2022학년도 대학수학능력시험/의견/수학 영역 해설

1. 개요[편집]

2. 6월 모의평가(2021.06.03.)[편집]

2.1. 공통(수학Ⅰ· 수학Ⅱ)[편집]

2.1.1. 1번~8번(객관식 2~3점)[편집]

1번

[해설]

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지수법칙으로 푼다.

[math(2^{\sqrt 3}\times 2^{2-\sqrt 3}=2^{\sqrt 3+2-\sqrt 3}=2^2=4)]

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2번

[해설]

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[math(f'(x)=3x^2-2x)]를 부정적분하면 [math(f(x)=x^3-x^2+\rm C)]이고, [math(f(1)=1)]이므로 [math(\rm C=1)]이다.

[math(f(x)=x^3-x^2+1,\;f(2)=5)]

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3번

[해설]

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삼각함수의 정의에 의하여

[math(\sin\theta=-\dfrac{12}{13},\ \cos\theta=-\dfrac{5}{13})]

[math(\therefore \sin\theta+\cos\theta=-\dfrac{17}{13})]

수식으로만 본다면 다음과 같다.

[math(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{12}{5})]

[math(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1)]

[math(\pi<\theta<\dfrac{3}{2}\pi~\rightarrow~\sin\theta<0,~\cos\theta<0)]

[math(\therefore \sin\theta=-\dfrac{12}{13},\ \cos\theta=-\dfrac{5}{13})]

이후는 위와 같다.

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4번

[해설]

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그래프를 해석하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to 0-}f(x)&=-2\\\lim_{x\to 2+}f(x)&=0\\\lim_{x\to 0-}f(x)&+\lim_{x\to 2+}f(x)=-2\end{aligned})]

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5번

[해설]

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곱미분을 이용한다.

[math(\begin{aligned}g'(x)&=2xf(x)+(x^2+3)f'(x) \\ \\ \therefore g'(1)&=2f(1)+4f'(1)=8\end{aligned})]

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6번

[해설]

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방정식 [math(3x^2-x=5x)]를 풀면 [math(x=0)], [math(x=2)]이다. 따라서 곡선 [math(y=3x^2-x)]와 직선 [math(y=5x)]으로 둘러싸인 부분은 위 그림과 같으며, 이차함수 넓이 공식을 이용하여 빠르게 답을 구할 수 있다.

[math(\dfrac36\cdot(2-0)^3=4)]

넓이 공식을 몰랐다면 그냥 적분해도 그렇게 시간은 걸리지 않았을 것이다. [math(0<x<2)]에서 [math(y=5x)]가 [math(y=3x^2-x)] 위에 있으므로 넓이를 구하는 식은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle \int_0^2 \left\{5x-\left(3x^2-x\right)\right\} \,{\rm d}x&=\displaystyle \int_0^2 (6x-3x^2) \,{\rm d}x\\&=\left[3x^2-x^3\right]_0^2=4\end{aligned})]

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7번

[해설]

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[math(\{a_n\})]은 첫째항이 [math(2)]인 등차수열이므로 [math(a_n=(n-1)d+2)]로 쓸 수 있다.

한편, [math(S_3-S_2=a_3)]이므로 문제의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}a_6&=2a_3\\5d+2&=2(2d+2)=4d+4\\ \therefore d&=2\end{aligned})]

그러면 [math(a_n=2(n-1)+2=2n)]이므로

[math(\begin{aligned}S_n&=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\\&=\sum_{k=1}^n 2k\\&=2\cdot\dfrac{n(n+1)}2\\&=n(n+1) \\ \therefore S_{10}&=110\end{aligned})]

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8번

[해설]

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먼저, 함수 [math(\{f(x)\}^2)]은 다음과 같다.

[math(\{f(x)\}^2=\begin{cases}\;(-2x+6)^2\quad &(x<a)\\\;(2x-a)^2\quad &(x\geq a)\end{cases})]

이 함수가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 [math(x=a)]에서 연속이라는 것만 보장되면 된다. 따라서 다음과 같이 [math(a)]에 관한 방정식을 세울 수 있으며, 서로 다른 실근의 합이 문제의 답이다.

[math(\begin{aligned}(-2a+6)^2&=(2a-a)^2\\\rightarrow a^2-8a+12&=(a-2)(a-6)=0\end{aligned})]

따라서 [math(a=2)] 또는 [math(a=6)]이므로 답은 [math(2+6=8)]이다. 근과 계수의 관계를 생각하여 이차방정식을 보고 바로 답이 8인 것을 알아낼 수도 있다.

2.1.2. 9번~15번(객관식 4점)[편집]

9번

[해설]

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수열의 규칙성을 찾는 문제이다. 문제의 조건에 따라 처음 항들을 구해 보면 다음과 같다.

[math(a_1,\;\dfrac1{a_1},\;\dfrac8{a_1},\;\dfrac{a_1}8,\;a_1,\;\cdots)]

[math(a_1=a_5)]이고 1과 5는 모두 홀수이다. 따라서 수열 [math(\{a_n\})]은 처음 네 개의 항이 반복되는 수열이다.

