문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 부피 (문단 편집) === 구분구적법을 이용한 부피 구하기 === 구분구적법을 이용하여 부피를 구하려면 입체도형을 일정한 높이 간격[* 반드시 일정한 높이 간격일 필요는 없으나 이 경우 각 구간의 크기가 0에 수렴한다는 것이 증명되어야 한다. 보통은 균등하게 자르는 것이 편리하여 일정한 간격으로 자른다.]으로 '잘라야' 한다. 잘린 각 도형의 밑면의 넓이와 높이, 그리고 그 개수를 식으로 나타낸 후 이들과 함께 수열의 합 공식을 적절히 이용하면 대략적인 부피의 값이 나오는데, 도형의 개수가 한없이 커진다고 가정하고 이 값의 극한을 구하는 것이다. 유한한 개수의 직육면체로 표현할 수 없는 도형의 부피를 구하는 데 이용된다고 할 수 있다. 이 방법으로 한 변의 길이가 d이고 높이가 h인 정사각뿔의 부피를 구해 보면 다음과 같다. * 정사각뿔을 높이가 h/n인 입체도형 n개로 자른다고 가정한다. * 각 입체도형의 밑면의 넓이를 구하기 위해서는 한 변의 길이부터 구하는 것이 편리한데, 한 변의 길이는 맨 위쪽 도형부터 d/n, 2d/n, 3d/n, ..., (n-1)d/n, d이므로 밑면의 넓이는 위쪽부터 (d/n)^^2^^, (2d/n)^^2^^, (3d/n)^^2^^, ..., {(n-1)d/n}^^2^^, d^^2^^이다. 이것을 일반식으로 표현하면 위쪽에서 k번째 도형의 밑면의 넓이는 (kd/n)^^2^^(1≤k≤n)이다. * 각 입체도형의 높이가 h/n이므로 입체도형의 부피는 대략적으로 (kd/n)^^2^^×(h/n)=k^^2^^d^^2^^h/n^^3^^(1≤k≤n)이다. n이 커질수록 오차가 작아지고 무한히 커진다고 가정하므로 오차는 없는 것이나 다름없다. * 입체도형의 부피를 k에 대한 식으로 보고, k에 1부터 n까지를 대입한 식을 계산한다. k^^2^^d^^2^^h/n^^3^^을 k에 대하여 정리하면 k^^2^^×(d^^2^^h/n^^3^^)이 되는데, k를 제외한 나머지는 상수로 볼 수 있으므로 k^^2^^ 부분만 따로 떼어내서 1부터 n까지 계산하면 n(n+1)(2n+1)/6이 되고, 따라서 최종 결과는 n(n+1)(2n+1)/6×(d^^2^^h/n^^3^^)=(n+1)(2n+1)d^^2^^h/6n^^2^^이다. * n이 무한히 커진다고 가정하므로 극한을 이용하면 최종 결과는 [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(2n+1)d^2h}{6n^2}=\frac{d^2h}{3})]이다. 적당히 좌표공간을 설정하여 도형의 높이가 f(x, y) 꼴로 표현되는 경우, 이 도형을 xy평면으로 정사영시킨 도형에 외접하고 각 변이 x축 또는 y축과 평행하거나 일치하는 직사각형을 설정하고 이것을 가로, 세로 각각 n등분하여 직사각형 모양으로 나누어서 각 부분의 대략적인 높이(각 부분의 중심 또는 꼭짓점 부분)를 이용하여 n이 무한히 커진다고 가정했을 때의 극한을 이용하여 부피를 구할 수도 있는데, 이것도 구분구적법의 응용이라고 할 수 있다. 예를 들어 좌표공간상에서 원점, (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)을 꼭짓점으로 하는 사면체의 부피를 구해 보자. * 사면체를 xy평면으로 정사영시킨 도형은 원점과 (1, 0, 0), (0, 1, 0)을 지나는 직각이등변삼각형이므로, 이 도형에 외접하는 직사각형은 원점과 (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0)을 꼭짓점으로 하는 정사각형이다. * 각 부분의 높이를 구하기 위해 높이를 나타내는 함수 f(x, y)를 정하면 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)을 지나는 평면은 x+y+z=1이므로 z=1-x-y라고 할 수 있다. 즉 f(x, y)=1-x-y이다.(단, x+y>1인 부분에는 도형이 존재하지 않으므로 높이는 0으로 한다.) * 가로, 세로 각각 n등분하여 n^^2^^개의 직사각형으로 나누면, 한 직사각형의 가로, 세로 길이는 모두 1/n이다. * 여기서는 각 부분에서 x, y좌표 값이 가장 큰 부분을 이용하자. x축 방향으로 가면 x좌표는 1/n, 2/n, 3/n, ..., 1 순이며, 마찬가지로 y축 방향으로 가면 y좌표는 1/n, 2/n, 3/n, ..., 1 순이다. * f(1/n, 1/n), f(2/n, 1/n), f(3/n, 1/n), ..., f(1, 1/n), f(1/n, 2/n), ..., f(1, 2/n), ..., f(1, 1) 각각의 함숫값을 구하고 이들을 합한다. 단, 이 함숫값이 음수가 되는 경우는 0으로 한다. 여기서는 {(n-2)/n+(n-3)/n+(n-4)/n+...+1/n+0+0}+{(n-3)/n+(n-4)/n+(n-5)/n+...+1/n+0+0+0}+...+{1/n+0+...+0}+{0+...+0}+{0+...+0}이 되고, 대괄호 친 각각의 부분을 수열 공식을 이용하여 n에 대한 일반적인 식으로 바꾸면 1+2+...+n=n(n+1)/2이므로 {(n-2)(n-1)/2n}+{(n-3)(n-2)/2n}+...+2/2n={(n-2)(n-1)+(n-3)(n-2)+...+2}/2n이다. 여기서 (n-2)(n-1)+(n-3)(n-2)+...+2는 (n-2)(n-1)=n^^2^^-3n+2에 1부터 n까지 대입한 결과와 같으므로 수열의 합 공식을 이용하면 n(n+1)(2n+1)/6-3n(n+1)/2+2n=n^^3^^/3-n^^2^^+2n/3이다. 이 값을 2n으로 나누면 n^^2^^/6-n/2+1/3이 되므로 함숫값들의 합은 n^^2^^/6-n/2+1/3이다. * 각 부분은 가로 1/n, 세로 1/n인 정사각형이므로 넓이는 1/n^^2^^이다. 함숫값과 이것을 곱하면 1/6-1/2n+1/3n^^2^^이고 여기서 n이 무한히 커진다고 가정하면 극한값은 1/6이다. 따라서 구하는 사면체의 부피는 1/6이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기