문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 대수 (문단 편집) == 체 위의 대수, Algebra over a field == [include(틀:대수학)] 체 위의 대수(Algebra on a field)는 복잡한 대수적 구조 중 하나로, [[벡터 공간]] 위에 곱셈 구조가 추가로 주어진 대수적 구조라 할 수 있다. 다만, 기존에 이미 덧셈과 스칼라곱이라는 연산이 주어져 있었으므로, 이 곱셈은 덧셈과 스칼라곱에 대해 어떤 관계, 즉 분배 법칙을 만족해야만 한다. 즉, 대수에서 말하는 곱셈이란 각 항에 대해 선형적이며, 따라서 쌍선형 사상이라고 할 수 있다. 이를 풀어서 쓰면 다음과 같다. [math(A )]가 체 [math(F )] 위의 대수라는 것은, 다음을 만족하는 것이다. * (벡터 공간) [math( (A, +, \cdot) )]은 [math(F )] 위의 벡터 공간이다. 즉, * (가환군) [math( A )] 위에 [math( + )]가 정의[* [math(x, y \in A \Rightarrow x + y \in A)]]되어 있으며, [math( \left( A,+\right) )]는 [[군(대수학)#s-6.3|가환군]](abelian)이다. 즉 다음의 4가지 성질을 만족한다.[br]임의의 [math( x , y, z\in A )]에 대하여 * [[덧셈]]에 대한 [[항등원]] 존재: [math( A )]에는 특정한 원소 [math( 0_A )]이 존재하여 모든 [math( x \in A )]에 대하여 [math( x + 0_A = 0_A + x = x )] * [[덧셈]]에 대한 [[역원]] 존재: [math( A )]의 임의의 원소 [math( x )]에 대하여 [math( x + u = u + x = 0_A )]을 만족하는 [math( u \in A )]가 존재한다. [* 이 때, [math( u = -x )]로 표기한다.] * [[교환법칙]] 성립: [math(\forall x, y\in A)], [math( x + y = y + x )] * [[결합법칙]] 성립: [math(\forall x, y, z\in A)], [math( \left( x + y \right) + z = x + \left( y + z \right) )] * (스칼라 곱) 연산 [math( \cdot:F\times A\rightarrow A)](스칼라 배)가 존재하고 임의의 [math(a,b\in F)], [math(x, y\in A)]에 대해 다음이 성립한다. * 벡터 합에 대한 [[분배법칙]]: [math( a\cdot\left(x+y\right)=a\cdot x+a\cdot y )] * 스칼라 합에 대한 [[분배법칙]]: [math( \left(a+b\right)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x )] * 스칼라 간의 곱에 대한 호환성: [math( \left(ab \right)\cdot x=a\cdot\left(b\cdot x \right))] [* 이 조건 때문에 [math(a\in F)], [math(x\in A)]에 대해 [math(a\cdot x)]를 [math( ax)]로 줄여쓰는 것에 혼동의 여지가 없으므로 스칼라 곱을 [math( ax)] 형태로 쓸 수 있다.] * 스칼라 곱의 [[항등원]]: [math( 1_F \cdot x=x )] * (곱셈) [math( A \times A \rightarrow A )]는 쌍선형 사상이다. 즉, 임의의 [math( a, b \in F )]와 [math( x, y, z \in A )]에 대하여, * [[분배법칙]] 1: [math( \left(x + y \right) \times z = x \times z + y \times z )] * [[분배법칙]] 2: [math( x \times \left(y + z \right) = x \times y + x \times z )] * 스칼라 곱에 대한 호환성: [math( \left(ax \right) \times \left(by \right) = ab(x \times y) )] 우리가 가장 흔히 접하는 대수는 행렬 공간 [math( F^{n\times n} )]이다. [[선형대수학|선형 대수]]에서는 행렬 공간을 벡터 공간으로만 다뤄왔지만 누구나 행렬 공간에 곱셈 구조도 존재함을 알고 있을 것이다. 