[math(\begin{aligned}\therefore a_{12}&=a_4=\dfrac{a_1}8=\dfrac12\\a_1&=4\\ \\ \therefore a_1+a_4&=4+\dfrac12=\dfrac92\end{aligned})]

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10번

[해설]

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문제에 제시된 두 곡선을 연립하고 정리하면

[math(x^2+3x=n)]

이다. 두 곡선이 만나는 점의 [math(x)]좌표가 1보다 크고 2보다 작다는 것은, 위 이차방정식의 해가 1보다 크고 2보다 작다는 것과 같다. [math(1<x<2)]이면 [math(4<x^2+3x<10)]이므로, 문제에서 구하는 [math(n)]의 값은 5, 6, 7, 8, 9이다. 따라서 답은 35

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11번

[해설]

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먼저, 문제의 조건에 따르면 닫힌구간 [math([0,\,1])]에서의 함수 [math(f(x))]의 그래프는 위와 같이 그릴 수 있다. 이때, (가)에 따르면 [math(-1<x<0)]일 때 [math(f(x))]의 그래프의 모양은, 위 그림의 모양을 [math(x)]축의 방향으로 [math(-1)]만큼 평행이동하고 [math(x)]축에 대하여 대칭이동한 뒤 [math(y)]축의 방향으로 [math(1)]만큼 평행이동한 것이 된다. 따라서 그래프의 모양은 다음과 같다.


이때, 색칠된 영역 중 왼쪽 것의 넓이는, 빗금 친 영역의 넓이와 같으므로 [math(1-1/6=5/6)]이다.

한편, (나)에 따르면 함수 [math(f(x))]는 주기가 2인 함수이므로 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\therefore\displaystyle\int_{-3}^2 f(x)\;{\rm d}x&=\dfrac56+\dfrac16+\dfrac56+\dfrac16+\dfrac56\\&=\dfrac{17}6\end{aligned})]

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12번

[해설]

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[math(\triangle\rm ABD)]에서 코사인법칙을 사용하여 [math(\overline{\rm AD})]를 구하고, 이를 통해 [math(\triangle\rm BDC)]가 이등변삼각형이라는 것을 알아낸 뒤 점 [math(\rm D)]에서 [math(\overline{\rm BC})]로 수선의 발 [math(\rm H)]를 내리고, [math(\triangle\rm DHE)]에서 피타고라스 정리를 이용하여 선분 [math(\rm DE)]의 길이를 구하면 된다.

고등학교 수준에서는 역삼각함수를 가르치지 않기 때문에 [math(\arccos(1/8))]을 계산해서 곧바로 코사인 법칙과 스튜어트 정리를 적용하는 방법은 정석이 아니다. 대신 스튜어트 정리를 쓰고 싶다면 방법은 있다.

[math(\triangle\rm BDC)]가 이등변삼각형임을 이용하는 것까지는 위의 풀이와 같다. [math(\rm BD=4)]이고, 점 [math(\rm B)]에서 [math(\rm AD)]에 수선의 발을 내려 [math(\rm H)]라 한 후 계산하면 [math(\rm AD=1)]임을 알 수 있다. 이를 스튜어트 정리에 대입하여 [math(x=\rm BC)]라 하면 [math(\rm AB^2 \cdot \rm CD+\rm BC^2 \cdot \rm AD=\rm AC \cdot (\rm BD^2 +\rm AD \cdot \rm CD))], [math(64+x^2=100)], [math(x=6)]이 나온다. 사인 법칙을 연이어 적용한다. [math(\dfrac{\sin \angle \rm ACB}{\rm AB}=\dfrac{\sin \angle \rm BAC}{\rm BC})]이므로 [math(\sin \rm \angle ACB =\dfrac{1}{12})]. [math(\dfrac{\sin \angle \rm DCE}{\rm DE}=\dfrac{\sin \angle \rm DEC}{\rm DC})]이므로 [math(\rm DE = \dfrac{1}{12} \cdot 4 \cdot 8 = \dfrac{8}{3})]

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13번

[해설]

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문제의 조건에 따라 구간 [math((0,\,1])]에서의 함수 [math(f(x))]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

이때, [math(f(x+1)=f(x))]이므로 [math(f(x))]는 주기가 1인 함수이다. 따라서 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같다.


그러므로, [math(f(x))]를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

[math(f(x)=\begin{cases}3&\quad(x\textsf{\footnotesize{는 정수가 아님}})\\1&\quad(x\textsf{\footnotesize{는 정수}})\end{cases})][1]

집합 판별 함수를 사용한다면 [math(f(x) = 3 - 2\,{\bold 1}_{\mathbb Z}(x))]로 표기할 수 있다.

그러면 1부터 20까지의 자연수 중 제곱근이 정수인 것은 1, 4, 9, 16 네 개뿐이므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^{20}\dfrac{k\times f(\sqrt k)}3&=\dfrac13\left[\left\{f\left(\sqrt1\right)+4f\left(\sqrt4\right)+9f\left(\sqrt9\right)+16f\left(\sqrt{16}\right)\right\}+\left\{2f\left(\sqrt2\right)+3f\left(\sqrt3\right)+5f\left(\sqrt5\right)+\cdots+20f\left(\sqrt{20}\right)\right\}\right]\\&=\dfrac13\{(1+4+9+16)+3(2+3+5+\cdots+20)\}\\&=\dfrac13\left\{3\sum_{k=1}^{20}k-2(1+4+9+16)\right\}\\&=\sum_{k=1}^{20}k-20\\&=\dfrac{20\times21}2-20\\&=190\end{aligned})]

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[1] 집합 판별 함수를 사용한다면 [math(f(x) = 3 - 2\,{\bold 1}_{\mathbb Z}(x))]로 표기할 수 있다.

14번

[해설]

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먼저, [math(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3))]이므로 다음과 같이 함수 [math(f(x))]의 그래프를 그릴 수 있다.



