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중력/구각 정리
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분류
상위 문서: 중력 1. 개요[편집]
구각 정리(shell theorem)는 균일한 밀도(전하밀도)를 가지는 구각(spherical shell)[1] 내·외부의 중력장(전기장)이 어떻게 되는지 구하는 문제이다.
뉴턴(S. I. Newton; 1643~1727)이 먼저 이 문제를 해결했기 때문에 뉴턴의 구각 정리라고도 부른다.
2. 유형 1: 구각[편집]
아래와 같이 내부 반지름이 [math(a)], 외부 반지름이 [math(b)]이며 균일한 밀도 [math(\rho)]로 질량이 분포하는 구각 내·외부의 중력장을 구해 보자(그림은 구를 자른 단면이다).
중력장은 벡터이므로 더할 때 방향을 고려해야 한다는 점이 까다롭기 때문에 스칼라인(즉 방향을 고려할 필요가 없는) 퍼텐셜을 구하고 이를 미분함으로써 우회적으로 중력장을 구하는 트릭을 사용할 것이다.
2.1. 구각 외부[편집]
각 점의 의미는 아래와 같다.
- [math(\mathrm{O})]: 구각의 중심
- [math(\mathrm{P})]: 관측점
- [math(\mathrm{M})]: 구각의 미소 부피
우선 관측점이 구각 외부에 있을 때([math(r>b)])의 상황을 보자. 이 상황의 관측점에서 중력 퍼텐셜은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi \mathbf{(r)}&=-G\rho \int_{a}^{b}r'^{2}\,dr' \int_{0}^{\pi} \frac{\sin{\theta}}{R}\, d \theta \int_{0}^{2 \pi} d \phi \\ &=-2 \pi G\rho \int_{a}^{b}r'^{2}\,dr' \int_{0}^{\pi} \frac{\sin{\theta}}{R}\, d \theta \end{aligned} )]
[1] 쉽게 말하면 속이 비어 있는 공이다.
제2 코사인 법칙에 의해
[math(\displaystyle R^{2}=r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos{\theta} )]
로 쓸 수 있다. 그런데, 관측 지점은 고정된 것이므로 변수는 [math(r')]과 [math(R)], [math(\theta)]이다. 그런데, [math(r')]을 상수로 취급하고 [math(R)]에 대해 미분한다면,
[math(\begin{aligned}\displaystyle 2R\,dR&=2rr'\sin{\theta}\,d\theta\\\\\therefore\frac{\sin{\theta}}{R}\, d \theta &=\frac{1}{rr'}\,dR\end{aligned} )]
이상에서 중력 퍼텐셜 식은
[math(\displaystyle \Phi(r)=-\frac{2 \pi G\rho}{r} \int_{a}^{b}r'\,dr' \int dR )]
이 된다. 그런데, 위 상황에서 [math(R)]의 범위가
[math(\displaystyle r-r' \leq R \leq r+r' )]
이므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r) &=-\frac{2 \pi G\rho}{r} \int_{a}^{b}r'\,dr' \int_{r-r'}^{r+r'} dR \\&=-\frac{4 \pi G\rho}{3r}\left (b^{3}-a^{3}\right) \end{aligned} )]
중력장과 중력 퍼텐셜 사이 관계에 의해
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{g}(r) &=-\boldsymbol{\nabla} \Phi(r) \\ &=-\frac{4 \pi G\rho}{3r^{2}}\left (b^{3}-a^{3}\right) \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} )]
이상의 결과를 정리하면, [math(r>b)]의 영역에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-\frac{4 \pi G\rho}{3r} \left(b^{3}-a^{3}\right) \\ \mathbf{g}(r) &=-\frac{4 \pi G\rho}{3r^{2}}\left (b^{3}-a^{3}\right) \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} )]
이때, 밀도와 부피의 곱은 전체 질량이고, 그 값을 [math(M)]이라 놓으면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} M=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi \left(b^{3}-a^{3}\right) \end{aligned} )]
이므로 이 문제에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-\frac{GM}{r} \\ \mathbf{g}(r) &=-\frac{GM}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} )]
으로 원점에 질량 [math(M)]이 놓인 상황과 같다. 따라서 구면 대칭을 가지는 계의 외부 중력장과 중력 퍼텐셜은 중심에 그 계의 질량과 같은 질점이 놓인 상황일 때와 동일하다.
