푸아송 분포

분류

확률 분포

통계학

Statistics

[ 펼치기 · 접기 ]

자료 시각화		도표(그림그래프 · 막대그래프 · 선 그래프 · 원그래프 · 상자 수염 그림 · 줄기와 잎 그림 · 산포도 · 산점도 · 히스토그램 · 도수분포표) · 그래프 왜곡 · 이상점
수리통계학	확률론	사건 · 가능성 · 확률변수 · 확률분포(표본분포 · 정규분포 · 이항분포 · 푸아송 분포 · 카이제곱분포 · [math(t)]분포 · [math(z)]분포 · [math(F)]분포) · 확률밀도함수 · 확률질량함수 · 조건부확률 · 조건부기댓값 · 베이즈 정리 · 도박사의 오류 · 몬티 홀 문제 · 뷔퐁의 바늘
수리통계학	통계량	평균 · 기댓값 · 편차(절대편차 · 표준편차) · 분산(공분산) · 결정계수 · 변동계수 · 상관계수 · 대푯값 · 자유도
통계적방법	추론	가설 · 변인 · 추정량 · 점추정 · 신뢰구간 · 상관관계와 인과관계 · 실험통계학 · p-해킹 · 통계의 함정
통계적방법	방법론	회귀 분석 · OLS · 분산분석 · 주성분 분석(요인 분석) · 시계열분석 · 패널분석 · 2SLS · 생존 분석 · GARCH · 비모수통계학 · 준모수통계학 · 기계학습 · 위상 데이터분석

1. 개요

2. 조건

3. 유도 과정(푸아송 극한 정리)

4. 의미

5. 평균과 분산

6. 누적분포함수

7. 적률생성함수

8. 관련 문서

1 . 개요[편집]

프랑스의 수학자 시메옹 드니 푸아송(Siméon Denis Poisson)이 1837년에 자신의 저서 『민사 사건과 형사 사건 재판에서의 확률에 관한 연구 및 일반적인 확률 계산 법칙에 관한 서문』[1]에서 처음 소개한 확률 분포. 그의 이름을 따서 푸아송 분포(Poisson distribution)라고 한다. 표기에 따라서는 포아송 분포라고도 한다.

단위시간 동안 혹은 단위공간에서 어떤 사건이 발생하는 횟수를 나타내는 확률분포이며, [math(n)]이 충분히 크고 [math(p)]가 충분히 작아서 [math(np)]의 값이 적당할 때의 이항 분포의 값을 근사적으로 구할 수 있다. 이항 분포에서 [math(np=\lambda)]를 유지하면서 [math(n\to\infty)]일 때, 그 분포는 포아송 분포에 수렴한다. 이에 따라 [math(n)]과 [math(p)]의 각각의 값은 모르지만 [math(np=\lambda)]의 값은 알 때 푸아송 분포를 사용하여 이항 분포의 근사치를 알 수 있다.

후술되어 있듯 [math(\lambda)]는 곧 푸아송 분포의 평균과 분산이 되며, '람다'로 읽는 그리스 문자이다.

2 . 조건[편집]

푸아송 분포로 유의미한 근삿값을 얻으려면 다음 세 가지 조건을 만족시켜야 한다.

주어진 시간 동안 일어나는 사건의 횟수는 다른 시간에서 일어나는 사건의 횟수와 독립이어야 한다.
주어진 시간을 더 짧은 단위로 나눴을 때, 그 짧은 시간 내에서 사건이 두 번 이상 발생할 확률은 무시할 만큼 매우 작아야 한다.
주어진 시간을 더 짧은 단위로 나눴을 때, 시간의 길이와 사건이 한 번 발생할 확률은 비례한다.

일반적으로, [math(n\geq 20)]이고 [math(p\leq 0.05)]이면 어느 정도 충분하고, [math(n\geq 100)]이고 [math(np\leq 10)]이면 매우 훌륭하다고 여겨진다.

3 . 유도 과정(푸아송 극한 정리)[편집]

이항 분포에서 [math(X\sim B(n,p))] 이고 [math(n\to\infty)], [math(p\to 0)], [math(np \to \lambda)]이면

[math(
\begin{aligned}
f(x;n,p) &= Pr(X=x)\\
&= \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\\
&= \frac{n!}{(n-x)!x!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x}\\
&= \frac{\lambda^x}{x!}\frac{n(n-1) \cdot \cdot \cdot (n-x+1)}{n^x}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}\\
\end{aligned}
)]