이제 (가)를 해석하자. (가)의 식의 우변은 절댓값을 취하고 있으므로 양변에서 [math(x)]를 약분하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(g(x)=\begin{cases}&\!\!\!\!\!|f(x-p)+q|\quad&(x>0)\\-&\!\!\!\!\!|f(x-p)+q|\quad&(x<0)\end{cases})]

[math(g(x))]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로, [math(x=0)]에서도 연속이어야 한다. 따라서 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to 0-}g(x)&=\lim_{x\to 0+}g(x)\\=-|f(-p)+q|&=|f(-p)+q|\\&=g(0)\end{aligned})]

여기에서 [math(|f(-p)+q|=t)]라 하면 [math(t=-t)]가 성립해야 하므로 [math(t=g(0)=0)]이다.


한편 [math(f(x-p)+q)]의 그래프는 [math(f(x))]의 그래프를 [math(x)]축의 방향으로 [math(p)]만큼, [math(y)]축의 방향으로 [math(q)]만큼 평행이동한 것이므로, 그래프의 개형에는 변화가 없다. 또한 (나)는 [math(g(x))]의 그래프의 미분불가능점이 한 개라는 뜻이다. 모든 내용을 종합하여, 다음과 같이 네 가지 경우로 나누어 (나)를 만족시키는지의 여부를 판단하면 된다.


이 경우 [math(g(x))]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되므로 (나)를 만족시키지 못한다.



이 경우 첨점이 한 개 생기고 [math(x=0)]에서는 [math(g'(0)=0)]이 성립하여 미분가능하므로 (나)를 만족시킨다.



이 경우 첨점이 한 개 생기고 [math(x=0)]에서는 [math(g'(0)=0)]이 성립하여 미분가능하므로 (나)를 만족시킨다.



이 경우 [math(g(x))]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되므로 (나)를 만족시키지 못한다.

이제 (나)를 만족시키는 두 경우에 해당하는 [math(f(x-p)+q)]의 그래프를 [math(f(x))]의 그래프와 비교하여 [math(p)]와 [math(q)]의 값을 구하면 된다.


왼쪽 경우는 점 [math((3,\,-39))]를, 오른쪽 경우는 점 [math((-1,\,-7))]을 점 [math((0,\,0))]으로 평행이동한 것이므로, 왼쪽 경우는 [math(p=-3,\,q=39)]이며 오른쪽 경우는 [math(p=1,\,q=7)]이다. [math(p)]와 [math(q)]는 양수이므로 [math(p=1,\,q=7)]이고 [math(p+q=8)]이다.

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15번

[해설]

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[math(\sin ax)]와 [math(\cos ax)]는 적절히 평행이동하면 겹쳐질 수 있는 그래프라는 개념이 필요하다.[1]

수학 1 교과서의 ‘삼각함수의 그래프’ 단원에서 증명까지 상세히 다루고 있다.

[math(\sin a(x+\pi/2)=\cos ax)], 즉 사인 곡선을 [math(x)]축 방향으로 [math(-\pi/2)]만큼 평행이동하면 겹쳐진다.

주기는 [math(2\pi/(pi/2)=4)]이다. 따라서 사인 곡선과 코사인 곡선의 개형을 그릴 수 있다. 조건을 해석해보면

[math(\sin\left(\dfrac{\pi x}2\right)=t)] 또는 [math(\cos\left(\dfrac{\pi x}2\right)=t)]

일 때 방정식은 근을 갖는다.

ㄱ: [math(t=-1)]일 때를 보자. 코사인 곡선에서 최솟값 [math(2)], 최댓값 [math(3)]이 나온다. 이제 [math(t)]를 [math(0)] 근처까지 평행이동시켜보자. 위에서 언급했듯 [math(\sin ax)]와 [math(\cos ax)]는 겹쳐질 수 있는 그래프이므로 최댓값이 커지는 만큼 최솟값이 작아진다. 즉, 최댓값이 [math(3+\alpha)]라면 최솟값은 [math(2-\alpha)]이다. 그러므로 둘을 더하면 해당 범위 내에서는 항상 [math(5)]가 된다. (참)

ㄴ: [math(t=0)]일 때 코사인 곡선에서 최댓값 [math(3)], 최솟값 [math(0)]을 확인할 수 있다. ㄱ과 동일한 원리로, 기하적 성질에 의해 최댓값은 [math(3+\alpha)], 최솟값은 [math(0+\alpha)]가 되므로 [math(3)]이 성립한다. (참)

ㄷ: ?이면 조건의 <보기>를 만족시킬 수 없다. 그러므로 ?이다. 교점의 좌표를 [math(a)], 거기에 [math(\pi/2)]를 곱한 값은 [math(b)]라 하자. 그러면 [math(\cos b–\sin b=1/2)]이 되는데, 제곱해서 써서 구하면 [math(\sin b\cos b=3/8)]이 되므로 부적절하다. (거짓)

[1] 수학 1 교과서의 ‘삼각함수의 그래프’ 단원에서 증명까지 상세히 다루고 있다.

2.1.3. 16번~22번(단답형 3~4점)[편집]

16번

[해설]

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로그의 성질을 이용한다.

[math(\log_4\dfrac23+\log_4 24=\log_4\left(\dfrac23\times24\right)=\log_4 16=2)]

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17번

[해설]

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함수 [math(f(x))]는 다항함수이므로 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 따라서 [math(x=a)]에서 극소이려면 [math(f'(a)=0)]이어야 한다. 곧

[math(f'(a)=3a^2-3=3(a+1)(a-1)=0)]

이므로 [math(a=-1)] 또는 [math(a=1)]인데, [math(f(x))]는 최고차항의 계수가 양수이므로 [math(x=-1)]에서 극대, [math(x=1)]에서 극소가 된다.