그러므로 [[선형대수학의 기본정리]]에 의해 임의의 벡터 공간 [math(V )]에 대해 [math( V )]에서 [math( V)]로 가는 [[선형 변환]]들의 공간 [math(\mathfrak{L}(V, V) )]도 합성 연산을 곱셈으로 가지는 대수이다. 여기에 더해 정의역과 공역이 같고 공역이 [[환(대수학)|환]]인 함수들의 모임도 대수를 이룬다고 할 수 있을 것이다. 그런데 위의 정의를 보면, 어째선지 당연하게 있어야 할 것이 없다. 바로 '''결합법칙'''이다. 즉, 대수에서의 곱셈은 결합 법칙을 요구하고 있지 않다![* 곱셈이 결합 법칙을 만족하는 대수는 결합 대수(Associative Algebra)라고 부른다.] 이러한 방식으로 정의한 이유는 당연히 더 넓은 범위의 개념을 다루기 위해서겠지만... 실제 세계에서 결합 법칙을 만족하지 않는 곱셈이 있을까? 다시 위에서 이 문단의 첫 문장을 읽어보고 오자. 벡터 공간 위에 주어진 벡터의 곱이면서, 그 결과가 벡터고, 결합 법칙을 만족하지 않는 곱셈...? 그렇다. 바로 [[외적]]이다. 대수의 정의를 이렇게 둔 이유는 바로 [math( (F^3, +, \cdot, \times) )]도 대수의 일부로 다루고자 하기 때문이다. 사실 결합 법칙을 만족하지 않는 가장 중요한 예로 [[리 대수]](Lie algebra)를 들 수 있다. 결합법칙 대신 반대칭관계(anti-symmetry) [math([A, B] = -[B, A])]와 Jacobi identity [math([A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0)]을 만족한다.[* 리 대수에서 두 원소의 곱은 보통 [math(\lbrack A, B \rbrack)] 또는 [math(\lbrack AB \rbrack)]로 표기한다. 전자는 물리학자들이 많이 쓰고 후자는 수학자들이 많이 쓴다. 다만 요즘 기준으로는 수학자들도 전자를 많이 쓰는 듯. 다만 결합법칙을 만족하지 않는 다른 대수의 곱셈을 표기할 때도 이 표기를 쓰곤 한다. 결합법칙을 만족하지 않는데 [math(\lbrack A \lbrack BC \rbrack \rbrack)]이라면 모를까 [math(ABC)]라고 쓰면 골룸하기 때문이다.][* 재밌게도, 만약 [math(X)]를 [math(\lbrack A, X \rbrack)]로 보내는 선형사상을 [math(\textrm{ad }A)]라고 표기하면 (하도 중요한 거라서 adjoint라는 이름도 갖고 있다) Jacobi identity로부터 다음을 만족한다는 것을 보일 수 있다. [math((\textrm{ad }A)\lbrack X, Y \rbrack = \lbrack (\textrm{ad }A)X, Y \rbrack + \lbrack X, (\textrm{ad }A)Y \rbrack)]. 이게 미분의 곱셈법칙(혹은 라이프니츠 규칙(Leibniz' rule))과 비슷하게 보인다면 제대로 본 것이다. 라이프니츠 규칙을 갖는 선형 연산자는 미분의 대수학적 추상화 버전으로 다루어지며, 이게 리 군의 구조에서 중요한 역할을 한다. 물론 리 대수 그 자체의 구조를 다룰 때에도 매우 중요한 녀석이고.] 좀 전에 예를 든 외적으로 구성된 3차원 공간도 리 대수이며, 잘 알려진 리 대수 중 하나인 [math(\mathfrak{so}(3))]와 동형(isomorphic)이다. 또한 [[리 군]](Lie group)을 다루면 필연적으로 등장하는 녀석으로, 리 군의 성질 중 상당 부분, 특히 local한 성질들을 보고자 할 때 강력한 도구이다. 리 군 자체를 다루는 것보다 그에 대응하는 리 대수를 다루는 게 훨씬 편리하기 때문이다. 더군다나 리 군과 리 대수 간의 거의 사실 상 1-1 대응[* '거의 사실 상'이라고 했듯이 정말 1-1 대응은 아니다. 정확하게는 단순연결인 리 군과 리 대수 간에 1-1 대응이 있는 것이다. 하지만 universal covering을 생각하면 이것만으로도 충분하긴 하다.]을 이룬다. 그리고 단순 리 대수(simple Lie algebra)들의 분류와 존재성, 유일성, 심지어 이들의 표현(representation) 전부의 분류 및 존재성, 유일성 모두가 증명이 옛날에 완료되어서 많은 곳에서 써먹히는 중이다.