문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라플라스 변환 (문서 편집) [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == {{{+2 Laplace transform}}} 라플라스 변환은 수학자 [[피에르시몽 라플라스|라플라스]]의 이름을 따서 이름지어졌다. 라플라스가 현재 Z-변환이라 불리는 비슷한 변환을 확률론에서 사용했기 때문. 현재 사용되는 라플라스 변환은 제 2차 세계대전 전후로 [[올리버 헤비사이드]](Oliver Heaviside), 토마스 브롬위치(Thomas John I'Anson Bromwich), 구스타프 도이치(Gustav Doetsch) 등의 많은 학자들의 기여로 완성되었다. [[https://jkcb.tistory.com/43|라플라스 변환]]에는 미분 방정식을 푸는 데 매우 유용한 도구가 되는 중요한 속성과 정리가 많이 있기에 매우 중요하다. == 수식 == [math(\displaystyle F\left(s\right) = \mathcal{L}\left\{ f\right\} \left(s\right) \equiv \int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt)] 라플라스 변환을 나타내는 기호는 [math(\mathcal{L})]이다. 라플라스 변환 대신 [[라그랑주 역학|라그랑지언]]을 이 기호로 쓰기도 한다. 사실 변수를 굳이 s가 아니라 x,t 뭘 쓰든 상관 없다. 저 이상적분식은 최종적인 결과가 s에 관한 함수로 나온다. 적분 구간이 0에서 부터 시작하는 것과 음의 무한대에서 시작하는 것 두가지 버전이 있는데, 전자를 unilateral Laplace transform, one-sided Laplace transform이라 부르고 후자를 bilateral Laplace transform, two-sided Laplace transform 이라 부른다. == 원리 == 간단하게 설명하자면 [[미분방정식]]을 다른 '공간'으로 변환시켜 더 단순하게 만든 후, 이를 풀어내는 기법. 즉 A공간에서는 매우 풀기 어려운 식을 B공간에서는 단순한 사칙연산으로만 구할 수 있다. 이때 A->B로 식을 가져간 뒤 풀고 다시 내가 있는 A공간으로 오기 위해 B->A공간으로 가져온다 이때 이용하는 통로를 라플라스 변환이라고 한다. 미분방정식의 eigenvalue(고유값)만 따서 계산하는 기법이라고 할 수 있다.[* [[선형대수학]]에서의 선형 변환(linear transformation), 맵핑과 똑같다! 실제로 라플라스 변환을 공부할 때 라플라스 변환은 선형 연산(linear operation) 가능하다고 나올 것이다.] 선형 미분방정식에서는 가히 [[로피탈의 정리]]급 위력을 발휘하는 사기기술로, 어지간히 손대기도 힘든 2계 미분방정식[* second order differential equation. ]도 이녀석을 동원하고 적당히 라플라스 역변환을 시켜주면 근을 구해낼 수 있다. 다만 역변환[* 푸리에-멜린 적분 변환이라고도 한다. ]은 따로 공식이 있긴 하지만 [[복소해석학]]을 배워야 해서 어렵기 때문에 대신 [[부분분수분해]]를 통해 함수를 간단히 만든 후 라플라스 변환 표를 보고 적당히 역변환을 추리하는 것이 일반적이다.[* 실용적인 목적에도 이쪽이 더 낫다. 라플라스 역변환은 이론적인 토대를 제공할 뿐이지, 실제로 계산하기에는 애로사항이 많다.] 또한 선형 편미분방정식도 경계가 반무한(semi-infinite) 또는 양쪽 다 무한(infinite)이라면 풀 수 있다. 원래 라플라스 변환은 자연계의 운동들, 예를 들면 포락선(envelope) 같은 감쇠 현상을 설명하기 위해 고안된 개념이다. 위 공식에서 [[복소수]] [math(s = \sigma+i\omega)]라는 걸 생각해보자. 여기에서 [math(\sigma)]과 [math(\omega)]는 [[실수]]이며 [math(i)]는 [[허수]]단위다. [math(s)]는 상수 [[자연로그의 밑|[math(e)]]] 를 밑으로 한 지수인데, [[지수(수학)|지수 법칙]]을 이용해 이를 실수부와 허수부로 분리할 수 있다. 실수부는 감쇠를, 허수부는 [[오일러 공식]]에 의해 정현파(사인함수와 코사인함수) 형태로 표현된다. 이 둘을 곱하면 감쇄하는 진동운동이 표현된다.[* 실수부를 [math(0)]으로 만들면 [[푸리에 변환]]이 되는데, 이는 감쇄하지 않는 진동운동을 의미한다.] 실수부 값에 따라 주어진 적분이 수렴하여 라플라스 변환이 존재할 수도 있고, 적분이 발산하여 라플라스 변환이 존재하지 않을 수도 있다. 이를 규정하는 기준을 수렴구간(ROC: Region Of Convergence)이라고 한다. 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정을 개략적으로 설명하면 1. t-공간에서의 복잡한 미분방정식 1. 1.의 방정식을 적절하게 라플라스 변환 1. s-공간에서의 본래 식보다는 간단한[* 진짜로 간단해진다. 본래 식이 간단하면 라플라스 쓰지 말고 그냥 푸는 게 빠르다.] 대수방정식 혹은 미분방정식(1의 미분방정식보다는 간단하다.) 1. 3.의 해를 다시 적절하게 라플라스 '''역'''변환 1. t-공간에서의 미분방정식의 해 즉 t-공간에서의 결과물을 얻기 위해, 가상의 s-공간에서 무언가를 수행하는 방법이라 하겠다. 