 고대 그리스 수학은 계속 무리수의 존재를 인정하지 않았고 그에 따라 발전도 늦어졌었다. 무리수에 대한 연구가 더 진행되는 것은 이슬람 제국이 그리스인들의 유산과 인도 수학의 유산을 동시에 흡수해서 발전시킨 이후였다.

2.5. 선형대수학[편집]

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다른 것은 생각할 것도 없이 '행렬'이란 개념 자체가 시대를 초월한 개념이다. 선형방정식은 고대에서부터 널리 쓰이고, 각 지역마다 고유의 해법을 물려주곤 했었다.[6] 심지어 19세기 무렵까지만 하더라도 선형대수학은 대학원이나 가서 배우는 최고급 학문이었다. 이를 가로 세로의 숫자나열로 표현하고, '행렬식'과 같은 간단한 계산으로 문제를 풀 수 있는지 없는지 등을 나타내는지 가르친다면 시대를 앞선 수학자로 기억될 수 있을 것이다. 행렬이 이미 알려져 있다면 케일리-해밀턴 정리와 같은 것도 좋다.

2.6. 미적분학[편집]

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만약 당신이 르네상스가 막 시작할 때나 르네상스가 한참 진행될 때와 비슷한 수준의 지역으로 떨어지면 당신은 교수직 하나는 맡을 수 있을 것이다.

뉴턴/라이프니츠 수준의 위인이 이미 미적분을 만들어 놨다면 당신은 운이 좋은 것이며, 그냥 당신이 알고 있는 미적분학을 기호들을 정의하면서 사뿐히(?) 알려주면 된다. 왜냐하면 우리가 사용하는 적분은 '리만적분'이라고 해서 리만이 정말로 엄청나게 쉽게 만들어놓은 적분이기 때문에 이거 하나만 해도 당신은 교수 하나는 얻어먹는다. 물론 나중에 실력을 의심하면 어떻게 하냐고는 하지만 상관없다. 왜냐하면 그때 쯤엔 당신도 공부할 수밖에 없는 분위기가 만들어지기 때문이다.

미적분학이 없다면 물론 물리학에서 뉴턴의 법칙 같은 것도 없을 테니 주워먹을 수 있다. 그 이유는 뉴턴 제2법칙인 F=ma도 사실은 F=d(mv)/dt 라는 힘=운동량의 미분이기 때문이다. 그런데 왜 F=ma 라고 쓰냐면 우리가 실생활에서 보는 상황에서 m이 연속적으로 변하는 경우는 거의 없고, 기껏해야 분열, 합체 같은 쉬운 경우이므로 그렇다 가정하고 쓰기 때문이다. 물론 여기에는 고전물리학을 마스터했거나 미분적분학[7]을 어느 정도 알고 있어야 한다.

만약 해외 무역과 금융업이 활발하게 발달한 지역으로 떨어진다면, 미래의 수학을 알고 있으니 "셈이 빠르다"는 점을 환전상이나 금융업자들에게 어필하여 이들 아래에서 2인자가 된 후 부를 누릴 수도 있다. 1년에 n%씩 이자가 복리로 쌓이는 채권의 총액이 2배가 되는 걸리는 시간은 약 "72/n"년이라는 단순한 암산법 하나만 알아도 상인의 제자로 들어가 인맥을 이용해 먹을 수 있다. 일단 돈 걱정을 안 할 정도가 되면 심심할 때 복리 계산법, 등비수열 연구부터 출발해서 그리스 때부터 이어져오던 무한급수와 적분 계산을 부활시켜 미적분을 바탕 이론으로부터 체계적으로 다시 구축하고, 천문학자를 잔뜩 고용해서 천문학을 통해 미적분의 쓸모를 보여줄 수도 있다.

2.7. 논리학과 대수기하학[편집]

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만약 당신이 과거(웬만하면 유럽의 중세시대 즈음에)로 떨어졌다면, 동양에 가서 논리학을 전파해라. 그 당시 동양은 대수학 부분에서는 유렵보다 뒤지지 않을 실력을 가지고 있었지만, 동양에서 수학은 그저 귀납적으로 발견된 지식들의 모음이었다. 논리학의 발전은 춘추전국시대 이후 답보 상태였고, 얼마 지나지 않아 잊혀지고 말았다. 괜히 선교사로부터 서양 수학과 유클리드 기하학이 도입되었을 때 센세이션이 일어난 것이 아니다.

만약 이 시대에 동양에 논리학에 기반한 증명이라는 하나의 유행을 만들면 동양은 거짓말 안 하고 서양이 '기껏' 문예부흥할 시기에 컴퓨터를 만들지도 모른다고들 하는데, 이런 발상 자체가 옥시덴탈리즘적 망상에 기반한다는 사실은 차치하고 설사 최선의 경우를 가정하더라도 그러려면 우선 동양의 수학과 과학을 기존의 분산되고 무질서한 체제에서 탈피하여 체계적이고 전문적인, 사회적 지위가 보장되는 메이저한 학문으로 육성해야 할 것이다. 예를 들자면 대대손손 과거에 산술과 논리학을 필수 교과목으로 채택하는 식으로 말이다. 그러지 못한다면 현실 역사와 하등 다를 바가 없어질 것이다.[8]

대수기하학이 발견되지 않았다면 무조건 전파하라. 진짜로 수학의 발전이 빨라진다. 카테시안 좌표계의 도입으로 어려운 기하학적 이론을 간단히 증명할 수 있으며 미적분학을 이용할 수 있는 함수 형태로 표현도 가능해진다.