2.2. 공동 내[편집]
이 경우는 외부와 달리
[math(\displaystyle r'-r \leq R \leq r'+r )]
이므로 중력 퍼텐셜은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r) &=-\frac{2 \pi G\rho}{r} \int_{a}^{b}r'\,dr' \int_{r'-r}^{r'+r} dR \\&=-{2 \pi G\rho}\left(b^{2}-a^{2}\right) \end{aligned} )]
으로, 구각의 공동에서 중력 퍼텐셜은 위치에 무관한 상수이다. 그렇기 때문에 공동 내의 중력장은 0이다.
이상의 결과를 정리하면, [math(r<a)]의 영역에서 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-{2 \pi G\rho} \left(b^{2}-a^{2}\right) \\ \mathbf{g}(r) &=0 \end{aligned} )]
2.3. 구각 내부[편집]
이 문제의 가장 어려운 점은 관측점이 구각 내부([math(a<r<b)])에 있을 때의 중력 퍼텐셜을 구해내는 것이다.
위 그림과 같이 반지름 [math(r)]인 구면을 하나 고려하게 되면, 구각은 두 부분으로 나누어진다:
- 나눠진 구각을 기준으로 관측점이 외부에 있는 경우: [math(a \sim r)] 영역
- 나눠진 구각을 기준으로 관측점이 내부에 있는 경우: [math(r \sim b)] 영역
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-\frac{4 \pi G\rho}{3r} (r^{3}-a^{3})-{2 \pi G\rho} (b^{2}-r^{2}) \\ &=-\pi G\rho \left( 2b^{2}-\frac{4a^{3}}{3r}-\frac{2r^{2}}{3} \right) \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있고, 중력 퍼텐셜과 중력장의 관계에 의해
[math(\displaystyle \mathbf{g}(r)=-\frac{4 \pi G \rho}{3} \left( r-\frac{a^{3}}{r^{2}} \right) \hat{\mathbf{r}} )]
이상의 결과를 정리하면, [math(a<r<b)]의 영역에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-\pi G\rho \left( 2b^{2}-\frac{4a^{3}}{3r}-\frac{2r^{2}}{3} \right) \\ \mathbf{g}(r) &=-\frac{4 \pi G \rho}{3} \left( r-\frac{a^{3}}{r^{2}} \right) \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} )]
임을 알 수 있다.
2.4. 결과 종합[편집]
이상의 결과를 종합하면, 중력 퍼텐셜의 경우
[math(\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -{2 \pi G\rho} \left(b^{2}-a^{2}\right) &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle -\pi G\rho \left( 2b^{2}-\frac{4a^{3}}{3r}-\frac{2r^{2}}{3} \right) &\quad (a<r<b) \\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi G\rho}{3r}\left(b^{3}-a^{3}\right) &\quad (r>b) \end{array}\right. )]
중력장의 경우
[math(\displaystyle \mathbf{g}(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi G \rho}{3} \left( r-\frac{a^{3}}{r^{2}} \right) \hat{\mathbf{r}} &\quad (a<r<b) \\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi G\rho}{3r^{2}}\left (b^{3}-a^{3}\right) \hat{\mathbf{r}} &\quad (r>b) \end{array}\right. )]
따라서 [math(r)]에 대한 그래프는 다음과 같다.