더 쉽게 말하면, 복잡한 녀석을 이해하기 일단 이해하기 쉬운 녀석으로 바꿔서 처리한 뒤, 그것을 다시 되돌려서 원래 의미를 알아내는 방법이라고 생각하면 된다. 하지만 이렇게 해서 풀 수 있는 것은 어디까지나 선형 미분방정식에 국한된다.[* 라플라스 변환은 선형 연산자(linear operator)이다. 따라서 선형 연산이 성립하지 않는 비선형 미분방정식에 대해서는 적용할 수 없다.] 비선형 방정식은 특별한 경우[* 풀이가 존재하는 [[베르누이 미분방정식]]같은 경우]가 아닌 이상 [[수치해석]]을 믿을 수밖에 없다. == 사용 == [[미분방정식]]은 계수(order)가 높아질수록 해를 구하는 것은 거의 불가능하기 때문에 라플라스 변환을 사용한다. 주어진 미분방정식(differential equation)을 곧바로 푸는 것이 아니라 먼저 라플라스 변환한 후 대수방정식(algebraic equation)의 해를 구하고 다시 역변환하는 것이다. 이 방법을 적용하면 '일정 주기를 갖고 반복되는 함수형'(sin, cos, sinh, cosh 등)의 해를 그저 유리식의 사칙연산 수준만으로 구할 수 있어서 신호 처리 등에 유용하다. 이 목적을 위하여 원래 함수-변환된 함수를 세트로 모아놓은 표가 있다. 이름하여 라플라스 변환 표. 표 안에 세트가 수십 개 정도 있다. 주로 [[공과대학]]에서 [[공업수학]]을 통해 처음 배우며, 이후 [[회로이론]], [[제어공학]], [[신호 및 시스템]] 등의 과목에서 활용한다. 수많은 미분방정식을 풀어낼 때 유용하게 쓰이기 때문에 [[전자공학]]과 [[기계공학]] 전공자라면 어느 정도는 반드시 알아둬야 할 변환법이다. [[수학과]]의 경우 [[미분방정식]]이라는 과목에서 배우게 된다. 라플라스 변환의 이산 버전으로 Z-변환(Z-transform)이라는게 있는데, 이는 차분방정식(difference equation)을 대수방정식(algebraic equation)으로 바꿔준다. 대부분의 성질이 라플라스 변환과 유사하며, 주로 [[디지털]] 시스템을 다루는 데 사용된다. == 구하는 방법 == 만약에 당신이 수학과라면 변환과 역변환의 과정을 직접 계산해서 보여야 할 일이 많을 것이다.[* 수학과가 아니라면 이 모든 계산을 다 할 필요는 없다.] 이 문단에선 라플라스 변환 및 역변환에 관한 기술을 설명한다. === 라플라스 변환 표 === [math(F(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}(s) = \left(\mathcal{L}f\right)(s) )]같이 다양한 표기가 통용된다. || '''함수''' || [math(f(t))] || [math(F(s))] || '''ROC(수렴영역)''' || || [[디랙 델타 함수]][* 단위 충격 함수라고도 한다.] || [math(\delta(t))] || [math(1)] || 모든 [math(s)] || || 단위 계단 함수[* 디랙 델타 함수의 부정적분. [[헤비사이드 계단 함수]]라고도 한다.][* 적분 구간이 0부터 무한대이기 때문에 [math(u(x))]이든 [math(x)]든 상관이 없다. 다른 말로 임의의 [math(f)]나 0이나 양수일때 [math(f)]이고 음수일때 다른 함수이어도 라플라스 변환은 같다는 뜻이다.] || [math( u(t))] || [math(s^{-1})] || [math(\Re(s) > 0)] || || 단위 램프 함수 || [math(t u(t))] || [math(s^{-2})] || [math(\Re(s) > 0)] || || 위 함수를 포함한 n승꼴의 함수 || [math(t^n u(t))] || [math( \dfrac{n!}{s^{n+1}})] || [math(\Re(s) > 0, n > -1)] || || [[지수함수]] || [math(e^{-at}u(t))] || [math(\dfrac{1}{s+a})] || [math(\Re(s) > -a)] || || [[삼각함수|사인 함수]] || [math(f(t) = \sin(\omega t) u(t))] || [math(F(s) = \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2})] || [math(\Re(s) > 0)] || || [[삼각함수|코사인 함수]] || [math(f(t) = \cos(\omega t) u(t))] || [math(F(s) = \dfrac{s}{s^2+\omega^2})] || [math(\Re(s) > 0)] || || 지수적으로 감쇄하는 사인 함수 || [math(f(t) = e^{-at} \sin(\omega t) u(t))] || [math(F(s) = \dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2})] || [math(\Re(s) > -a)] || || 지수적으로 감쇄하는 코사인 함수 || [math(f(t) = e^{-at} \cos(\omega t) u(t))] || [math(F(s) = \dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2})] || [math(\Re(s) > -a)] || || [[쌍곡선 함수|쌍곡 사인 함수]] || [math(f(t) = \sinh(\omega t) u(t))] || [math(F(s) = \dfrac{\omega}{s^2-\omega^2})] || [math(\Re(s) > |\omega|)] || || [[쌍곡선 