2.8. 삼차방정식, 사차방정식의 일반해[편집]

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이차방정식까지는 많은 문명권의 수학에서 해법을 찾아냈으나, 삼차방정식과 사차방정식의 해법은 16세기 르네상스 유럽에서만 발견되었다. 따라서 삼차방정식 이상은 확실히 중세 수준을 초월한 수학적 발견이다. 중세 수준 수학자를 공식 암기로 확실하게 바르는 방법은 이것 뿐이다. 그런데 당시 증명 과정이 상궤를 벗어날 정도로 복잡다단해서 상대를 잘 납득시키지 못한다면 어찌될지 모른다. 실제로 증명을 가지고 대판 싸움이 날 뻔했다. 물론 이건 수학 비전공자와는 상관없는 내용이다. 삼, 사차방정식의 해는 너무 복잡해서 증명은 커녕 외우기도 힘드니까.

2.9. 계산보조도구[편집]

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주판이나 계산봉, 계산자, 기계식 계산기 등, 문자 그대로 계산을 보조하는 도구.

주판의 경우는 현대인들은 전자계산기나 컴퓨터가 있으니 필요를 느끼지 못하겠지만, 큰 수를 다룰 때 주판의 존재는 계산속도를 월등히 높여준다. 폰 노이만처럼 암산으로 수소폭탄의 위력마저 계산해낼 수 있는 천재가 아닌 이상, 이것의 도입만으로도 회계, 건축 등 수많은 계산에 도움이 될 것이다. 다만 주판의 경우, 그 단순한 구조로 인해 이미 있을 확률이 매우 높다. 고로 다음 단계를 준비해 보자.

네이피어 계산봉의 경우, 막말로 '구구단을 기록해둔 막대기'라는 초 간단한 구조임에도 불구하고, 지수의 원리를 바탕으로 만들어져 있기에 곱셈, 나눗셈, 제곱근과 세제곱근의 계산에 큰 도움이 된다. 한 단계 더 급을 올려 계산자를 제작해보는 것도 좋다. 자를 슬라이드시키는 데는 기술력이 필요하겠지만, 터무니없는 난이도를 요구하지 않을테고 또한 앞의 둘과 달리 '팔아먹는' 것도 가능해질 것이다.

계산자보다 급을 올릴 경우, 이제 '기계식 계산기'를 만들어야 한다. 여러 톱니바퀴가 얽힌 복잡한 구조상 설계도가 필요할 테지만, 일단 만들면 극초기의 파스칼의 계산기조차도 주판이나 계산봉, 계산자와는 급이 다른 편리성을 제공해 줄 것이다. 또한, 내부 구조가 복잡하다는 것은, 당신이 '팔아먹을 수 있는 물건'이라는 이야기가 되기도 한다.

최종단계는 역시 바베지의 차분기관, 해석기관일 듯. 제조 난이도는 정말 터무니없고, 일반인이 맨주먹으로 만들어 낼 수 있는 물건은 아닐테지만, 만약 해당 기계의 설계도를 가지고 떨어진 것이라면, 해당 세계에서 후원자를 등에 업고 제작을 시도해 볼 가치는 있는 물건이다. 그 가치를 증명해내기만 하면, 만들면 큰 돈을 벌 수 있을지도 모른다. 다만 18세기 영국의 공업기술력으로도 이것을 제대로 만들지 못하였다는 점을 생각하면, 제작 성공에 그리 큰 기대는 하지 않는 것이 좋다. 이게 완성될 정도의 기술력이 있다면, 차라리 전자식 계산기를 만드는 게 나을 것이다.

만약 당신이 간 세계가 중세 유럽 같은 세계라면 이 방법은 사용하지 않는 것을 추천한다. 중세시대 때 교황이였던 실베스테르 2세는 아라비아 숫자를 이용해 자기가 직접 개량한 주판으로 사칙연산을 빠르게 처리했다가 '교황이 악마와 계약했다'는 풍설에 평생을 시달려야 했다. 그나마 실베스테르 2세는 교황이라서 루머로 끝났지 보통 사람이 악마 드립을 당하면 인생이 끝날 수도 있다.

2.10. 확률[편집]

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만약 도박이 활성화된 곳이라면, 확률이라는 도구가 아주 유용하게 사용될 수 있을 것이다. 몬티 홀 문제처럼, 인간의 직관과 수학적 확률이 다른 경우는 적지 않다. 확률이라는 것이 본격적으로 논의된 것은 17세기에 파스칼 등에 의해서이므로, 그 이전 시대의 세계로 갔다면 당신이 제 2의 파스칼이 되어보는 것도 나쁘지 않을 것이다.

물론 카드카운팅에 준하는 확률 계산을 잘 한다고 해서 그냥 일하는 것에 비해 눈에 띌만한 장기 수입이 발생한다는 보장은 없다.[9] 큰 수의 법칙을 활용해서 돈을 벌 수 있는 쪽은 한정된 횟수로 대박을 내야 하는 도박꾼이 아니라 더 많은 자본을 바탕으로 많은 횟수의 도박을 굴릴 수 있는 도박장이다. 도박이 있는 곳에는 범죄가 따르기 마련이므로, 도박꾼의 입장보다는 확률 계산과 처세술을 활용하여 도박장을 운영하거나 운영을 보조하는 방식으로 활동하는 것이 생존 가능성이 높을 것이다.

3. 관련 문서[편집]

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