문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 부피 (문단 편집) === [[중적분|이중적분]]을 이용한 부피 구하기 === 위의 모든 방법을 사용했는데도 부피를 구하기 어렵거나, 조건이 맞지 않아 사용할 수 없을 때는 [[중적분|이중적분]]을 이용하여 부피를 구할 수 있다. 방법은 다음과 같다. * 밑면과 평행하거나 일치하게 xy평면을 설정한 후 높이 z를 x, y의 함수로 나타낸다. 즉 z=f(x, y)로 하여 하나의 좌표공간을 설정한다. * 도형이 위치한 x, y좌표의 범위를 확인한다. 이때 밑면 또는 xy평면상의 z좌표는 도형의 내부가 아니지만 밑면과 평행한 다른 평면상의 해당 z좌표는 도형의 내부가 될 수 있음에 주의하자. * 이 범위를 식으로 나타낸다. a≤x≤b, f(x)≤y≤g(x)와 c≤y≤d, f(y)≤x≤g(y) (a, b, c, d는 모두 상수)의 2가지 꼴 중에 편리한 것을 선택하자. * f(x, y)를 이중적분하여 부피를 구한다. 단, x, y좌표의 범위가 원이나 부채꼴 모양일 때는 극좌표로 변환하여 r(중심과의 거리), θ(x축의 양의 방향과 이루는 각)에 대한 식으로 나타내야 한다. 이때는 z=f(x, y)에서 x를 rcosθ, y를 rsinθ로 바꿔서 z=f(rcosθ, rsinθ) 꼴로 표현해야 하고, r과 θ에 대하여 적분해야 한다. 단 이때는 f(rcosθ, rsinθ)가 아니라 여기에 [[야코비안]] r을 곱한 '''f(rcosθ, rsinθ)×r'''을 구한 범위에서 적분해야 한다. 예를 들어 다음을 해결해 보자. > 직선 y=x+1과 x=1, 그리고 x축과 y축으로 둘러싸인 부분에서 높이가 x+y인 도형의 부피를 구하시오. 이 경우는 회전체도 아니고, 높이가 일정하지도 않다. 구분구적법을 이용하면 되지만 그 과정이 복잡하므로 이중적분을 이용하는 것이 좋다. * 밑면과 일치하게 xy평면을 설정한다. 높이 z는 z=x+y로 이미 주어진 상태이다. * 도형이 위치한 x, y좌표의 범위는 0≤x≤1, 0≤y≤x+1이다. * 이중적분을 하면 다음과 같이 부피를 구할 수 있다. [math(\displaystyle \iint_D {f(x, y)}dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x+1}(x+y)dydx=\int_{0}^{1}\left[\left(xy+\frac{1}{2}y^2\right)\right]_{y=0}^{y=x+1}dx=\int_{0}^{1}\left(x(x+1)+\frac{1}{2}(x+1)^2\right)dx=\int_{0}^{1}\left(\frac{3}{2}x^2+2x+\frac{1}{2}\right)dx=2)] 다음을 해결해 보자. > 중심이 원점이고 반지름이 1인 원의 제1사분면과 제2사분면 부분에서 높이가 x^^2^^+y^^2^^인 도형의 부피를 구하시오. 이 경우는 x, y좌표의 범위가 반원이므로 극좌표로 변환하여 부피를 구해야 한다. * 반지름 r은 0≤r≤1, x축의 양의 방향과 이루는 각 θ의 크기는 0≤θ≤π이다. * 높이 x^^2^^+y^^2^^는 x=rcosθ, y=rsinθ이므로 (rcosθ)^^2^^+(rsinθ)^^2^^=r^^2^^(cos^^2^^θ+sin^^2^^θ)=r^^2^^이다. * 이중적분을 하면 다음과 같이 부피를 구할 수 있다. [math(\displaystyle \iint_D {f(x, y)}dA=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}(r^2)rdrd\theta=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}(r^3)drd\theta=\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4}d\theta=\frac{\pi}{4})]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기