함수|쌍곡 코사인 함수]] || [math(f(t) = \cosh(\omega t) u(t))] || [math(F(s) = \dfrac{s}{s^2-\omega^2})] || [math(\Re(s) > |\omega|)] || === 도함수 === >{{{+1 [math(\mathcal{L}\left\{f'\left(t\right)\right\} = s\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}-f\left(0\right))]}}} 증명 ||[math(\displaystyle F\left(s\right) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt)][br][math(\begin{matrix} \mathcal{L}\left\{f'\left(t\right)\right\}&=&\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-st}f'\left(t\right)dt\\&=&\displaystyle\left[e^{-st}f(t)\right]_{0}^{\infty}+s\int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt\\&=&\displaystyle s\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}-f\left(0\right)+\lim_{t\to\infty}e^{-st}f(t)\end{matrix})][br]이때 [math(\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\})]가 계산 가능하기 위해 [math(\displaystyle\lim_{t\to\infty}e^{-st}f(t)=0)]이 선행되어야 하므로,[br][math(\mathcal{L}\left\{f'\left(t\right)\right\} = s\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}-f\left(0\right))]라는 원하는 결과를 얻게 된다.|| 이를 일반화한 식은 다음과 같다. 증명은 수학적 귀납법을 이용하면 할 수 있다. {{{+1 [math(\mathcal{L}\left\{f^{\left(n\right)}\left(t\right)\right\} = s^{n}\mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}-s^{n-1}f\left(0\right)-s^{n-2}f'\left(0\right)-\cdots-f^{\left(n-1\right)}\left(0\right))]}}} === 함수와 다항식의 곱 === >{{{+1 [math(\mathcal{L}\left\{-tf\left(t\right)\right\} = F'\left(s\right))]}}} >예시: {{{+1 [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{te^{at}\right\} = -\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-a}\right) = \frac{1}{\left(s-a\right)^2})]}}} 증명 ||[math(\displaystyle F\left(s\right) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt)][br][math(\displaystyle F'\left(s\right) = \int_{0}^{\infty} (-t)e^{-st} f(t) dt = \mathcal{L}\left\{-tf\left(t\right)\right\})]|| 이를 일반화한 식은 다음과 같다. 증명은 수학적 귀납법을 이용하면 할 수 있다. {{{+1 [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{t^{n} f(t)\right\} = (-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s))]}}} 아래와 같이 변형할 수도 있다. > {{{+1 [math(\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t) = -\frac{1}{t}\mathcal{L}^{-1} \left\{ F'(s) \right\})]}}} >예시: {{{+1 [math(\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left\{\ln\left(1-\frac{a^2}{s^2}\right)\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\ln\left(s^2-a^2\right)-2\ln s\right\} = \frac{2}{t}-\frac{2\cosh\left(at\right)}{t})]}}} === 주파수 평행이동 === >{{{+1 [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}f(t)\right\} = F(s-a))]}}} >예시: {{{+1 [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}\sin\left(wt\right)\right\} = \frac{w}{\left(s-a\right)^2 +w^2})]}}} 증명 || [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}f(t)\right\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}f(t)dt = \int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t} f(t)dt = F(s-a))]|| === 몫 형태 === >함수 [math(f(t))]의 라플라스 변환과 [math(\displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{f\left(t\right)}{t})]가 존재하면 > {{{+1 [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_{s}^{\infty} F(u)du )]}}} >예시: {{{+1 [math(\displaystyle \mathcal{L}\left\{\frac{\cos(at)-1}{t} \right\} = \int_{s}^{\infty}\frac{u}{u^2+a^2}-\frac{1}{u}du = -\ln\sqrt{1+\frac{a^2}{s^2}})]}}}[* [math(a\neq0)]일경우. 또한 극한값이 존재한다는 것도 따로 보여야 한다] 증명 || [math(\displaystyle \int_{s}^{\infty} F(u)du = \int_{s}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-ut} f(t) dtdu = \int_{0}^{\infty} \int_{s}^{\infty}e^{-ut} f(t) dudt = \int_{0}^{\infty} f(t) \int_{s}^{\infty} e^{-ut} dudt = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{t}e^{-st} f(t) dt = \mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\})][* [[중적분#s-3|푸비니의 정리]]를 사용한다.] || === 합성곱(Convolution) === 함수 [math(f, g)]가 주어졌을 때, Convolution [math(\left(f*g\right)\left(t\right))]를 [math(\displaystyle \int_{0}^{t}f\left(t-u\right)g\left(u\right)du)]로 정의한다. 이 convolution은 몇 가지 성질이 있는데 다음과 같다. 1. {{{+1 [math(f*0 = 0 = 0*f)]}}} (영원) 1. {{{+1 [math(f*g = g*f)]}}} ([[교환법칙]]) 1. {{{+1 [math(f*(g+h) = f*g + f*h)]}}} ([[분배법칙]]) 1. {{{+1 [math(f*(g*h) = (f*g)*h)]}}} ([[결합법칙]]) 특히 중요한 것은 아래 정리로, 라플라스 역변환을 할 때 자주 쓰인다. >정리: {{{+1 [math(\mathcal{L}\left\{f*g\right\} = \mathcal{L}\left\{f\right\}\times \mathcal{L}\left\{g\right\})]}}} >예시: {{{+1 [math(\displaystyle \frac{1}{\left(s^2+1\right)^2} = \mathcal{L}\left\{\sin t \right\}\times \mathcal{L}\left\{ \sin t \right\} = \mathcal{L}\left\{(\sin *\sin) t \right\})]}}} >{{{+1 [math(\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{1}{ \left(s^2+1\right)^2} \right\} = \int_{0}^{t}\sin\left(t-u\right)\sin u du = \frac{\sin t-t\cos t}{2})]}}} 증명 ||좌변 = [math(\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st}\int_{0}^{t} f(t-u) g(u) dudt = \int_{0}^{\infty}\int_{u}^{\infty}e^{-su}g(u) e^{-s(t-u)} f(t-u) dtdu = \int_{0}^{\infty}e^{-su}g(u) \int_{u}^{\infty}e^{-s(t-u)} f(t-u) dtdu)] [* 적분 순서의 변경과 푸비니의 정리 사용] [br] [math(\xi = t-u)]라 치환하면, [math(\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-su} g(u) \int_{0}^{\infty}e^{-s\xi} f(\xi) d\xi du)] = 우변|| === 역변환 === 함수 [math(f)]의 라플라스 변환이 [math(g)]라고 하면, 다음이 성립한다. || [math(f(t)=\displaystyle \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma -i\infty}^{\sigma+i\infty}g(s)e^{st}ds)] || 이 공식을 직접 사용할 일은 거의 없으며, [[부분분수분해]]를 한 다음 변환표를 이용해서 푸는 경우가 대다수다. [[분류:해석학(수학)]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기