그러므로 퍼텐셜은 경계에서 연속이다. 또한, 구각의 외부([math(r>b)])에서 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle -\Phi(r) \propto \frac{1}{r^{2}},\quad -g(r) \propto \frac{1}{r} )]
3. 유형 2: 구[편집]
균일한 밀도 [math(\rho)]로 질량이 분포하는 구의 내·외부 중력장 분포는 위의 구각 문제의 결과인 [math(a\to0)]을 사용하여 구할 수 있다. 따라서 구의 내·외부 중력 퍼텐셜과 중력장 분포는
[math(\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -\pi G\rho \left( 2b^{2}-\frac{2r^{2}}{3} \right) &\quad (r<b) \\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi b^{3} G\rho}{3r} &\quad (r>b) \end{array}\right. )]
특히 [math(r>b)]인 영역에서 [math(\left(4 \pi b^{2} \rho\right)/3 \equiv M)]이라 하여 구의 전체 질량으로 표기하면,
[math(\displaystyle \Phi(r)= -\frac{GM}{r} \quad (r>b))]
이므로 구에 해당하는 질량의 질점이 구 중심에 있는 상황과 같다. 즉, 구면 대칭이 있는 계는 그 계와 동일한 질점이 계의 중심에 놓인 상황과 같다. 또한, 퍼텐셜은 연속이다.
중력장은 다음과 같이 결정된다.
[math(\displaystyle \mathbf{g}(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -\frac{4 \pi G \rho}{3}{\mathbf{r}} &\quad (r<b) \\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi G\rho b^{3}}{3r^{2}} \hat{\mathbf{r}} &\quad (r>b) \end{array}\right. )]
중력 퍼텐셜과 동일한 논법으로, [math((4 \pi b^{2} \rho)/3 \equiv M)]을 사용하면, [math(r>b)]인 영역에서 중력장은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \mathbf{g}(r)= -\frac{GM}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \quad (r>b))]
특이한 결과는 [math(r<b)] 영역에서 다음이 성립한다는 점이다.
[math(\displaystyle -g(r) \propto r )]
위 결과의 [math(r)]에 대한 그래프는 다음과 같다.
4. 유형 3: 구각 표면에만 질량이 분포하는 경우[편집]
이번엔 질량이 반지름 [math(a)]인 구면에만 균일한 면 밀도 [math(\sigma)]로 분포하는 상황을 살펴보도록 하자. 위의 문제 풀이법을 적용하면 쉽게 구할 수 있다. 상황을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
(ⅰ) 구각의 외부: [math(\boldsymbol{r>a})]
이 문제는 질량이 구면에 분포하고 있는 점에 유의하여야 한다. 따라서 중력 퍼텐셜은
[math(\displaystyle \Phi (r)=-G \sigma \int_{0}^{\pi} \frac{a^{2}\sin{\theta}}{R}\,d \theta \int_{0}^{2 \pi} d\phi )]
그런데, 피타고라스 정리에 의해
[math(\displaystyle R^{2}=a^{2}+r^{2}-2ar\cos{\theta} )]
[math(r)]는 고정되어 있고 [math(\theta)]가 변하여 [math(R)]가 변하는 상황이므로
[math(\displaystyle 2R\,dR=2ar\sin{\theta}\,d \theta )]
여기서 나온 결과를 위 중력 퍼텐셜 식에 대입하면,
[math(\displaystyle \Phi (r)=-\frac{2 \pi a G \sigma}{r} \int dR )]
이 상황에서 [math(R)]의 범위는
[math(\displaystyle r-a \leq R \leq r+a )]
이므로
[math(\displaystyle \Phi (r)=-\frac{2 \pi a G \sigma}{r} \int_{r-a}^{r+a} dR=-\frac{4 \pi a^{2} G \sigma}{r} )]
그런데, 면 밀도와 구면의 겉넓이를 곱하면, [math(4 \pi a^{2} \sigma \equiv M)]으로,
[math(\displaystyle \Phi (r)=-\frac{GM }{r} )]
따라서 구면 대칭을 가지는 계의 외부 퍼텐셜은 그 계의 총 질량과 같은 질점이 그 계의 중심에 놓여 있는 상황과 같다. 중력 퍼텐셜과 중력장의 관계에 의해 중력장은 아래와 같이 결정된다.