[* 이게 뭐가 중요하냐면, 자연 현상에서 나타나는 많은 대칭성들이 컴팩트 리 군(compact Lie group)으로 표현되는데, 컴팩트 리 군은 단순 리 군이고, (단순연결인) 단순 리 군의 리 대수는 단순 리 대수 간에 1-1 대응이 존재하기 때문에 단순 리 대수를 알면 컴팩트 리 군의 상당 부분을 이미 알고 시작하는 셈이기 때문이다. 물론 단순 리 대수의 분류 작업이 대수적으로 닫힌 체(field)에서만 잘 작동한다는 점도 있고 리 대수 만으로는 보기 어려운 컴팩트 리 군의 다양한 성질들이 있긴 해서 사실 전부 다 알고 시작하는 건 아니지만, 그 정도 확장이야 그리 어려운 것도 아닌데다 어차피 이 단순 리 대수 내용이 컴팩트 리 군에서 전반적으로 엄청 중요한 건 변하지 않기 때문이다. 굳이 비유하자면 최고 레벨 100자리 게임에서 레벨 60부터 시작한다는 느낌?] 그 외에 결합 법칙이 만족되지 않는 예로 조르당 대수가 있으며, [[팔원수]] 역시 한 예로 들 수 있다. ([[사원수]]까진 결합법칙이 성립한다.) 사실 '대수' 그 자체 전체보다는 지금 든 예들처럼 어떤 특정한 조건을 만족하는 대수들을 모아다 연구하는 게 보통이다. 한편, 결합 법칙을 만족하는 대수, 즉 associative algebra도 얼마든지 중요하고, 그래서 오랫동안 연구되어 온 주제이기도 하다. 아무래도 제일 익숙한 녀석이다 보니까. 거기다 사실 결합 법칙을 만족하지 않는 대수가 어떤 식으로 associative algebra에서 표현된다고 하면 정말 편리해진다. 좋은 예를 위에서 든 리 대수 분야에서 찾을 수 있는데, universal enveloping algebra라고 거칠게 말하자면 주어진 리 대수를 야무지게(?!)[* 정확하게 말하자면 리 대수 [math(\mathfrak{g})]가 있을 때 어떤 associative algebra [math(U(\mathfrak{g}))]와 embedding [math(\iota : \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g}))]가 존재해 다음을 만족한다는 것이다. 임의의 associative algebra [math(\mathcal{A})]에 대해 [math(AB - BA \;\; (A, B \in \mathcal{A}))]를 product로 해서 새로운 대수 구조를 [math(\mathcal{A})]에 부여할 수 있고, 이걸 [math(\mathcal{A}_L)]이라고 표기하면 물론 이건 리 대수가 될 것이다. 이제 이러한 [math(\mathcal{A}_L)]에 대하여 리 대수 준동형사상(Lie algebra homomorphism) [math(f : \mathfrak{g} \to \mathcal{A}_L)]이 존재한다고 하자. 그러면 항상 [math(\phi \circ \iota = f)]를 만족하는 결합대수 준동형사상(associative algebra homomorphism) [math(\phi : U(\mathfrak{g}) \to A)]를 찾을 수 있고, 심지어 이 사상은 유일하다. (이러한 성질과 비슷한 것들을 가리켜 universal property라고 부른다.)] 포함하는 associative algebra를 항상 찾을 수 있고, 여기저기 정말 잘 써먹힌다. 덧붙여서, 교환법칙을 만족하는 associative algebra도 중요하고, 활발하게 연구되고 있다. 교환법칙을 반교환법칙으로 바꾼 경우도 그렇고. 예를 들어 미분기하학에서 텐서를 다룰 때 이 둘을 자주 볼 것이다. 교환법칙을 만족하는 associative algebra의 경우, K-theory 같은 데에서 주역이기도 하고. 그 외에도, 덧셈과 스칼라곱에는 있는데 곱셈에는 없는 조건이 있다. 바로 항등원의 존재이다. 만약 [math( A )]에 [math( 1_A )]가 존재해서 모든 [math( x \in A )]에 대해 [math( 1_A \times x = x \times 1_A = x )]라면, A를 unital algebra라 부른다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기