문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 베르누이 미분방정식 (문서 편집) [목차] == 개요 == {{{+1 Bernoulli differential equation}}} 베르누이 미분방정식은 [math(y)]가 [math(t)]의 함수일 때 다음과 같이 표현되는 비선형 1계 [[미분방정식|상미분 방정식]]이다.[* 여기서 [math(n=0)] 또는 [math(n=1)]이면 선형 1계 상미분방정식으로 쉽게 풀린다.] ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle y'(t) + p(t)y(t) = q(t) y(t)^n \qquad (n \neq 0,1) )]}}}|| 이 방정식은 1695년 이를 처음으로 연구한 [[야코프 베르누이]]의 이름을 붙였다. 베르누이 미분방정식은 비선형 상미분방정식임에도 일반해를 구하는 방법이 알려져 있는 특수한 경우이다. [[로지스틱 방정식]]은 베르누이 미분방정식의 한 예다.[* [math(n=2)]일 때 로지스틱 방정식과 같은 꼴이므로.] == 해법 == 자명해가 아닌 해를 구하려면 양변을 [math(y^n)]으로 나누고 [math(\displaystyle u = \frac{1}{y^{n-1}})]로 치환하여 다음과 같은 선형 상미분방정식으로 변환한다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle u'(t) + (1-n)p(t)u(t) = (1-n)q(t) )]}}}|| 이렇게 치환된 문제는 [[미분방정식/풀이#완전형|적분인자를 사용한 해법]]으로 쉽게 해를 구할 수 있다. 이 치환된 문제의 해를 [math(u^*(t))]라 하면 베르누이 미분방정식의 해는 ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle y(t) = [ u^*(t) ]^{\frac1{1-n}} )]}}}|| 이다. 풀이를 쉽게 하기 위해 위의 식에서 [math(P(t) = (1-n) p(t))]라고 하고 [math(Q(t)=(1-n)q(t))]라고 하면, 적분인자는 [math(e^{\int \!P(t){\rm d}t})]이고, 이로부터 [math(u^*(t))]를 다음과 같이 얻을 수 있다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} u^*(t) &= \frac{\displaystyle \int e^{\int \!P(t){\rm d}t} Q(t)\,{\rm d}t + C}{e^{\int \!P(t){\rm d}t}} \\ &= \frac{\displaystyle (1-n)\int e^{(1-n)\!\int \!p(t){\rm d}t} q(t)\,{\rm d}t + C}{e^{(1-n)\!\int \!p(t){\rm d}t}} \end{aligned} )]}}}|| 따라서 초기조건에 따라 적분상수 [math(C)]를 적당한 값으로 정해주면 [math(y(t))]는 다음과 같다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} y(t) = \left[ \frac{\displaystyle (1-n)\int e^{(1-n)\!\int \!p(t){\rm d}t} q(t)\,{\rm d}t + C}{e^{(1-n)\!\int \!p(t){\rm d}t}}\right]^{\frac1{1-n}} \end{aligned} )]}}}|| [[분류:방정식]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기