루트2에서 넘어왔습니다.
√2
덤프버전 :
에로게 제작회사에 대한 내용은 Route2 문서 참고하십시오.
제곱하면 2가 되는 무리수이다. 무리수라는 사실이 증명된 최초의 수이기도 하다. 1.4141414...같은 순환소수도 아니고 다른 규칙이 있는 무리수도 아닌데 어떻게 무리수인지 증명했는지는 아래 문단 참조.
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이이며, 방정식 [math(x^2 = 2)]의 두 실수해 중 양수인 해다. 피타고라스 정리 참고.
[math(\sqrt{2})]의 소수점 아래 50자리까지는 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694이다. 근삿값으로 [math(\dfrac{99}{70})]이 제시되는데, 이 값은 1.41428571429로, 소수점 4자리까지 맞을 정도로 유사한 값이다.[1]
무한 지수 탑 함수에 넣으면 2가 된다.
유클리드(에우클레이데스)는 귀류법의 일종인 무한강하법을 이용하여 [math(\sqrt{2})]가 유리수가 아니라는 것을 증명했다.
다만 [math(\sqrt{2})]가 무리수임을 증명하기 위해서는 추가로 "[math(\sqrt{2})]는 실수이다."[3] 와 "유리수를 기약분수꼴로 나타낼 수 있다."라는 너무나 당연해 보이는 명제도 증명해야 한다.[4]
첫 번째 명제는 아래와 같이 엄밀하게 증명한다. 대학교 수학과 2학년 해석학에서 배우는 증명이다.
두 번째 명제는 아래와 같이 엄밀히 증명한다. 대학교 수학과 3학년 현대대수학의 개념을 이용한다.
고대 그리스보다 1000년 이상 앞선 기원전 1600~1800년 전 유물인 바빌로니아의 Ybc7289 점토판에는 대각선이 그어진 정사각형이 새겨져 있는데, 사각형 가운데에 60진법 쐐기 숫자가 몇 개 새겨져 있다. 가운데 윗 줄의 4개 숫자는 각각 1, 24, 51, 10으로, 60진법 소수로 1.24:51:10으로 해독된다. 10진법으로 환산하면 1.41421296...인데, 소수점 5자리까지 정확한 [math(\sqrt{2})]의 값이다. 이 외에도 다른 유물들을 통해 바빌로니아인들이 어떤 수의 제곱근을 근사하는 방식은 잘 알고 있었다는 것은 분명히 알 수 있지만[8] 바빌로니아인들이 무리수의 존재를 인식했거나, 유리수와 따로 분류했었는지는 알 수 없다.[9]
2011년에 일본의 한 회사원인 곤도 시게루라는 사람이 [math(\sqrt{2})]의 값을 소수점 이하로 1조 자리까지 계산하여 세계 신기록을 세운 바 있다. 이 사람은 원주율 계산 부문에서 세계 신기록을 달성한 전적도 있는데, 수학자도 아닌 일개 회사원이 이런 업적을 세웠기 때문에, 한동안 세간의 화제를 모은 바 있다.
당연하겠지만 분모와 분자의 크기가 클수록 평균적으로 정밀한 근사가 가능하다.
[math(\dfrac{3}{2})], [math(\dfrac{10}{7})], [math(\dfrac{17}{12})], [math(\dfrac{58}{41})], [math(\dfrac{99}{70})], [math(\dfrac{140}{99})], [math(\dfrac{577}{408})], [math(\dfrac{1393}{985})], [math(\dfrac{3363}{2378})], [math(\dfrac{8119}{5741})]
1. 개요[편집]
제곱하면 2가 되는 무리수이다. 무리수라는 사실이 증명된 최초의 수이기도 하다. 1.4141414...같은 순환소수도 아니고 다른 규칙이 있는 무리수도 아닌데 어떻게 무리수인지 증명했는지는 아래 문단 참조.
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이이며, 방정식 [math(x^2 = 2)]의 두 실수해 중 양수인 해다. 피타고라스 정리 참고.
[math(\sqrt{2})]의 소수점 아래 50자리까지는 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694이다. 근삿값으로 [math(\dfrac{99}{70})]이 제시되는데, 이 값은 1.41428571429로, 소수점 4자리까지 맞을 정도로 유사한 값이다.[1]
무한 지수 탑 함수에 넣으면 2가 된다.
2. 무리수 증명[편집]
유클리드(에우클레이데스)는 귀류법의 일종인 무한강하법을 이용하여 [math(\sqrt{2})]가 유리수가 아니라는 것을 증명했다.
이 문제는 과거 본고사 시절 서울대학교에서 출제되어 당시 학생들을 충격과 공포로 몰아넣은 적이 있다.[2] 하지만 그 뒤로 귀류법의 대표적인 예시로 소개되고 있어서 대한민국 학생에게는 나름 친숙한 증명법이 되었다.
다만 [math(\sqrt{2})]가 무리수임을 증명하기 위해서는 추가로 "[math(\sqrt{2})]는 실수이다."[3] 와 "유리수를 기약분수꼴로 나타낼 수 있다."라는 너무나 당연해 보이는 명제도 증명해야 한다.[4]
첫 번째 명제는 아래와 같이 엄밀하게 증명한다. 대학교 수학과 2학년 해석학에서 배우는 증명이다.
