문서 보기문서 편집수정 내역 켈리 방정식 (r0 버전으로 되돌리기) 영어로는 Kelly criterion, Kelly strategy, Kelly formula, Kelly bet 등으로 표현 [목차] == 개요 == ||<tablealign=center><tablebgcolor=black>[youtube(C3Sdc_7e5Og)]|| [[미국]]의 수학자 켈리(J. L. Kelly)가 1956년에 발표한 공식. 탐욕의 공식이란 별명이 있다. 켈리는 벨 연구소에서 근무하던 연구원이었는데, 어떤 전송 채널이 가질 수 있는 최대 속도를 연구하다가 이 결과를 내놓았다. 켈리 자신도 1956년의 논문에서 [[도박]] 혹은 [[주식]]을 할 때 얼마만큼의 자금을 투입해야 하는가에 관한 방정식으로 해석하기도 했다. == 유도 == 일반적인 p의 확률로 승리시 b를 얻고 q의 확률로 패배시 a를 잃을 경우 아래의 공식이 만들어진다. ||<tablewidth=100%>[math(\displaystyle r=(1+fb)^{p} \times (1-fa)^{q})] 양 변에 로그를 취하면, [math(\displaystyle \log r= p\log(1+fb) + q\log(1-fa))] 미분하였을 때 0이 되는 f가 [[극값]]을 가지게 되므로 이를 미분하면 [math(\displaystyle 0= \frac{pb}{(1+fb)} - \frac{qa}{(1-fa)})] [math(\displaystyle \frac{pb}{(1+fb)} = \frac{qa}{(1-fa)})] [math(\displaystyle pb\times (1-fa) = qa \times (1+fb))] 이를 f에 관해 정리하면 널리 알려진 켈리 방정식이 나온다. [math(\displaystyle pb - pb\times fa = qa + qa \times fb)] [math(\displaystyle \frac p a - pf = \frac q b + qf)] [math(\displaystyle \frac p a - \frac q b = (p + q)f = f)] [math(\displaystyle f=\frac{p}{a} - \frac{q}{b})] 여기서, * [math(\displaystyle f)] : 베팅규모(보유자금 대비 베팅금액의 비율) * [math(\displaystyle a)] : 순손해률(1원을 베팅하고 패배할 경우 순손해 a원) * [math(\displaystyle b)] : 순이익률(1원을 베팅하고 승리할 경우 순이익 b원) * [math(\displaystyle p)] : 승리 확률 * [math(\displaystyle q)] : 패배확률([math(\displaystyle 1-p)]) || 패배 시 베팅 금액 전체를 날리고, 승리시 베팅금액*배당률을 획득하는 단순한 베팅을 생각해보면, a가 1이 되므로 켈리 공식은 아래와 같게 변한다: ||[math(\displaystyle f=\frac{bp-q}{b}=\frac{p(b+1)-1}{b})] || 승리시 얻는 금액과 패배시 잃는 금액이 같은 비율일 때의 간략화된 공식은 다음과 같다. ||[math(\displaystyle f = \frac{p - q}{a} = \frac{p - (1 - p)}{a} = \frac{2p - 1}{a})] * p : 승리할 확률 * a : 승리 혹은 패배시 얻거나 잃는 비율 * f : 원금 대비 배팅 비율 || == 설명 == 예를 들어 승률이 50%이고 얻거나 잃는 비율이 50%로 같은 도박은 f값이 0 이기 때문에 시행을 무한히 하게 되면 시간만 낭비할 뿐이고 돈을 딸 수 없다. 승률이 55%이면 f값이 0.1/0.5이기에 20%의 자금을 투자해서 무한하게 시행하면 돈을 벌게 된다. 여기서 무한히가 아닌 유한한 현실세계의 경우에는 50% 미만이어도 돈을 얻을 가능성이 있다. 다만 투자를 계속 할 수록 켈리 비율이 예측하는 수익률에 가까워진다. || 승률 || 투자 금액 || || 10% || 투자 금물 || || 20% || 투자 금물 || || 30% || 투자 금물 || || 40% || 투자 금물 || || 50% || 0% || || 60% || 20% || || 70% || 40% || || 80% || 60% || || 90% || 80% || || 100% || 100% || 실생활에선 우위/배당률로 기억하는 것이 활용하기 편하다. 켈리 기준에 가까울수록 공격적인 베팅, 기준을 넘어가면 변동성은 높아지고 수익률은 낮아지는 광적인 베팅으로 정의된다. 기준의 두 배가 넘으면 장기적으로 파산한다. 파산을 면함으로써 가장 빠르게 부의 총량을 늘리는 자금관리 기법으로 알려져 있다. 공식에 따르면 시재금이 1/2이 될 확률은 1/2, 1/100이 될 확률은 1/100, 0이 될 확률은 0이다. 노벨 경제학상 수상자 폴 새뮤얼슨은 효용함수가 무엇인지 이해하는 사람이라면 이런 방법을 쓰지 않을것이라며 매우 반발했다. 투자자산의 수익률이 [[정규분포]]를 따를 경우, [[샤프 지수]]를 극대화하는 것은 켈리공식에 따라 투자하는 것과 같은 결과를 가져온다. 효용이 보유자산과 정확히 로그함수의 관계를 가진다고 가정했을때 효용의 기대값을 극대화하는 것은 켈리공식에 따라 배팅하는 것과 같다.[* 정확히는 샤프 지수가 [math(\frac{기대 수익률 - 무위험 수익률}{표준편차})] 이고, 켈리 방정식의 정규분포 경우는 [math(\frac{기대 수익률 - 무위험 수익률}{표준편차^2})]으로 표준편차의 제곱이 들어간다는 점이 다르다.] [[분류:경제이론]][[분류:방정식]]캡챠되돌리기