[math(\therefore a=1,\,f(a)=f(1)=10,\,a+f(a)=11)]

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18번

[해설]

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수열 [math(\{a_n\})]은 모든 항이 양수인 등비수열이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(a_n=ar^{n-1}\quad(a>0,\,r>0))]

[math(a_2=ar=36,\,ar^6=\dfrac13ar^4)]

[math(\rightarrow r^2=\dfrac13,\,r=\dfrac1{\sqrt 3}\;(\because r>0)\\\dfrac1{\sqrt 3}a=36,\,a=36\sqrt 3)]

[math(\therefore a_6=ar^5=36\sqrt 3\times\dfrac1{{\sqrt 3}^5}=36\times\dfrac19=4)]

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19번

[해설]

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위치를 미분하면 속도이므로 [math(v(t))]의 부정적분 [math(V(t))]는 위치의 방정식이며, 다음이 성립한다.

[math(v(t)=3t^2-4t+k\quad\rightarrow\quad V(t)=t^3-2t^2+kt+\rm C)]

이때 [math(V(0)=0,\,V(1)=-3)]이므로 우선 [math(\rm C=0)]이며

[math(1^3-2\cdot1^2+k=-3\rightarrow k=-2)]

[math(\therefore V(t)=t^3-2t^2-2t)]

한편, 시각 [math(t=1)]에서 [math(t=3)]까지 점 [math(\rm P)]의 위치의 변화량은 다음과 같이 구한다.

[math(V(3)-V(1)=3-(-3)=6)]

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20번

[해설]

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[math(g(x))]의 극값이 하나밖에 없다는 것은, [math(g'(x))]의 그래프가 [math(x)]축과 한 번만 교차한다는 뜻이다. 이를 조사하기 위하여 [math(g(x))]를 적절히 전개하여 미분하면 다음과 같다. 곱미분을 이용한다.

[math(\begin{aligned}g(x)&=\displaystyle\int_a^x\{f(x)-f(t)\}\times\{f(t)\}^4\;{\rm d}t\\&=f(x)\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t-\int_a^x\{f(t)\}^5\;{\rm d}t\\ \\ g'(x)&=f'(x)\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t+\{f(x)\}^5-\{f(x)\}^5\\&=f'(x)\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t\end{aligned})]

이때, [math(f'(x)=3x^2-24x+45=3(x-3)(x-5))]이므로, 그래프는 다음과 같이 [math(x)]축과 두 번 교차한다.


주목할 점은, [math(g'(x))]의 그래프는 [math(x)]축과 한 번만 교차하지만, [math(g'(x))]의 인수인 [math(f'(x))]의 그래프는 두 번 교차한다는 점이다. 그렇다면 [math(g'(x))]의 또 다른 인수 [math(\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t)] 때문에 [math(\boldsymbol x)]축과 교차하는 점이 한 개 줄어들어야 한다는 뜻이 된다. 그런데 이미 [math(f'(x))]가 [math(x-3)]과 [math(x-5)]를 인수로 가지기 때문에 [math(g'(x))] 역시 마찬가지이며, [math(x=3)] 그리고 [math(x=5)]에서 그래프가 [math(x)]축과 만난다. 그래프가 [math(x)]축과 만나면서 교차하지 않으려면 [math(\boldsymbol x)]축과 접하는 수밖에 없으며, 이를 위해서는 [math(\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t)]도 [math(x-3)]과 [math(x-5)] 중 하나를 인수로 가져야만 한다.

이때, [math(\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t)]를 미분하면 [math(\{f(x)\}^4)]이며 이는 짝수 제곱이므로 항상 0보다 크거나 같다. 도함수가 0보다 크거나 같으면 접선의 기울기가 0 이상이므로 원시함수는 증가함수이며, 원시함수는 [math(a)]부터 [math(x)]까지의 정적분으로 정의된 함수이므로 [math(x=a)]일 때 함숫값은 0이다. 곧, 그래프는 다음과 같다.


그러면 [math(\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t)]가 [math(x-a)]를 인수로 가지므로, [math(g'(x))]의 극값이 하나뿐이도록 하려면 [math(a=3)]이거나 [math(a=5)]이어야 한다. 이 경우 [math(\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t)]가 [math(x-3)] 또는 [math(x-5)]를 인수로 갖게 되어 [math(g'(x))]가 [math((x-3)^2)] 또는 [math((x-5)^2)]를 인수로 갖게 된다. 따라서 [math(x=3)]과 [math(x=5)] 중 어느 한쪽에서 그래프의 부호 변화가 없게 된다.[1]

잘 이해가 되지 않는다면 다음 그림을 참고하라.

따라서 가능한 [math(a)]의 값은 [math(3)] 또는 [math(5)]이며, 답은 [math(3+5=8)]이다.

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[1] 잘 이해가 되지 않는다면 다음 그림을 참고하라.

21번

[해설]

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먼저, (나)에 따라 함수 [math(f(x))]의 그래프의 개형은 다음과 같다.


위 그림과 같이 방정식 [math(f(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 작은 것부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하면, (가)에 따라 방정식 [math(x^n-64=0)]은 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]를 실근으로 가져야 한다.


이때, 위 그림과 같이 [math(n)]이 홀수이면 해당 방정식의 실근이 한 개이고, [math(n)]이 짝수이면 두 개이므로 [math(n)]은 짝수여야 (가)를 만족시킬 수 있다.

