문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 스털링 근사 (문서 편집) [[분류:해석학(수학)]] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == 스털링 근사는 [[계승(수학)|계승]], 나아가 [[감마 함수]]에 대한 [[근삿값]]을 구할 수 있도록 하는 식이다. 일반적으로는 아래와 같은 식으로 표현되며 ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} n! &\approx \sqrt{2\pi n} \Bigl( \frac ne \Bigr)^{\!n} \\ \ln(n!) &\approx n \ln{n} -n \end{aligned} )]}}}|| 원하는 수준의 근사 정도에 따라 아래의 식에서 원하는 항까지 사용할 수 있다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} n! &\approx \sqrt{2\pi n} \Bigl( \frac ne \Bigr)^{\!n} \biggl( 1 +\frac1{12n} +\frac1{288n^2} -\frac{139}{51840n^3} -\frac{571}{2488320n^4} +\frac{163879}{209018880n^5} +\cdots \biggr) \\ \ln(n!) &\approx n \ln{n} -n +\frac12 \ln{n} +\frac12 \ln(2\pi) +\frac1{12n} -\frac1{360n^3} +\frac1{1260n^5} -\frac1{1680n^7} +\cdots \end{aligned} )]}}}|| 식에서 예상할 수 있듯이, 작은 수에서는 오차가 크다. === 예시 === [math(15000!)]의 근삿값을 구해보자. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} 15000! &\approx \sqrt{2\pi \times 15000} \,\biggl( \frac{15000}e \biggr)^{\!15000} \\ &\approx 2.74 \times {10}^{56129} \end{aligned} )]}}}|| == 간단한 증명 == 이 문단에서는 다음 식만 증명할 것이다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} n! &\approx \sqrt{2\pi n} \Bigl( \frac ne \Bigr)^{\!n} \end{aligned} )]}}}|| 먼저 다음 3가지의 참고식들을 증명한 다음, 이 참고식들을 사용하여 스털링 근사식을 증명할 것이다. 증명 과정 중 참고식을 사용한 경우, 등호 위에다가 해당 참고식의 알파벳을 적을 것이다. (예: [math(\overset{A}=)]) * 참고식 [math(A)] ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) {\rm d}x = \frac1{2n^2} \end{aligned} )]}}}|| ||{{{#!folding [증명] ------- {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) {\rm d}x &= \biggl[ \frac knx -\frac12x^2 \biggr]_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \\ &= \frac kn \biggl( \frac kn -\frac{k-1}n \biggr) -\frac12 \biggl( \frac{k^2}{n^2} -\frac{k^2-2k+1}{n^2} \biggr) \\ &= \frac k{n^2} -\frac{2k-1}{2n^2} \\ &= \frac1{2n^2} \end{aligned} )]}}} }}} || * 참고식 [math(B)] ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} = \sqrt2 \end{aligned} )]}}}|| ||{{{#!folding [증명] ------- [math(f(x)=\ln(1+x))]이라고 할 때, [math(\dfrac{k-1}n \le x \le \dfrac kn)]인 [math(x)]에 대해 [math(f'(x) = \dfrac1{1+x})]의 최솟값과 최댓값은 각각 [math(\dfrac1{1+\frac kn})]과 [math(\dfrac1{1+\frac{k-1}n})]이다. 따라서 다음 부등식이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} &\qquad \frac1{1+\frac kn} \le \frac{f\bigl(\frac kn\bigr) - f(x)}{\frac kn - x} \le \frac1{1+\frac{k-1}n} \\ \Rightarrow \quad &\frac1{1+\frac kn} \le \frac{\ln\bigl(1+\frac kn\bigr) - \ln(1+x)}{\frac kn - x} \le \frac1{1+\frac{k-1}n} \end{aligned} )]}}} 각 변에 [math(\dfrac kn-x)]를 곱하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac1{1+\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) \!\le \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \le \frac1{1+\frac{k-1}n} \biggl( \frac kn -x \biggr) )]}}} 각 변에 [math(n)]을 곱하고 [math(\dfrac{k-1}n)]부터 [math(\dfrac kn)]까지 적분하자. 적분 과정 중 참고식 [math(A)]를 사용하였다. {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac n{1+\frac kn} \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) \!\,{\rm d}x &\le \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac n{1+\frac{k-1}n} \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) {\rm d}x \\ \overset{A}\Rightarrow \quad \frac1{1+\frac kn} \frac1{2n} &\le \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1{2n} \end{aligned} )]}}} 각 변을 [math(k=1)]부터 [math(k=n)]까지 더하자. {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \frac12 \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac kn} \frac1n \le \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac12 \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1n )]}}} 각 변에 [math(n\to\infty)]의 극한을 취하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac kn} \frac1n \le \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1n \end{aligned} )]}}} 가운데 변을 정리하자. {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \\ = &\sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\ln\biggl(1+\frac kn\biggr) {\rm d}x - \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\ln(1+x) \,{\rm d}x \\ = &\sum_{k=1}^n n\ln\biggl(1+\frac kn\biggr) \!