플랑크 질량
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1. 개요[편집]
Planck mass
플랑크 단위의 일종. 광속 [math(c)], 디랙 상수 [math(\hbar)], 중력 상수 [math(G)]를 이용하여 차원 분석을 통해, 질량 단위가 곧 차원 단위가 되도록[1] 인위적으로 조합된 질량이다. [math(m_{\rm P})]로 나타내며[2] 관계식 및 구체적인 값은 다음과 같다.
2. 유도[편집]
[math(c)], [math(\hbar)], [math(G)]의 단위 및 차원은 다음과 같다.
위 상수들을 조합해서 계산해보면 [math(\dfrac{\hbar c}G)]의 차원이 [math(\sf M^2)]이 됨을 쉽게 알 수 있다. 플랑크 질량 [math(m_{\rm P})]는 이 식에 근호를 씌운 값 [math(\sqrt{\dfrac{\hbar c}G})]로 정의된다.
3. 상세[편집]
cgs 단위계의 기본단위인 그램으로 환산하면 [math(0.000\,0218{\rm\,g})], 마이크로그램으로 환산하면 약 [math(21.8\rm\,\textμg)]이다. 대체로 단위가 극한으로 치닫는 플랑크 단위 치고는 그나마 일상적으로 접하는 크기이다.[3]
천문학에서는 플랑크 길이 [math(l_{\rm P})], 슈바르츠실트 반지름 [math(r_{\rm S})]와 더불어 중요한 물리 상수로 간주되는데, 블랙홀의 질량 [math(m)]에 대해 [math(r_{\rm S} = \dfrac{2Gm}{c^2})]이므로 [math(m=m_{\rm P})]일 경우,
즉 플랑크 길이의 2배가 슈바르츠실트 반지름이 되기 때문이다. 나아가 콤프턴 파장 [math(\lambda_{\rm C})]는 [math(\lambda_{\rm C} = \dfrac h{mc})]이므로 [math(m=m_{\rm P})]인 블랙홀의 [math(\lambda_{\rm C})]는
즉 플랑크 길이의 [math(2\pi)]배가 된다. 여담으로 플랑크 상수 [math(h)]와 디랙 상수(환산 플랑크 상수) [math(\hbar)]의 관계처럼 [math(\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C} = \dfrac{\lambda_{\rm C}}{2\pi} = \dfrac1{2\pi}\dfrac h{mc} = \dfrac{\hbar}{mc})]를 환산 콤프턴 파장(reduced Compton wavelength)이라고 하며, 위 결과를 바꿔 말하자면 질량이 플랑크 질량인 블랙홀은 환산 콤프턴 파장 = 플랑크 길이라는 결론이 나온다.
즉 블랙홀이 될 수 있는 최소한의 질량이라고 할 수 있다. 현실적으로는 플랑크 질량보다는 훨씬 큰 블랙홀도 순식간에 호킹 복사를 내며 증발하겠지만...
4. 관련 문서[편집]
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[1] 즉 플랑크 질량은 그 자체로 차원이 [math(\sf M)]인 물리 상수이다.[2] 양성자의 정지 질량을 나타내는 [math(m_{\rm p})]와의 혼동에 주의. 이쪽은 아래첨자가 소문자([math(\rm p)])다.[3] 실제로 비타민D의 일일 권장량이 0.5 플랑크 질량 정도이다. 또한 플랑크 에너지는 kWh(킬로와트시)로 환산하면 약 543.4 kWh이다.