[math(\displaystyle \mathbf{g} (r)=-\frac{4 \pi a^{2} G \sigma}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} )]
마찬가지로, [math(4 \pi a^{2} \sigma \equiv M)]을 사용하면,
[math(\displaystyle \mathbf{g} (r)=-\frac{GM }{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} )]
(ⅱ) 구각의 내부: [math(\boldsymbol{r<a})]
이 문제 상황은 [math(R)]의 범위를
[math(\displaystyle a-r \leq R \leq a+r )]
로 바꾸기만 하면 된다. 따라서 중력 퍼텐셜은
[math(\displaystyle \Phi (r)=-\frac{2 \pi a G \sigma}{r} \int_{a-r}^{a+r} dR=-{4 \pi a G \sigma} )]
으로 공동 내부에선 중력 퍼텐셜은 상수가 된다. 따라서 중력장은 다음과 같이 존재하지 않는다.
[math(\displaystyle \mathbf{g} (r)=0 )]
이상의 결과를 종합하면, 중력 퍼텐셜의 경우 다음과 같다.
[math(\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -{4 \pi a G \sigma} &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi a^{2} G \sigma}{r} &\quad (r>a) \end{array}\right. )]
계속해서 퍼텐셜은 연속이 된다는 점에 유의하라. 중력장은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \mathbf{g}(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi a^{2} G \sigma}{r^{2}} &\quad (r>a) \end{array}\right. )]
위 결과의 [math(r)]에 대한 그래프는 다음과 같다.
5. 여담[편집]
- 이 구각 정리는 "중력장에 대한 가우스 법칙"을 사용하여도 같은 결과를 얻는다.
- 이 구각 정리는 지구공동설을 반박하는 근거로 잘 쓰인다. 지구에 공동이 존재한다면, 그 공동 안엔 이 문서의 결과에 의해 무중력 상태가 되기 때문이다.
- 이 구각 정리에 관련해서, 2019학년도 대학수학능력시험 국어 영역 31번 문제에 출제되기도 했다.[2][3] 이 문서와 같이 수학적으로도 어려운데, 그것을 글로 풀어서 설명한 뒤, 그 설명을 토대로, 단시간 내 선지에서 올바른 답을 고르는 건 국어 영역에 대한 훈련이 철처히 되어 있지 않았다면, 어려웠을 것이다. 결국 한국교육과정평가원은 문제 이의제기 검토 결과를 발표하면서 학생들에게 사과를 했다.[4] 참고로, 이 구각 정리는 물리학과 2학년 고전역학 과목을 배우면서 접하게 된다.
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2022-07-14 01:42:16에 나무위키 중력/구각 정리 문서에서 가져왔습니다.[2] 물론 문제 접근 방법이나 대상은 이 문서와는 좀 다르다. 왜냐하면, 해당 문제에서는 구에 대한 중력을 구하는 문제였으며, 그 구를 매우 얇은 구각으로 나눈뒤 각각의 중력을 더해서 구할 수 있다고 했기 때문이다. 그러나 기본적인 원리는 이 문서 또한 같으며, 이에 구각을 매우 작은 부피 요소로 나누고, 각각에 대한 중력 퍼텐셜을 더하여, 구각의 중력 퍼텐셜을 구하고, 이를 통해 구각에 의한 중력장을 구했다.[3] 해당 문제[4] 그런데 그 문제는 단순히 작용 반작용의 법칙만 기억하고 있어도 답을 고를 수 있다. 답이 되는 보기는 '태양의 중심에 있는 질량이 [math(m)]인 질점이 지구 전체를 당기는 만유인력은, 지구의 중심에 있는 질량이 [math(M)]인 질점이 태양 전체를 당기는 만유인력과 크기가 같겠군.'인데 작용 반작용 법칙을 생각하면, 당연히 '태양의 중심에 있는 질량이 [math(m)]인 질점이 지구 전체를 당기는 만유인력'은 '지구 중심에 있는 질량 [math(M)]인 질점이 태양 전체를 당기는 만유인력'과 같은 것이 아니라 '지구 전체가 태양 중심에 있는 질량 [math(m)]인 질점을 당기는 만유인력'과 같다는 것을 알 수 있다.