* [math(n(n-1)\cdots(n-x+1))]에서 곱해진 항의 개수는 [math(x)]개이므로 [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n(n-1)\cdots(n-x+1)}{n^x}=1)]
* [math(-\displaystyle\frac{\lambda}{n}= \frac{1}{t})]로 치환하면 [math(\left(1-\displaystyle\frac{\lambda}{n}\right)^{n}
= \left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^{-\lambda t}
= \left[\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{-\lambda})] 이고, [math(\displaystyle\lim_{t\to\infty}\left(1+\dfrac1t\right)^t= )] [math(e)] 이므로 [math(\displaystyle\lim_{t\to\infty}\left[\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{-\lambda} = e^{-\lambda} )]
* [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac\lambda{n}\right)^{-x}=1)]

따라서 [math(n\to\infty)], [math(p\to 0)], [math(np \to \lambda)]이면 다음이 성립한다. 이를 푸아송 극한 정리(Poisson limit theorem)라고 한다.

분류

확률 분포

[math(f(x;n,p)\approx\dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!})]

[1] Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile; précédées des règles générales du calcul des probabilités

이렇게 유도되는 푸아송 분포를 다음과 같이 표기한다.

분류

확률 분포

[math(f(x;\lambda)=\dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!})]

이 [math(\lambda)]가 바로 푸아송 분포의 모수(parameter)이며, 확률변수 [math(X)]가 모수 [math(\lambda)]인 푸아송 분포를 따르면

분류

확률 분포

[math(X\sim{\rm Pois}(\lambda))]

로 나타내고 [math(X)]를 모수가 [math(\lambda)]인 푸아송 확률변수(Poisson random variable)라고 한다.

4 . 의미[편집]

분류

확률 분포

[math(f(x;\lambda)=\dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!})]

이렇게 유도된 푸아송 분포의 확률변수 [math(X)]는 단위시간 혹은 단위공간 내의 발생 횟수이며, 이를 [math(x)]에 대입한다. 그리고 해당 단위시간 혹은 단위공간 내에서 평균적으로 발생하는 사건의 횟수를 [math(\lambda)]에 대입하면 해당 확률을 구할 수 있다.

5 . 평균과 분산[편집]

우선 [math(p(x:\lambda)=\dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!})]의 평균은 애초에 정한 바 그대로 [math(np=\lambda)]이다.

[math(p(x:\lambda)=\dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!})]의 분산은 다음과 같이 구한다. 본디 이항 분포의 분산은 [math(np(1-p))]이므로

분류

확률 분포

[math(np(1-p)=np=\lambda\;(\because p\to 0))]

따라서 푸아송 분포의 평균과 분산은 [math(\boldsymbol\lambda)]로 같다.

6 . 누적분포함수[편집]

분류

확률 분포

[math(e^{-\lambda}\displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!}=\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !})]

[math(\Gamma(x,y))]는 불완전 감마 함수, [math(\lfloor x \rfloor)]는 최대 정수 함수이다.

7 . 적률생성함수[편집]

분류

확률 분포

[math(\begin{aligned}M_X(t)&=E(e^{tX})\\&=\displaystyle\sum_{x=0}^\infty e^{tx}\dfrac{m^x e^{-m}}{x!}=\sum_{x=0}^\infty\dfrac{(e^tm)^x e^{-m}}{x!}\\&=\sum_{x=0}^\infty\dfrac{(e^tm)^x e^{-e^t m}e^{e^t m}e^{-m}}{x!}\\&=e^{e^t m}e^{-m}\sum_{x=0}^\infty\dfrac{(e^t m)^x e^{-e^t m}}{x!}\\&=e^{m(e^t-1)}\end{aligned})]

따라서 푸아송 분포의 적률생성함수는 [math(e^{m\left(e^t-1\right)})]이며, 이 함수를 통해 평균과 분산을 계산하면 다음과 같다.

분류

확률 분포

[math(\begin{aligned}M'_X(t)&=e^{m\left(e^t-1\right)}me^t\\M''_X(t)&=e^{m\left(e^t-1\right)}me^t+e^{m\left(e^t-1\right)}\left(me^t\right)^2\end{aligned})]

[math(\begin{aligned}\therefore E(X)&=M'_X(0)=m\\E(X^2)&=M''_X(0)=m+m^2\\{\rm Var}(X)&=E(X^2)-\{E(X)\}^2=m\end{aligned})]

8 . 관련 문서[편집]

이항 분포

[각주]

이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-24 07:35:54에 나무위키 푸아송 분포 문서에서 가져왔습니다.

푸아송 분포

분류

1. 개요[편집]

2. 조건[편집]

3. 유도 과정(푸아송 극한 정리)[편집]

분류

분류

분류

4. 의미[편집]

분류

5. 평균과 분산[편집]

분류

6. 누적분포함수[편집]

분류

7. 적률생성함수[편집]

분류

분류

8. 관련 문서[편집]

관련 문서