이때, [math(\alpha=-\sqrt[n]{64},\,\beta=\sqrt[n]{64})]이므로, [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 1이고 방정식 [math(f(x)=0)]이 이 둘을 실근으로 갖는 만큼 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}f(x)&=\left(x+-\sqrt[n]{64}\right)\left(x-\sqrt[n]{64}\right)\\&=x^2-64^{\frac2n}\\&=x^2-2^{6\cdot\frac2n}\\&=x^2-2^{\frac{12}n}\end{aligned})]

따라서 [math(f(x))]의 최솟값은 [math(-2^{\frac{12}n})]이며 이것이 정수가 되도록 하는 짝수 [math(n)]의 값을 구하면 된다. [math(-2^{\frac{12}n})]이 정수가 되려면 [math(\frac{12}n)]가 정수이면 되므로 가능한 짝수 [math(n)]의 값은 [math(2,\,4,\,6,\,12)]이며, 답은 [math(2+4+6+12=24)]이다.

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22번

[해설]

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2.2. 선택(23번~30번)[편집]

2.2.1. 확률과 통계[편집]

23번

[해설]

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다항식 [math((2x+1)^5)]의 전개식에서 삼차항이 나오기 위해서는 [math(2x)]를 세 번, [math(1)]을 두 번 택해야 한다. 그 경우의 수는 [math({}_5\rm C_3={}_5\rm C_2=10)]이고 [math(2x)]를 세 번 택하므로 [math(2^3=8)]을 곱하면 답은 [math(10\times8=80)]이다.

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24번

[해설]

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진로활동 [math(\rm B)]를 선택한 학생의 집합을 [math(\rm B)]라 하고, 1학년생의 집합을 [math(F)]라 하면 구하는 확률은 다음과 같은 조건부확률이다.

[math({\rm P}(F\vert B)=\dfrac{{\rm P}(B\cap F)}{{\rm P}(B)}=\cfrac{\dfrac5{20}}{\dfrac9{20}}=\dfrac59)]

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25번

[해설]

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먼저 만들 수 있는 전체 자연수의 개수는 [math({}_5\Pi_4)]이고, 그중에서 3500 이상인 것의 개수는 다음과 같이 경우를 나누어 구할 수 있다.

• 천의 자리가 [math(3)], 백의 자리가 [math(5)]([math(35\square\square)])
• 천의 자리가 [math(4)], 백의 자리가 [math(1)]([math(41\square\square)])
• 천의 자리가 [math(4)], 백의 자리가 [math(2)]([math(42\square\square)])

[math(\vdots)]

• 천의 자리가 [math(5)], 백의 자리가 [math(4)]([math(54\square\square)])
• 천의 자리가 [math(5)], 백의 자리가 [math(5)]([math(55\square\square)])

각 경우의 수는 십의 자리와 일의 자리만 결정하는 경우의 수이므로 [math({}_5\Pi_2)]이고 그것이 11개[1]

[math(35,\,41,\,42,\,43,\,44,\,45,\,51,\,52,\,53,\,54,\,55)]

이므로 경우의 수는 [math({}_5\Pi_2\times11)]이다. 따라서 구하는 확률은 다음과 같다.

[math(\dfrac{{}_5\Pi_2\times11}{{}_5\Pi_4}=\dfrac{5^2\times 11}{5^4}=\dfrac{11}{25})]

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[1] [math(35,\,41,\,42,\,43,\,44,\,45,\,51,\,52,\,53,\,54,\,55)]

26번

[해설]

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먼저, 3가지 색의 카드를 모두 받는 학생이 무조건 있도록 하기 위하여 3가지 색의 카드를 각각 한 장씩 임의의 한 학생에게 나누어주자. 세 학생 중 한 학생을 택하는 경우의 수는 [math({}_3{\rm C}_1)]이다. 이렇게 카드를 나누어준 뒤에는 빨간색 카드 3장, 파란색 카드 1장이 남게 된다. 빨간색 카드 3장을 3명에게 나누어주는 경우의 수와 파란색 카드 1장을 3명에게 나누어주는 경우의 수는 모두 중복조합으로서, 각각 [math({}_3{\rm H}_3)], [math({}_3{\rm H}_1)]이다. 따라서 구하는 경우의 수는 다음과 같다.

[math({}_3{\rm C}_1\times{}_3{\rm H}_3\times{}_3{\rm H}_1=3\times10\times3=90)]

---

27번

[해설]

---

(두 주사위 눈의 곱)=(앞면 동전 개수)의 경우를 분류하여 확률을 구한다.

[1] [math(\boldsymbol{1\times 1=1})]

• 주사위를 두 번 던져 모두 [math(1)]이 나올 확률은 [math(\dfrac1{36})]
• 동전을 네 번 던져서 한 번 앞면이 나오는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_1}{2^4})]
• 구하는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_1}{36\times 2^4})]

[2] [math(\boldsymbol{1\times 2=2})]

• 주사위를 두 번 던져 [math(1)]과 [math(2)]가 나올 확률은 [math(\dfrac2{36})]
• 동전을 네 번 던져서 두 번 앞면이 나오는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_2}{2^4})]
• 구하는 확률은 [math(\dfrac{2\times{}_4{\rm C}_2}{36\times 2^4})]

[3] [math(\boldsymbol{1\times 3=3})]

• 주사위를 두 번 던져 모두 [math(1)]과 [math(3)]이 나올 확률은 [math(\dfrac2{36})]
• 동전을 네 번 던져서 세 번 앞면이 나오는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_3}{2^4})]
• 구하는 확률은 [math(\dfrac{2\times{}_4{\rm C}_3}{36\times 2^4})]

