문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 차원분석 (문단 편집) == [anchor(파이 정리)]버킹엄의 π 정리와 파이 방법 == '''Buckingham's Pi theorem''' 상기 레일리의 방법에 [[선형대수학]]의 [[차원 정리]]를 도입하여 체계화한 것으로 1914년에 에드가 버킹엄(Edgar Buckingham, 1867 ~ 1940)에 의해 정립되었다. 개념의 최초 증명 자체는 1878년에 프랑스의 수학자 조제프 베르트랑(Joseph Bertrand, 1822 ~ 1900)에 의해 전기역학과 열전도의 문제에 관한 특수한 경우들에 한하여 이루어진 것으로 알려져 있고, 사실 버킹엄 이전에도 정식으로 일반화한 수학자들은 여럿 있었으나 무차원량을 의미하는 [math(\pi)][* 표기가 같은 [[원주율]]과는 무관하다.]를 이용하여 정립한 것은 버킹엄이 최초이다. 정성적으로는 다음과 같이 표현할 수 있다. > 물리학적으로 의미가 있는 어떤 방정식이 [math(n)]개의 독립적인 물리량으로 표현되며 해당 방정식을 구성하는 기저 [[차원(물리량)|차원]]이 [math(k)]개라고 할 때, 그 방정식은 [math(p = n-k)]개의 [[무차원량]] 매개변수 [math(\pi_1,\,\pi_2,\,\cdots,\,\pi_p)]를 포함하는 식으로 바꿔쓸 수 있다. 좀 더 수학적인 방식으로 서술하면 다음과 같다. > [math(n)]개의 독립 변수인 물리량 [math(q_i)]가 다음과 같은 관계식 > || [math(f(q_1,\,q_2,\,\cdots,\,q_n) = 0)][* 앞선 레일리의 방법에서 표현된 [math(q = g(q_1,\,q_2,\,\cdots,\,q_n))]에서 [math(q)]를 우변으로 이항한 형태라고 보면 된다.] || > 을 만족하고 해당 관계식을 구성하는 기저 차원이 [math(k)]개라고 할 때, 위 관계식은 [math(p = n-k)]개의 무차원량인 [math(\pi_i)]를 이용하여 > || [math(F(\pi_1,\,\pi_2,\,\cdots,\,\pi_p) = 0)] || > 으로 나타낼 수 있고, 이때 [math(\pi_i)]는 다음을 만족한다. > || [math(\displaystyle\pi_i = \prod_{i=1}^n{q_i}^{a_i})] || > (단, [math(a_i)]는 유리수) 이 정리 덕분에 주어진 물리 변수들 간의 구체적인 관계식을 모르더라도 해당 방정식을 구성하는 무차원량을 찾을 수 있고, 방정식을 구성하는 변수가 간략화된다는 특징이 있기 때문에 해석이 좀 더 용이해진다. 단, 물리량이나 차원을 배열하는 순서에 따라 얻어지는 [math(\pi_i)]는 천차만별인데다 이렇게 얻어진 무차원량이 물리학적으로 꼭 어떤 의미를 갖는다는 보장은 없다. 처음에 관계식을 구성할 때 누락되거나 무시되는 물리량이 있다면 무차원량의 개수도 그만큼 줄어들고, 1차원의 변위가 아닌 3차원의 공간 좌표 각각을 독립된 변수로 다루게 되면 거꾸로 그만큼 무차원량의 개수가 늘어나기 때문이다. 버킹엄의 [math(\pi)] 정리는 어디까지나 무차원량을 찾는 여러 방법 중 하나를 알려주는 것에 불과하다. 증명을 위해서는 [[유리수]]체 위에 정의된 [[벡터 공간]] [math(\mathbb R^{k\times n})]에 속하는 차원 [[행렬(수학)|행렬]] [math(M)]을 먼저 정의할 필요가 있다. [math(M)]의 [math(j)]번째 열벡터는 분석하고자 하는 방정식에서 [math(j)]번째 물리량이 갖는 기저 차원의 '''지수'''를 성분으로 갖는다고 하자. 