플라스틱 상수

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수학상수
Mathematical Constants

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[math(\ast)]: 초월수임이 증명됨.
[math(0)]
(덧셈의 항등원)
[math(1)]
(곱셈의 항등원)
[math(\sqrt{2})]
(최초로 증명된 무리수)
[math(495)], [math(6174)]
(카프리카 상수)
[math(0)], [math(1)], [math(3435)], [math(438579088)]
(뮌하우젠 수)
[math(\pi)]
(원주율)[math(\ast)]
[math(\tau)]
(새원주율)[math(\ast)]
[math(e)]
(자연로그의 밑)[math(\ast)]
[math(\varphi)]
(황금수)
[math(\gamma)]
(오일러-마스케로니 상수)
[math(\gamma_n)]
(스틸체스 상수)
[math(G)]
(카탈랑 상수)
[math(\delta)], [math(\alpha)]
(파이겐바움 상수)
[math(\Omega)]
(오메가 상수)[math(\ast)]
[math(2^{\sqrt{2}})]
(겔폰트-슈나이더 상수)[math(\ast)]
[math(B_{2})], [math(B_{4})]
(브룬 상수)
[math(i)]
(허수단위)
[math(\rho)]
(플라스틱 상수)
[math(\mu)]
(라마누잔-졸트너 상수)
[math(C_n\,)]
(챔퍼나운 상수)[math(\ast)]
[math(\zeta(3))]
(아페리 상수)
[math({\rm Si}(\pi))]
(윌브레이엄-기브스 상수)
[math(-e\, {\rm Ei}(-1))]
(곰페르츠 상수)




Plastic number, Plastic constant

플라스틱 상수(Plastic constant)라고도 하는 플라스틱 수는 삼차방정식 [math(x^3 = x + 1)]의 실근으로, 그리스 문자 [math(\rho)]로 표기한다. 이 수의 실제 값은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \rho = \sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{69}}{18}})]
소수로 표현하면 약 [math(1.324717957244746025960908854 \cdots)] 정도의 값이 된다.
플라스틱 수는 파도반 수열(Padovan sequence) 및 페랭 수(Perrin number)의 인접항 비의 극한이고 피솟 비자야라가브한 수(Pisot number, Pisot–Vijayaraghavan number)이며, 피솟 수 중에서 가장 작은 수이기도 하다.

이 값은 놀랍게도 아래처럼 쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수로도 표현이 가능하다.
[math(\displaystyle \rho = \frac{2}{\sqrt{3}} \cosh \! \left(\frac{1}{3}\,{\rm arcosh}\!\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\!\right))]

또한, 플라스틱 수는 다음의 대수적 방정식의 실근이기도 하다.

  • [math(x^{5}=x^{4}+1)]
  • [math(x^{5}=x^{2}+x+1)]
  • [math(x^{6}=x^{2}+2x+1)]
  • [math(x^{6}=x^{4}+x+1)]
  • [math(x^{7}=2x^{5}-1)]
  • [math(x^{7}=2x^{4}+1)]
  • [math(x^{8}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)]
  • [math(x^{9}=x^{6}+x^{4}+x^{2}+x+1)]
  • [math(x^{12}=2x^{10}-x^{4}-1)]
  • [math(x^{14}=4x^{9}+1)]

이는 [math(x^{3}-x-1=0)]의 양변에 [math(x^k)]을 곱하여 정리한 방정식들이기 때문이다.


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