[4] [math(\boldsymbol{1\times 4=4})]

• 주사위를 두 번 던져 모두 [math(1)]과 [math(4)]가 나올 확률은 [math(\dfrac2{36})]
• 동전을 네 번 던져서 네 번 앞면이 나오는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_1}{2^4})]
• 구하는 확률은 [math(\dfrac{2\times{}_4{\rm C}_1}{36\times 2^4})]

[5] [math(\boldsymbol{2\times 2=4})]

• 주사위를 두 번 던져 모두 [math(2)]가 나올 확률은 [math(\dfrac1{36})]
• 동전을 네 번 던져서 네 번 앞면이 나오는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_4}{2^4})]
• 구하는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_1}{36\times 2^4})]

[math(\begin{aligned}\therefore\dfrac{{}_4{\rm C}_1+2\times{}_4{\rm C}_2+2\times{}_4{\rm C}_3+2\times{}_4{\rm C}_1+{}_4{\rm C}_1}{36\times 2^4}&=\dfrac{4+12+8+2+1}{36\times 16}\\&=\dfrac{27}{36\times 16}\\&=\frac3{64}\end{aligned})]

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28번

[해설]

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먼저, 각 주사위 눈에 대응하는 점수를 정리하면 다음과 같다.

주사위 눈	[math(1)]	[math(2)]	[math(3)]	[math(4)]	[math(5)]	[math(6)]
점수	[math(1)]	[math(2)]	[math(3)]	[math(0)]	[math(0)]	[math(0)]

곧, 점수가 0이 되는 경우의 수는 3이며, 점수가 1, 2, 3이 되는 경우의 수는 각각 모두 1이다. 한편, 주사위를 네 번 던져서 총 점수가 4가 되는 경우는 다음과 같으며, 위 표를 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다. 순서쌍의 경우의 수이므로 순서를 고려하는 순열로 계산해야 한다.

[1] 0점, 0점, 1점, 3점
우선 1점과 3점을 얻기 위해서는 주사위를 던졌을 때 무조건 1과 3이 한 번씩 나와야 한다. 그리고 나머지 두 번은 4, 5, 6 중 하나가 나와야 한다. 이 나머지 두 번이 같은 눈이 나올 수도 있고 다른 눈이 나올 수도 있다.

• 같은 눈이 나오는 경우
  • 1, 3, 4, 4 또는 1, 3, 5, 5 또는 1, 3, 6, 6이 나와야 하며 각 경우의 수는 네 숫자를 나열하는 경우의 수이므로 모두 [math(\dfrac{4!}{2!}=12)]이다. 따라서 구하는 경우의 수는 [math(12\times3=36)]
• 다른 눈이 나오는 경우
  • 1, 3, 4, 5 또는 1, 3, 4, 6 또는 1, 3, 5, 6이 나와야 하며 각 경우의 수는 네 숫자를 나열하는 경우의 수이므로 모두 [math(4!=24)]이다. 따라서 구하는 경우의 수는 [math(24\times3=72)]

따라서 [1]의 총 경우의 수는 [math(36+72=108)]

[2] 0점, 0점, 2점, 2점
우선 2점을 두 번 얻기 위해서는 주사위를 던졌을 때 무조건 2가 두 번 나와야 한다. 그리고 나머지 두 번은 4, 5, 6 중 하나가 나와야 한다. 이 나머지 두 번이 같은 눈이 나올 수도 있고 다른 눈이 나올 수도 있다.

• 같은 눈이 나오는 경우
  • 2, 2, 4, 4 또는 2, 2, 5, 5 또는 2, 2, 6, 6이 나와야 하며 각 경우의 수는 네 숫자를 나열하는 경우의 수이므로 모두 [math(\dfrac{4!}{2!2!}=6)]이다. 따라서 구하는 경우의 수는 [math(6\times 3=18)]
• 다른 눈이 나오는 경우
  • 2, 2, 4, 5 또는 2, 2, 4, 6 또는 2, 2, 5, 6이 나와야 하며 각 경우의 수는 네 숫자를 나열하는 경우의 수이므로 모두 [math(\dfrac{4!}{2!}=12)]이다. 따라서 구하는 경우의 수는 [math(12\times3=36)]

따라서 [2]의 총 경우의 수는 [math(18+36=54)]

[3] 0점, 1점, 1점, 2점
우선 1점을 두 번, 2점을 한 번 얻기 위해서는 주사위를 던졌을 때 무조건 1가 두 번, 2가 한 번 나와야 한다. 그리고 나머지 한 번은 4, 5, 6 중 하나가 나와야 한다. 그러면 1, 1, 2, 4 또는 1, 1, 2, 5 또는 1, 1, 2, 6이 나와야 하며 각 경우의 수는 네 숫자를 나열하는 경우의 수이므로 모두 [math(\dfrac{4!}{2!}=12)]이다. 따라서 [3]의 총 경우의 수는 [math(12\times3=36)]

[4] 1점, 1점, 1점, 1점
1점을 네 번 얻기 위해서는 주사위를 던졌을 때 무조건 1이 네 번 나와야 한다. 따라서 [4]의 경우의 수는 [math(1)]

[math(\therefore 108+54+36+1=199)]

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29번

[해설]

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풀이 1
먼저, 서로 이웃한 2개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 12가 되려면 2와 6이 이웃하든지 3과 4가 이웃해야 한다. 이러한 일이 발생하지 않는 경우의 수는, 의자 6개를 원형으로 배열하는 전체 경우의 수에서 이러한 일이 발생하는 경우의 수를 빼면 되며, 식은 다음과 같다.