앞선 단진자의 경우를 예로 들면, 기저 차원은 [math(\sf M)], [math(\sf L)], [math(\sf T)]이고 물리량은 [math(l)], [math(w)], [math(g)], [math(T)]이므로 이 순서대로 행과 열을 나열하여 차원 행렬 [math(M)]을 만들어보면 || [math(\begin{aligned}\dim l &= \sf L \\ \dim w &= \sf MLT^{-2} \\ \dim g &= \sf LT^{-2} \\ \dim T &= \sf T \end{aligned})] || 에서 || [math(\begin{aligned} \begin{pmatrix} & l & w & g & T \\ \sf M & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \sf L & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \sf T & 0 & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \\ \therefore M = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & 1\end{pmatrix}\end{aligned})] || 가 된다. 이렇게 벡터 공간을 정의하면 무차원량은 기저 차원의 지수가 모두 0이므로 해당 벡터 공간의 영벡터([math(\bf0)])에 해당하며 [math(M{\bf a} = {\bf0})] (단, [math({\bf a} \ne {\bf0})]), 즉 [math(M)]을 영벡터로 만드는 [[영공간]](kernel, 핵) [math(\bf a)]의 존재 여부를 고려해볼 수 있다. 핵이 존재할 경우 그 성분을 그대로 대응되는 원래 물리량의 지수에 대입하면 차원이 모두 약분된 무차원량을 얻을 수 있게 된다. 한편, 계수-퇴화차수정리에 따라 || [math({\rm rank}\,M + \ker M = n)] || 이며 차원 행렬 [math(M)]의 차수(rank)는 방정식을 구성하는 기저 차원의 개수와 같으므로 [math({\rm rank}\,M = k)]. 따라서 [math(\ker M = n - {\rm rank}\,M = n-k)]이며 이 값이 의미하는 바는 원래 방정식의 관계식에 포함되는 무차원량의 개수이다. 만약 [math(n = k)]이라서 [math(p=0)], 즉 무차원량이 없다는 결론이 나올 경우 차원 행렬 [math(M)]의 모든 열벡터가 독립인 것과 동치이기 때문에 '''애초에 방정식 자체가 [[잘 정의됨|잘 정의]]되지 않는다.'''[* 이 경우 레일리의 방법을 쓰면 변수가 모자라서 좌우변의 차원이 일치하지 않는다는 결론에 도달한다.] 이런 경우 해당 방정식에 영향을 줄 법한 다른 독립 변수를 찾거나 적당한 차원을 갖는 물리 상수를 도입하면 해결되는 경우가 있다. 즉, 물리학적으로 의미가 있는 방정식이 성립한다면 반드시 [math(p\ge1)]을 만족한다. 다시 앞선 단진자의 예시를 보면, 위에서 구한 [math(M)]은 [[기본행연산]]을 통해 || [math(M \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \dfrac12 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\dfrac12\end{pmatrix})] || 가 되므로 [math({\rm rank}\,M = 3)]이며 [math(p = 4 - 3 = 1)]개의 무차원량 [math(\pi_1)]을 이용한 식으로 바꿔 쓸 수 있다. [math(M{\bf a} = {\bf0})]을 만족하는 핵 [math(\bf a)]는 다음과 같으므로 || [math({\bf a} = \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix})] || 원래 물리량의 관계식 [math(f(l,\,w,\,g,\,T) = 0)]은 [math(F(\pi_1) = 0)]으로 나타낼 수 있고 [math(\pi_1)]은 핵의 성분을 대응되는 물리량의 지수에 대입한 것과 같으므로 || [math(\pi_1 = l^{-1}w^0gT^2 = \dfrac{gT^2}l)] || 이며 이 값은 단진자의 주기 일반해 [math(T = 4\sqrt{\dfrac lg}K{\left(\sin\dfrac{\theta_0}2\right)})]로부터 [math(\pi_1 = 16{\left\{K{\left(\sin\dfrac{\theta_0}2\right)}\right\}}^2)]이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기