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켈리 방정식 (r20210301판)

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영어로는 Kelly criterion, Kelly strategy, Kelly formula, Kelly bet 등으로 표현
1. 개요


1. 개요


미국의 수학자 켈리(J. L. Kelly)가 1956년에 발표한 공식. 탐욕의 공식이란 별명이 있다.
켈리는 벨 연구소에서 근무하던 연구원이었는데, 어떤 전송 채널이 가질 수 있는 최대 속도를 연구하다가 이 결과를 내놓았다. 켈리 자신도 1956년의 논문에서 도박 혹은 주식을 할 때 얼마만큼의 자금을 투입해야 하는가에 관한 방정식으로 해석하기도 했다.
패배 시 베팅 금액 전체를 날리고, 승리시 베팅금액*배당률을 획득하는 단순한 베팅을 생각해보면, 켈리 공식은 아래와 같다:
$$\displaystyle f=\frac{bp-q}{b}=\frac{p(b+1)-1}{b}$$
여기서,
  • $$\displaystyle f$$ : 베팅규모(보유자금 대비 베팅금액의 비율)
  • $$\displaystyle b$$ : 순배당률(1원을 베팅하고 승리할 경우 순이익 b원)
  • $$\displaystyle p$$ : 승리 확률
  • $$\displaystyle q$$ : 패배확률($$\displaystyle 1-p$$)
승리시 얻는 금액과 패배시 잃는 금액이 같을 때의 간략화된 공식은 다음과 같다.
  • p-(1-p)=2p-1=x (p=승리할 확률, x=원금 대비 배팅 비율)
예를 들어 승률이 50%인 도박은 x값이 0 이기 때문에 아무리 시행해도 시간만 낭비할 뿐이고 돈을 딸 수 없다. 승률이 55%이면 x값이 0.1이기에 10%의 자금을 투자해서 무한 하게 시행하면 돈을 따게 된다.
(단, 승률이 50%미만인경우에도 리턴값이 몇 배에 달한다면 철저한 손익비 계산 후에 자금을 투입하는 것도 나쁘지 않은 선택이다)
승률
투자 금액
10%
투자 금물
20%
투자 금물
30%
투자 금물
40%
투자 금물
50%
0%
60%
20%
70%
40%
80%
60%
90%
80%
100%
100%
실생활에선 우위/배당률로 기억하는 것이 활용하기 편하다. 켈리 기준에 가까울수록 공격적인 베팅, 기준을 넘어가면 변동성은 높아지고 수익률은 낮아지는 광적인 베팅으로 정의된다. 기준의 두 배가 넘으면 장기적으로 파산한다.
파산을 면함으로써 가장 빠르게 부의 총량을 늘리는 자금관리 기법으로 알려져 있다. 공식에 따르면 시재금이 1/2이 될 확률은 1/2, 1/100이 될 확률은 1/100, 0이 될 확률은 0이다. 노벨 경제학상 수상자 폴 새뮤얼슨은 효용함수가 무엇인지 이해하는 사람이라면 이런 방법을 쓰지 않을것이라며 매우 반발했다.
투자자산의 수익률이 정규분포를 따를 경우, 샤프 지수를 극대화하는 것은 켈리공식에 따라 투자하는 것과 같은 결과를 가져온다. 효용이 보유자산과 정확히 로그함수의 관계를 가진다고 가정했을때 효용의 기대값을 극대화하는 것은 켈리공식에 따라 배팅하는 것과 같다.