극형식

1. 개요[편집]

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Polar form
대수학이나 함수론에서 사용하는 표현식이다.

복소 공간에서 복소수를 표현하는 방법으로 복소수의 절댓값과 편각의 크기를 사용하여 나타낸다. 예를 들어, 임의의 복소수 [math(Z)]에 대하여 [math(Z=a+bi)]일 때, 편각의 크기를 [math(θ)]라고 한다면 [math(Z)]의 극형식은 [math(Z=|Z|(\cosθ+i\sinθ))]가 된다.[1]

2. 활용[편집]

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2.1. 복소평면[편집]

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복소수를 평면 위의 점과 대응시켜 나타낸 것을 복소평면 또는 가우스평면이라 한다. 앞서 말한 복소수 [math(Z)]에서 [math(Z)]를 나타내는 점을 [math(P(Z))], 또는 점 [math(Z)]라 한다.

2.2. 함수[편집]

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[math(r=f(θ))] 또는 [math(f(r,θ))]로 새로운 함수를 정의해보자. [math(r=1)]이면 2차원 상의 원이 만들어진다. 삼각함수 등 여러 다른 함수를 도입하면 아름다운 미술학과 수학의 조화를 접하게 된다 카더라(...).

2.3. 대칭성[편집]

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• 그래프 위에 놓인 [math((r,θ))]에 대하여 [math(θ)]가 [math(-θ)]로 바뀌어도 변하지 않으면 극축에 대하여 대칭이다.
• 그래프 위에 놓인 [math((r,θ))]에 대하여 [math(r)]이 [math(-r)]로 바뀌거나 [math(θ)]가 [math(θ+π)]로 바뀌어도 같다면 극점에 대하여 대칭이다.
• 그래프 위에 놓인 [math((r,θ))]에 대하여 [math(θ)]가 [math(π-θ)]로 바뀌어도 같다면 수직선 [math(θ=π/2)]에 대하여 대칭이다.

2.4. 드 무아브르 공식[편집]

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극형식을 [math(|Z|<θ)]로 나타내기도 한다. 벡터와 비슷하게 [math(|Z|=1)]이고 편각이 [math(θ)]인 복소수를 단위 복소수라 하고, [math(e^{iθ})]라고 쓴다. 이를 확장시키면 오일러의 공식이 나온다.