두 번째 명제는 아래와 같이 엄밀히 증명한다. 대학교 수학과 3학년 현대대수학의 개념을 이용한다.
유클리드보다 시대적으로 앞선 피타고라스 시대에도 [math(\sqrt{2})]가 유리수가 아니라는 것은 알고 있었을 것으로 추측되지만, 별다른 기록이 남아 있지 않다. 오히려 그런 수의 존재를 부정했다는 기록은 남아 있다.[7] 이와는 다르게 유클리드의 증명은 그의 저서 원론에 나와 있다.
고대 그리스보다 1000년 이상 앞선 기원전 1600~1800년 전 유물인 바빌로니아의 Ybc7289 점토판에는 대각선이 그어진 정사각형이 새겨져 있는데, 사각형 가운데에 60진법 쐐기 숫자가 몇 개 새겨져 있다. 가운데 윗 줄의 4개 숫자는 각각 1, 24, 51, 10으로, 60진법 소수로 1.24:51:10으로 해독된다. 10진법으로 환산하면 1.41421296...인데, 소수점 5자리까지 정확한 [math(\sqrt{2})]의 값이다. 이 외에도 다른 유물들을 통해 바빌로니아인들이 어떤 수의 제곱근을 근사하는 방식은 잘 알고 있었다는 것은 분명히 알 수 있지만[8] 바빌로니아인들이 무리수의 존재를 인식했거나, 유리수와 따로 분류했었는지는 알 수 없다.[9]
3. 여담[편집]
2011년에 일본의 한 회사원인 곤도 시게루라는 사람이 [math(\sqrt{2})]의 값을 소수점 이하로 1조 자리까지 계산하여 세계 신기록을 세운 바 있다. 이 사람은 원주율 계산 부문에서 세계 신기록을 달성한 전적도 있는데, 수학자도 아닌 일개 회사원이 이런 업적을 세웠기 때문에, 한동안 세간의 화제를 모은 바 있다.
4. 여러 가지 분수 근삿값[편집]
당연하겠지만 분모와 분자의 크기가 클수록 평균적으로 정밀한 근사가 가능하다.
[math(\dfrac{3}{2})], [math(\dfrac{10}{7})], [math(\dfrac{17}{12})], [math(\dfrac{58}{41})], [math(\dfrac{99}{70})], [math(\dfrac{140}{99})], [math(\dfrac{577}{408})], [math(\dfrac{1393}{985})], [math(\dfrac{3363}{2378})], [math(\dfrac{8119}{5741})]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-11-06 22:05:00에 나무위키 √2 문서에서 가져왔습니다.
[1] 물론 99라서 상당히 불편해보인다. 하지만 이는 분자와 분모가 자연수인 분수로는 분자와 분모의 크기가 가장 작고([math(\dfrac{10}{7})]은 예외) √2에 가깝기 때문에 제시된 것이지 이보다 가깝게 하는 분수는 굳이 소수점 뒤에 숫자를 많이 쓰지 않아도 얼마든지 만들 수 있다. 굳이 분자를 10의 배수로 하겠다면 [math(\dfrac{10000}{7071})] 정도가 적당하다. 이 값은 1.41422712488으로 오히려 [math(\dfrac{99}{70})]보다도 √2의 값에 더 가깝다. 더 가깝게 하려면 소수점 뒤에 1도 아닌 07을 붙여야 할 정도로 가깝다.[2] 당시 답안 중에는 "심각하게 생각해 보았는데 [math(\sqrt{2})]는 무리수이다." "아무리 생각해 보아도 [math(\sqrt{2})]는 무리수이다."같은 것도 있었다고 한다.(...)#[3] 정확히 말하면 실수 중에 2의 제곱근이 있다.[4] 간단하게, 위의 예시에서 [math(\sqrt{2})]를 허수 [math(i)]로 바꿔보자. [math(i)]가 무리수가 되는 기적(?)을 이끌어낼 수 있다. 유리수가 아닐 경우 무리수인 실수이거나 아니면 아예 실수가 아닐 텐데 저 증명에서는 유리수가 아니니 무리수라고 본 것이다.[5] 위로 유계=상계, 집합 S의 모든 원소보다 크거나 같은 실수들. 상계 중 최솟값인 상계최소(=상한)가 존재한다. 상한 c는 집합 S의 모든 원소보다 크거나 같은 실수 중 가장 작은 실수이다.[6] 물론 [math(b\neq 0)]이다.[7] 널리 알려진 히파소스의 일화가 이에 해당한다.[8] 너무 유명해 Babylonian method라는 이름까지 있는 방법이다. 방법만 알면 임의의 정수의 제곱근의 근삿값을 매우 빠르게 찾을 수 있다. 제곱근 문서 참고.[9] 물론 그 당시에도 수에 대한 인식이 없었던 건 아니다. 단지 무리수는 비교적 최근에야 그 존재가 인식되었을 뿐이다.