헬름홀츠 분해
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1. 개요[편집]
헬름홀츠 정리(Helmholtz theorem)는 임의의 삼차원 벡터장을 비회전장과 비발산장의 합으로 나타날 수 있다는 정리로, 벡터 미적분학의 기본 정리라고도 불린다.
2. 상세[편집]
[math(\mathbb{R}^3)] 위의 벡터장 [math(\mathbf{F})]를 생각하자. 이때, 다음 조건을 만족하는 두 벡터장 [math(\mathbf{F}_\perp)], [math(\mathbf{F}_\parallel)][1] 를 [math(\mathbf{F})]의 헬름홀츠 분해라고 한다.
[math(\mathbf{F} = \mathbf{F}_\perp + \mathbf{F}_\parallel)]
[math(\nabla \times \mathbf{F}_\perp = 0, \quad \nabla \cdot \mathbf{F}_\parallel = 0)]
[math(\nabla \times \mathbf{F}_\perp = 0, \quad \nabla \cdot \mathbf{F}_\parallel = 0)]
벡터장 [math(\mathbf{F})]의 해석적인 성질이 충분히 좋은 경우, 이러한 분해가 존재한다.
[math(\displaystyle
\begin{aligned}
\begin{aligned}
\mathbf{F}_\perp &= \nabla \times \left[ \nabla \times \frac{1}{4\pi}
\int \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r'})}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r'}\right|} d^3\mathbf{r'} \right] \\
\mathbf{F}_\parallel&=-\nabla \left[ \nabla \cdot \frac{1}{4\pi}
\int \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r'})}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r'}\right|} d^3\mathbf{r'} \right]
\end{aligned})]
\int \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r'})}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r'}\right|} d^3\mathbf{r'} \right] \\
\mathbf{F}_\parallel&=-\nabla \left[ \nabla \cdot \frac{1}{4\pi}
\int \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r'})}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r'}\right|} d^3\mathbf{r'} \right]
\end{aligned})]
이를 적용하면, 임의의 벡터장을 스칼라 퍼텐셜 [math(\Phi)]와 벡터 퍼텐셜 [math(\mathbf{A})]을 이용해 나타낼 수 있게 된다.
[math(\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{A} - \nabla \Phi)]
물리적인 상황에서는 무한히 먼 지점에서 벡터장의 값이 0으로 사라지는 경우를 많이 고려한다.[2] 이러한 경계 조건에서 헬름홀츠 분해는 유일함이 알려져 있다.
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