\int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} {\rm d}x -\int_0^1 n\ln(1+x) \,{\rm d}x \\ = &\sum_{k=1}^n n\ln\biggl(1+\frac kn\biggr) \frac1n -n \bigl[ (1+x)\ln(1+x)-x \bigr]_0^1 \\ = &\sum_{k=1}^n \ln\biggl(\frac{n+k}n\biggr) -n(2\ln2-1) \\ = &\ln \biggl( \frac{n+1}n \frac{n+2}n \cdots \frac{n+n}n \biggr) -n\ln\frac4e \\ = &\ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \biggr) -\ln \biggl( \frac4e \biggr)^{\!n} \\ = &\ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \biggr) \end{aligned} )]}}} 좌변과 우변의 극한을 각각 계산하자. 계산 과정에서 [[정적분#정적분의 정의|정적분의 정의]]에 관한 식을 사용하였다. {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac kn} \frac1n &= \frac12 \int_0^1 \frac1{1+x} \,{\rm d}x \\ &= \frac12 \bigl[ \ln{|1+x|} \bigr]_0^1 \\ &= \frac12 \ln2 \\ &= \ln{\sqrt2} \\ \frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1n &= \frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac1{1+\frac kn} \frac1n \\ &= \frac12 \int_0^1 \frac1{1+x} \,{\rm d}x \\ &= \ln{\sqrt2} \end{aligned} )]}}} 따라서 위의 부등식은 아래와 같이 정리할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \ln{\sqrt2} \le \lim_{n\to\infty} \ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \biggr) \!\le \ln{\sqrt2} \end{aligned} )]}}} [[조임 정리]]에 따라 다음 극한이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \biggr) \!&= \ln{\sqrt2} \\ \therefore \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} &= \sqrt2 \end{aligned} )]}}} }}}|| * 참고식 [math(C)] ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt\pi \end{aligned} )]}}}|| ||{{{#!folding [증명] ------- [[월리스 곱]]으로부터 시작한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac\pi2 &= \lim_{n\to\infty} \frac{2\cdot2}{1\cdot3} \cdot \frac{4\cdot4}{3\cdot5} \cdots \frac{2n\cdot2n}{(2n-1)\cdot(2n+1)} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdots (2n)^2}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (2n-1)^2 \cdot (2n+1)} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdots (2n)^2}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (2n-1)^2 \cdot (2n)} \\ \pi &= \lim_{n\to\infty} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdots (2n)^2}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (2n-1)^2 \cdot n} \\ \sqrt\pi &= \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) \cdot \sqrt n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{2 \cdot 4 \cdots (2n)} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)} \frac1{\sqrt n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{(2^n n!)^2}{(2n)!} \frac1{\sqrt n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \\ \therefore \sqrt\pi &= \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \end{aligned} )]}}} }}} || 여기까지 왔으면 이제 스털링 근사식의 간단한 증명은 매우 쉽다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n e^{-n} \sqrt n} &= \lim_{n\to\infty} \frac{e^n n!}{n^n \sqrt n} \frac{}{} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\,4^n} \frac{e^n n!}{n^n \sqrt n} \frac{4^n n!}{(2n)!} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \\ &\overset{B,C}{\!\,=} \sqrt2 \cdot \sqrt\pi = \sqrt{2\pi} \\ \therefore n! &\approx n^n e^{-n} \sqrt n \sqrt{2\pi} = \sqrt{2\pi n} \Bigl( \dfrac ne \Bigr)^{\!n} \end{aligned} )]}}}|| === 출처 및 참고 문헌 === * [[https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/31/3/31_3_262/_pdf/-char/ja]] * [[https://freshrimpsushi.github.io/posts/proof-of-stirling-approximation/|스털링 근사 공식의 엄밀한 증명]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기