[math(\textsf{\footnotesize{(전체 경우의 수)}}-\textsf{\footnotesize{(2, 6 이웃)}}-\textsf{\footnotesize{(3, 4 이웃)}}+\textsf{\footnotesize{(2, 6 이웃 \& 3, 4 이웃)}})]

2와 6이 이웃하면서 3과 4가 이웃하는 경우의 수를 앞에서 두 번 뺐기 때문에 중복을 피하고자 다시 한 번을 더해 주어야 한다. 각 경우의 수는 다음과 같이 구한다.

• 전체 경우의 수
  • 서로 다른 의자 6개를 원형으로 배열하며 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 보는 원순열이므로 [math((6-1)!=120)]
• 2, 6 이웃
  • 이웃하는 의자끼리는 한 묶음으로 보아 의자 5개를 원형으로 배열하는 것으로 치면 [math((5-1)!)]이다. 한편 이웃하는 의자끼리 자리를 배열하는 경우의 수 [math(2!)]을 곱하면 [math((5-1)!\times2!=48)]
• 3, 4 이웃
  • 이웃하는 의자끼리는 한 묶음으로 보아 의자 5개를 원형으로 배열하는 것으로 치면 [math((5-1)!)]이다. 한편 이웃하는 의자끼리 자리를 배열하는 경우의 수 [math(2!)]을 곱하면 [math((5-1)!\times2!=48)]
• 2, 6 이웃 & 3, 4 이웃
  • 이웃하는 의자끼리는 한 묶음으로 보아 의자 4개를 원형으로 배열하는 것으로 치면 [math((4-1)!)]이다. 한편 이웃하는 의자끼리 자리를 배열하는 경우의 수 [math(2!\times2!)]을 곱하면 [math((4-1)!\times2!\times2!=24)]

[math(\therefore 120-48-48+24=48)]

풀이 2
여사건을 이용하지 않고 바로 경우의 수를 구할 수 있다.
조합은 순서를 고려하지 않기에, 임의로 조합하는 순서를 정하여도 경우의 수가 같게 나옴을 명심하자.
2,6,3,4,1,5의 순서로 의자를 놓는다고 가정해보자
[A] 6을 2의 맞은편에 놓는 경우
3은 아무데나 놔도 된다.(x4) 단, 4는 3의 옆이 아닌 남은 두자리 중 한 곳에 두어야 한다. (x2) 다음의 1은 빈 두 자리 중 아무데나 놓여도 되고 (x2), 마지막의 5는 선택권이 없다.
[math(n(A)=4*2*2=16)]
[B] 6을 2의 맞은편에 놓지 않는 경우
1) 6은 2의 왼편 한칸 건너, 오른편 한칸 건너에 놓일 수 있다. (x2)

2-1) 3을 2와 6사이에 놓을 경우, 4,1,5는 아무렇게나 놓여도 된다. (x6)
2-2) 4가 2와 6사이에 놓을 경우, 3,1,5는 아무렇게나 놓여도 된다. (x6)
2-3) 3과 4 모두 2와 6 사이칸에 오지 않는 경우는 2가지가 있고(3과 4가 각각 2옆 또는 6옆) 이때 1과 5는 아무렇게나 놓여도 된다. (x2x2)

1) * 2) = [math(n(B)=2*(6+6+4)=32)]
[math(\therefore n(S)=n(A)+n(B)=16+32=48)]

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30번

[해설]

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풀이 1
먼저, [math(2\times 3=6)]이기 때문에 확인한 5개의 수의 곱이 6의 배수이기 위해서는 5번의 시행 중 2와 3이 모두 적어도 한 번 나와야 한다. 곧, 구하는 확률은 아래의 표를 이용하여, 1에서 여사건의 확률을 빼어 계산할 수 있다.

공의 숫자		비고
[math(2)]	[math(3)]
[math(\bigcirc)]	[math(\bigcirc)]	본사건
[math(\bigcirc)]	[math(\large\times)]	여사건
[math(\large\times)]	[math(\bigcirc)]
[math(\large\times)]	[math(\large\times)]
[math(\bigcirc)]: 나옴, [math(\large\times)]: 나오지 않음

곧, 구하는 확률은 다음과 같다.

[math(1-\textsf{(2O, 3X)}-\textsf{(2X, 3O)}-\textsf{(2X, 3X)})]

이제 각 경우의 구체적인 확률을 구해 보자.

[1] [math(\textsf{(2O, 3X)})]
이 경우 3은 나오지 말아야 하며 2는 적어도 한 번 나와야 한다. 이 경우의 확률은 다시 다음과 같이 여사건을 이용하여 구할 수 있다.

[math(\textsf{\footnotesize{(3이 나오지 않음)}}-\textsf{\footnotesize{(2와 3이 모두 나오지 않음)}})]

• 3이 나오지 않음
  • 세 개의 공을 5번 뽑는 경우의 수는 [math(3^5=243)]이며, 3이 나오지 않는 경우의 수는 곧 5번의 시행에서 1과 2만 나올 수 있는 것이므로 [math(2^5=32)]이다. 따라서 그 확률은 [math(\dfrac{32}{243})]
• 2와 3이 모두 나오지 않음
  • 이는 곧 5번의 시행에서 모두 1만 나오는 확률이므로 [math(\dfrac1{243})]

따라서 [1]의 확률은 [math(\dfrac{32}{243}-\dfrac1{243}=\dfrac{31}{243})]

[2] [math(\textsf{(2X, 3O)})]
이 경우 2는 나오지 말아야 하며 3은 적어도 한 번 나와야 한다. 이 경우의 확률은 다시 다음과 같이 여사건을 이용하여 구할 수 있다.

[math(\textsf{\footnotesize{(2가 나오지 않음)}}-\textsf{\footnotesize{(2와 3이 모두 나오지 않음)}})]

• 2가 나오지 않음
  • 세 개의 공을 5번 뽑는 경우의 수는 [math(3^5=243)]이며, 2가 나오지 않는 경우의 수는 곧 5번의 시행에서 1과 3만 나올 수 있는 것이므로 [math(2^5=32)]이다. 따라서 그 확률은 [math(\dfrac{32}{243})]
• 2와 3이 모두 나오지 않음
  • 이는 곧 5번의 시행에서 모두 1만 나오는 확률이므로 [math(\dfrac1{243})]

따라서 [2]의 확률은 [math(\dfrac{32}{243}-\dfrac1{243}=\dfrac{31}{243})]

[3] [math(\textsf{(2X, 3X)})]
이 경우는 2와 3이 모두 나오지 말아야 하고, 이는 곧 5번의 시행에서 모두 1만 나오는 확률이므로 [math(\dfrac1{3^5}=\dfrac1{243})]

[math(\therefore 1-\dfrac{31}{243}-\dfrac{31}{243}-\dfrac1{243}=\dfrac{180}{243}=\dfrac{20}{27})]

[math(\therefore p=27,\,q=20,\,p+q=47)]

풀이 2
조금 특이한 풀이를 소개한다.
우선 전체 경우의 수가 [math(3^5=243)]임은 쉽게 알 수 있다. ([math(n(S)=243)])
(1) 주머니에 1과 2만 들어있다고 생각해보자, 이제 5번을 뽑는다.
(2) 2를 뽑을 때마다 뽑은 숫자를 3으로 바꿀 수 있는 기회가 주어진다고 하자.
(3) 2와 3이 최소 1번 이상 있기 위해서는 최소한 2를 2번 이상 뽑아야하며, 이때, 1~(2를 뽑은횟수-1)개 만큼의 2를 골라 3으로 바꾸는 경우의 수가 각각 존재한다.
(3)-1 2를 2번 뽑았을 때 경우의 수 : [math({}_5{\rm C}_2*{}_2{\rm C}_1=20)]
(3)-2 2를 3번 뽑았을 때 경우의 수 : [math({}_5{\rm C}_3*({}_3{\rm C}_2+{}_3{\rm C}_1)=60)]
(3)-3 2를 4번 뽑았을 때 경우의 수 : [math({}_5{\rm C}_4*({}_4{\rm C}_3+{}_4{\rm C}_2+{}_4{\rm C}_1)=70)]
(3)-4 2를 5번 뽑았을 때 경우의 수 : [math({}_5{\rm C}_45({}_5{\rm C}_4+{}_5{\rm C}_3+{}_5{\rm C}_2+{}_5{\rm C}_1)=30)]
따라서 문제 조건(사건 A라 하자)을 충족하는 경우의 수 n(A)는 20+60+70+30 이다.
[math(\therefore P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{180}{243}=\dfrac{20}{27})]
[math(p+q=20+27=47)]

풀이 2의 경우 이해 및 일반화하여 적용하기 어렵기 때문에 이러한 풀이도 있다 참고만 하기 바란다.

2.2.2. 미적분[편집]

23번

[해설]

---

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1{\sqrt{n^2+n+1}-n}&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{n^2+n+1}+n}{n^2+n+1-n^2}\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{n^2+n+1}+n}{n+1}\\&=\dfrac{\sqrt1+1}1=2\end{aligned})]

---

24번

25번

26번

27번

28번

29번

30번

2.2.3. 기하[편집]

23번

24번

25번

26번

27번

28번

29번

30번

3. 9월 모의평가(2021.09.01.)[편집]

3.1. 공통(수학Ⅰ· 수학Ⅱ)[편집]

3.1.1. 1번~8번(객관식 2~3점)[편집]

1번

2번

3번

4번

5번

6번

7번

8번

3.1.2. 9번~15번(객관식 4점)[편집]

9번

10번

11번

12번

13번

14번

15번

3.1.3. 16번~22번(단답형 3~4점)[편집]

16번

17번

18번

19번

20번

21번

22번

3.2. 선택(23번~30번)[편집]

3.2.1. 확률과 통계[편집]

23번

24번

25번

26번

27번

28번

29번

30번

3.2.2. 미적분[편집]

23번

24번

25번

26번

27번

28번

29번

30번

3.2.3. 기하[편집]

23번

24번

25번

26번

27번

28번

29번

30번

4. 대학수학능력시험(2021.11.18.)[편집]

4.1. 공통(수학Ⅰ· 수학Ⅱ)[편집]

4.1.1. 1번~8번(객관식 2~3점)[편집]

1번

2번

3번

4번

5번

6번

7번

8번

4.1.2. 9번~15번(객관식 4점)[편집]

9번

10번

11번

12번

13번

14번

15번

4.1.3. 16번~22번(단답형 3~4점)[편집]

16번

17번

18번

19번

20번

21번

22번

4.2. 선택(23번~30번)[편집]

4.2.1. 확률과 통계[편집]

23번

24번

25번

26번

27번

28번

29번

30번

4.2.2. 미적분[편집]

23번

24번

25번

26번

27번

28번

29번

30번

4.2.3. 기하[편집]

23번

24번

25번

26번

27번

28번

29번

30번

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